덧셈과 뺄셈Addition & Subtraction

기초 산술Foundations · 1. 자연수와 사칙연산1. Whole Numbers & the Four Operations

학습 목표

받아올림과 받아내림이 "열 개가 모이면 다음 자리 하나"라는 자릿값 약속을 실행하는 것임을 설명하고, 세로셈으로 큰 수를 더하고 뺄 수 있다.
덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 그림으로 설명하고, 계산을 쉽게 만드는 데 쓸 수 있다.
뺄셈을 덧셈으로, 덧셈을 뺄셈이나 어림으로 검산할 수 있다.
보수 만들기와 "차는 함께 옮겨도 변하지 않는다"는 성질로 암산할 수 있다.

같은 자리끼리 더한다

$47 + 25$ 를 구슬로 생각하자. $47$ 은 열 개짜리 묶음 $4$ 개와 낱개 $7$ 개, $25$ 는 묶음 $2$ 개와 낱개 $5$ 개다. 합치면 묶음 $6$ 개와 낱개 $12$ 개인데, 낱개가 열 개를 넘었으니 열 개를 묶어 묶음 하나로 바꾼다. 묶음 $7$ 개와 낱개 $2$ 개, 즉 $72$ 다.

47 + 25: 낱개 12개 중 열 개를 묶어 묶음 하나로 바꾸면 묶음 7개와 낱개 2개가 된다.

세로셈은 이 과정을 종이 위에 옮긴 것이다. 두 수를 오른쪽 끝을 맞춰 쓰는 이유는 같은 자리(같은 크기의 묶음)를 위아래로 놓기 위해서다. 일의 자리에서 $7 + 5 = 12$ 가 나오면 $2$ 만 남기고 $10$ 은 십의 자리로 하나 올려 보낸다. 이것이 받아올림이고, 정체는 "열 개를 다음 묶음 하나로" 바꾸는 자릿값의 약속 그 자체다.

\begin{array}{r} \small{1}\phantom{0}\phantom{0} \\ 4\,7 \\ +\ 2\,5 \\ \hline 7\,2 \end{array}

예제 1 · 받아올림이 이어질 때

$3{,}478 + 2{,}695$ 를 계산하여라.

풀이. 일의 자리부터 간다. $8 + 5 = 13$ → $3$ 을 쓰고 $1$ 올림. 십의 자리 $7 + 9 + 1 = 17$ → $7$ 을 쓰고 $1$ 올림. 백의 자리 $4 + 6 + 1 = 11$ → $1$ 을 쓰고 $1$ 올림. 천의 자리 $3 + 2 + 1 = 6$ .

\begin{array}{r} \small{1\ \,1\ \,1}\phantom{0} \\ 3\,4\,7\,8 \\ +\ 2\,6\,9\,5 \\ \hline 6\,1\,7\,3 \end{array}

검산: 어림으로 $3{,}500 + 2{,}700 = 6{,}200$ 근처여야 하는데 $6{,}173$ ✓. 순서를 바꿔 $2{,}695 + 3{,}478$ 을 다시 더해도 $6{,}173$ ✓.

주의

올림한 $1$ 을 다음 자리에서 빠뜨리는 것이 이 계산의 대표 실수다. 올림이 생기면 그 자리 위에 작게 $1$ 을 적어 두고, 다음 자리를 더할 때 세 수를 더한다는 것을 잊지 말자.

덧셈의 두 성질

구슬 두 무더기를 합칠 때 어느 무더기를 먼저 집든 결과는 같다. 그래서 $47 + 25 = 25 + 47$ 이다. 무더기가 셋이면 앞의 둘을 먼저 합치든 뒤의 둘을 먼저 합치든 마지막에 남는 구슬 수는 같다. 이 두 사실에는 이름이 있다.

정의교환법칙과 결합법칙

어떤 수 $a, b, c$ 에 대해서도

a + b = b + a, \qquad (a + b) + c = a + (b + c)

가 성립한다. 앞이 교환법칙(순서를 바꿔도 된다), 뒤가 결합법칙(묶는 방법을 바꿔도 된다)이다. 둘을 합치면 여러 수를 더할 때 어떤 순서로 어떻게 묶어 더해도 결과가 같다는 뜻이 된다.

이 성질은 계산을 쉽게 만드는 허가증이다. $37 + 85 + 63$ 은 왼쪽부터 더하면 $37 + 85 = 122$ 에서 받아올림이 두 번 생기지만, $37$ 과 $63$ 을 먼저 짝지으면 $100$ 이 되어 $100 + 85 = 185$ 로 끝난다. 합해서 $10$ 이나 $100$ 이 되는 짝을 보수라고 부른다. $1$ 과 $9$ , $2$ 와 $8$ , $37$ 과 $63$ 처럼.

