소수의 사칙연산Decimal Arithmetic

기초 산술Foundations · 3. 소수와 단위3. Decimals & Units

학습 목표

소수의 덧셈·뺄셈에서 소수점을 맞추는 이유를 자릿값으로 설명하고 계산할 수 있다.
소수의 곱셈에서 소수점 아래 자릿수를 더하는 규칙이 왜 통하는지 설명하고 계산할 수 있다.
나누는 수를 자연수로 바꾸어도 몫이 변하지 않는 이유를 알고, 소수의 나눗셈을 할 수 있다.
어림으로 소수점의 위치와 답의 크기를 검산할 수 있다.

덧셈과 뺄셈: 같은 자리끼리

$3.6 + 1.75$ 를 계산하자. 자연수의 세로셈에서 오른쪽 끝을 맞춰 쓴 이유는 같은 자리를 위아래로 놓기 위해서였다. 소수는 오른쪽 끝을 맞추면 안 된다. $3.6$ 의 $6$ 은 $0.1$ 짜리이고 $1.75$ 의 $5$ 는 $0.01$ 짜리라서, 끝을 맞추면 다른 자리를 더하게 된다. 같은 자리를 맞추는 확실한 방법은 소수점을 맞추는 것이다. 소수점이 일의 자리의 경계이기 때문이다.

\begin{array}{r} 3.60 \\ +\ 1.75 \\ \hline 5.35 \end{array}

$3.6$ 을 $3.60$ 으로 쓴 것은 끝에 $0$ 을 붙여도 값이 같기 때문이고, 자리가 비지 않아 계산이 편해진다. 이제 자연수와 똑같이 오른쪽 자리부터 더하고, 열 개가 모이면 왼쪽으로 올린다. $0 + 5 = 5$ , $6 + 7 = 13$ 이니 $3$ 을 쓰고 $1$ 을 일의 자리로 올림, $3 + 1 + 1 = 5$ . 답 $5.35$ .

예제 1 · 자연수에서 소수 빼기

$5 - 1.38$ 을 계산하여라.

풀이. $5$ 는 $5.00$ 이다. 소수점을 맞춰 쓰면

\begin{array}{r} 5.00 \\ -\ 1.38 \\ \hline 3.62 \end{array}

둘째 자리 $0 - 8$ 은 안 되므로 빌린다. 첫째 자리도 $0$ 이라 일의 자리에서 빌려 첫째 자리가 $10$ , 거기서 다시 둘째 자리로 $1$ 빌려주면 첫째 자리 $9$ , 둘째 자리 $10$ . $10 - 8 = 2$ , $9 - 3 = 6$ , $4 - 1 = 3$ . 답 $3.62$ .

검산: $3.62 + 1.38 = 5.00$ ✓. 어림으로 $5 - 1.4 = 3.6$ 근처 ✓.

주의

$3.6 + 1.75$ 에서 오른쪽 끝을 맞춰 