예제 2 · 빌려서 더하기

$198 + 457$ 을 암산하여라.

풀이. $198$ 은 $200$ 에서 $2$ 모자란 수다. $200$ 을 더한 뒤 더 준 $2$ 를 돌려받는다:

198 + 457 = 200 + 457 - 2 = 657 - 2 = 655.

검산: 세로셈으로 $8 + 7 = 15$ , $9 + 5 + 1 = 15$ , $1 + 4 + 1 = 6$ → $655$ ✓.

뺄셈의 두 얼굴

뺄셈 $62 - 47$ 은 두 가지로 읽을 수 있다. 하나는 덜어내기다. $62$ 개에서 $47$ 개를 가져가면 몇 개가 남는가. 다른 하나는 차이다. $47$ 과 $62$ 는 얼마나 떨어져 있는가. 수직선에서 두 수 사이의 거리가 차이이고, 거리는 뛰어서 잴 수 있다. $47$ 에서 $50$ 까지 $3$ , $60$ 까지 $10$ , $62$ 까지 $2$ 이므로 $3 + 10 + 2 = 15$ .

수직선에서 47부터 62까지의 거리. 3, 10, 2씩 세 번 뛰면 15.

세로셈은 덜어내기 쪽을 따른다. 일의 자리에서 $2$ 개에서 $7$ 개를 뺄 수 없으니, 십 묶음 하나를 풀어 낱개 열 개로 바꾼다. 낱개는 $12$ 개가 되고 $12 - 7 = 5$ , 남은 십 묶음은 $5$ 개에서 $4$ 개를 빼 $1$ 개. 답 $15$ . 묶음을 푸는 이 동작이 받아내림이다. 받아올림의 정반대 동작이고, 근거도 같다. 묶음 하나는 낱개 열 개와 같다.

\begin{array}{r} \small{5\ \,12} \\ \cancel{6}\,\cancel{2} \\ -\ 4\,7 \\ \hline 1\,5 \end{array}

예제 3 · 0을 건너 받아내리기

$5{,}003 - 2{,}748$ 을 계산하여라.

풀이. 일의 자리 $3$ 에서 $8$ 을 뺄 수 없는데, 십의 자리도 백의 자리도 $0$ 이라 바로 빌릴 곳이 없다. 천의 자리에서 $1{,}000$ 을 하나 풀면 백 묶음 $10$ 개, 그중 하나를 풀면 십 묶음 $10$ 개, 그중 하나를 풀면 낱개 $10$ 개. 그러면 $5{,}003$ 은 천 $4$ 개, 백 $9$ 개, 십 $9$ 개, 낱개 $13$ 개로 다시 쓰인다.

5{,}003 = 4{,}000 + 900 + 90 + 13.

이제 자리마다 뺀다. $13 - 8 = 5$ , $9 - 4 = 5$ , $9 - 7 = 2$ , $4 - 2 = 2$ . 답 $2{,}255$ .

검산: $2{,}255 + 2{,}748 = 5{,}003$ ✓ ( $5 + 8 = 13$ , $5 + 4 + 1 = 10$ , $2 + 7 + 1 = 10$ , $2 + 2 + 1 = 5$ ).

검산은 거꾸로 간다

뺄셈과 덧셈은 서로를 되돌린다. $a - b = c$ 라면 $c + b = a$ 다. 덜어낸 것을 도로 얹으면 처음 양이 되기 때문이다. 그래서 뺄셈의 검산은 답에 뺀 수를 더해 원래 수가 나오는지 보는 것이다. 예제 3에서 한 일이 그것이다. 덧셈의 검산은 두 가지 길이 있다. 순서를 바꿔 다시 더하거나, 합에서 한 수를 빼서 다른 수가 나오는지 본다. 둘 다 앞의 계산을 그대로 반복하는 것이 아니라 다른 계산으로 같은 답에 도달하는지 묻는다. 같은 실수를 되풀이할 가능성이 그만큼 줄어든다.

예제 4 · 검산까지 한 묶음

$7{,}214 - 3{,}869$ 를 계산하고 검산하여라.

풀이. 일의 자리 $4 - 9$ : 십에서 빌려 $14 - 9 = 5$ . 십의 자리는 $0 - 6$ : 백에서 빌려 $10 - 6 = 4$ . 백의 자리는 $1 - 8$ : 천에서 빌려 $11 - 8 = 3$ . 천의 자리 $6 - 3 = 3$ . 답 $3{,}345$ .

검산: $3{,}345 + 3{,}869$ . $5 + 9 = 14$ , $4 + 6 + 1 = 11$ , $3 + 8 + 1 = 12$ , $3 + 3 + 1 = 7$ → $7{,}214$ ✓. 어림으로도 $7{,}200 - 3{,}900 = 3{,}300$ 근처 ✓.

차는 함께 옮겨도 그대로다

수직선에서 $47$ 과 $62$ 를 둘 다 오른쪽으로 $3$ 칸 옮기면 $50$ 과 $65$ 가 된다. 두 점이 같이 움직였으니 사이 거리는 그대로 $15$ 다. 즉

62 - 47 = 65 - 50 = 15.

빼는 수와 빼지는 수에 같은 수를 더하거나 빼도 차는 변하지 않는다. 이 성질은 받아내림을 없애는 데 쓴다. $1{,}000 - 387$ 은 자리마다 빌려야 해서 번거롭지만, 두 수에서 $1$ 씩 빼면

1{,}000 - 387 = 999 - 386 = 613

이고, $999$ 에서는 어느 자리도 빌릴 필요가 없다. 반대로 $83 - 29$ 는 빼는 수를 $30$ 으로 올려 $83 - 30 = 53$ 을 구한 뒤, $1$ 을 더 뺐으니 돌려주어 $54$ . 같은 성질을 다른 방향으로 쓴 것이다.

참고

암산의 기술은 결국 두 가지다. 보수로 $10, 100, 1{,}000$ 을 만들어 자리를 정리하는 것, 그리고 같은 수를 더하고 빼거나 같이 옮겨서 계산하기 쉬운 수로 바꾸는 것. 둘 다 "왜 되는가"를 알면 새 상황에서도 스스로 변형할 수 있다.

Goals

Explain carrying and borrowing as the place-value agreement "ten of these make one of the next" in action, and add and subtract large numbers in columns.
Explain the commutative and associative laws of addition with a picture, and use them to make computations easier.
Check a subtraction with an addition, and an addition with a subtraction or an estimate.
Compute mentally using complements and the fact that a difference does not change when both numbers shift together.

Add like places to like places

Think of $47 + 25$ in beads. $47$ is $4$ bundles of ten and $7$ loose beads; $25$ is $2$ bundles and $5$ loose. Together that is $6$ bundles and $12$ loose beads, and since the loose beads have passed ten, we tie ten of them into a new bundle: $7$ bundles and $2$ loose, that is, $72$ .

47 + 25: ten of the 12 loose units are tied into a new rod, leaving 7 rods and 2 units.

Column addition is that process on paper. We line the two numbers up at the right so that equal places (bundles of equal size) sit one above the other. When the ones place gives $7 + 5 = 12$ , we keep the $2$ and send the $10$ up to the tens place as a single $1$ . That is a carry, and it is nothing but the place-value agreement "ten of these make one of the next."

\begin{array}{r} \small{1}\phantom{0}\phantom{0} \\ 4\,7 \\ +\ 2\,5 \\ \hline 7\,2 \end{array}

Example 1 · A chain of carries

Compute $3{,}478 + 2{,}695$ .

Solution. Start at the ones. $8 + 5 = 13$ : write $3$ , carry $1$ . Tens: $7 + 9 + 1 = 17$ : write $7$ , carry $1$ . Hundreds: $4 + 6 + 1 = 11$ : write $1$ , carry $1$ . Thousands: $3 + 2 + 1 = 6$ .

\begin{array}{r} \small{1\ \,1\ \,1}\phantom{0} \\ 3\,4\,7\,8 \\ +\ 2\,6\,9\,5 \\ \hline 6\,1\,7\,3 \end{array}

Check: the estimate $3{,}500 + 2{,}700 = 6{,}200$ says the answer should be nearby, and $6{,}173$ is ✓. Adding in the other order, $2{,}695 + 3{,}478$ , also gives $6{,}173$ ✓.

Watch out

The classic slip is dropping a carried $1$ in the next column. Whenever a carry appears, write a small $1$ above the next place and remember that the next column adds three numbers, not two.

Two laws of addition

When you combine two piles of beads, it does not matter which pile you pick up first, so $47 + 25 = 25 + 47$ . With three piles, combining the first two first or the last two first leaves the same number of beads at the end. These two facts have names.

DefinitionCommutative and associative laws

For any numbers $a, b, c$ ,

a + b = b + a, \qquad (a + b) + c = a + (b + c).

The first is the commutative law (the order may be swapped); the second is the associative law (the grouping may be changed). Together they say that when you add several numbers, any order and any grouping give the same result.

These laws are a license to make computations easier. Adding $37 + 85 + 63$ from the left forces two carries, but pairing $37$ with $63$ first gives $100$ , and then $100 + 85 = 185$ . Two numbers that add to $10$ or $100$ are called complements of each other: $1$ and $9$ , $2$ and $8$ , $37$ and $63$ .

Example 2 · Borrow, then pay back

Compute $198 + 457$ in your head.

Solution. $198$ is $2$ short of $200$ . Add $200$ , then give back the extra $2$ :

198 + 457 = 200 + 457 - 2 = 657 - 2 = 655.

Check in columns: $8 + 7 = 15$ , $9 + 5 + 1 = 15$ , $1 + 4 + 1 = 6$ , giving $655$ ✓.

The two faces of subtraction

The subtraction $62 - 47$ can be read two ways. One is taking away: start with $62$ beads, remove $47$ , how many remain? The other is difference: how far apart are $47$ and $62$ ? On the number line, the difference is the distance between the two numbers, and you can measure a distance by hopping. From $47$ to $50$ is $3$ , to $60$ is $10$ more, to $62$ is $2$ more: $3 + 10 + 2 = 15$ .

The distance from 47 to 62 on the number line: three hops of 3, 10, and 2 make 15.

Column subtraction follows the taking-away picture. In the ones place you cannot take $7$ beads from $2$ , so you untie one bundle of ten into ten loose beads. Now there are $12$ loose beads, $12 - 7 = 5$ , and of the remaining $5$ bundles you take $4$ , leaving $1$ . Answer: $15$ . Untying a bundle is borrowing. It is the exact reverse of carrying, and it rests on the same fact: one bundle equals ten loose beads.

\begin{array}{r} \small{5\ \,12} \\ \cancel{6}\,\cancel{2} \\ -\ 4\,7 \\ \hline 1\,5 \end{array}

Example 3 · Borrowing across zeros

Compute $5{,}003 - 2{,}748$ .

Solution. In the ones place, $8$ cannot be taken from $3$ , and both the tens and the hundreds are $0$ , so there is nothing next door to borrow from. Untie one thousand into $10$ hundreds; untie one of those into $10$ tens; untie one of those into $10$ ones. Now $5{,}003$ is rewritten as $4$ thousands, $9$ hundreds, $9$ tens, and $13$ ones:

5{,}003 = 4{,}000 + 900 + 90 + 13.

Subtract place by place: $13 - 8 = 5$ , $9 - 4 = 5$ , $9 - 7 = 2$ , $4 - 2 = 2$ . Answer: $2{,}255$ .

Check: $2{,}255 + 2{,}748 = 5{,}003$ ✓ ( $5 + 8 = 13$ , $5 + 4 + 1 = 10$ , $2 + 7 + 1 = 10$ , $2 + 2 + 1 = 5$ ).

Checking runs backwards

Subtraction and addition undo each other. If $a - b = c$ , then $c + b = a$ , because putting back what you took away restores the original amount. So the check for a subtraction is to add the subtracted number to the answer and see whether the original comes back, which is exactly what Example 3 did. An addition can be checked two ways: add again in the other order, or subtract one addend from the sum and see whether the other appears. Either way, the check is not a repeat of the same computation but a different computation aiming at the same answer, which makes repeating the same mistake far less likely.

Example 4 · Computation and check as one package

Compute $7{,}214 - 3{,}869$ and check it.

Solution. Ones: $4 - 9$ needs a borrow, $14 - 9 = 5$ . Tens: now $0 - 6$ , borrow again, $10 - 6 = 4$ . Hundreds: now $1 - 8$ , borrow again, $11 - 8 = 3$ . Thousands: $6 - 3 = 3$ . Answer: $3{,}345$ .

Check: $3{,}345 + 3{,}869$ : $5 + 9 = 14$ , $4 + 6 + 1 = 11$ , $3 + 8 + 1 = 12$ , $3 + 3 + 1 = 7$ , giving $7{,}214$ ✓. The estimate $7{,}200 - 3{,}900 = 3{,}300$ agrees too ✓.

A difference survives a shift

On the number line, move both $47$ and $62$ three steps to the right: they become $50$ and $65$ . The two points moved together, so the distance between them is still $15$ . That is,

62 - 47 = 65 - 50 = 15.

Adding the same number to both numbers, or subtracting the same number from both, leaves the difference unchanged. This is the tool for getting rid of borrowing. Computing $1{,}000 - 387$ means borrowing in every place, but take $1$ from both numbers and

1{,}000 - 387 = 999 - 386 = 613,

where $999$ never needs to borrow. In the other direction, $83 - 29$ is easier if the subtracted number is rounded up to $30$ : $83 - 30 = 53$ , and since we took away $1$ too many, give it back: $54$ . Same property, used the other way around.

Note

Mental arithmetic comes down to two moves. Use complements to build $10, 100, 1{,}000$ and tidy up the places; and add and subtract the same amount, or shift both numbers together, to turn a computation into an easier one. Knowing why each move is legal is what lets you invent your own variations when a new situation comes up.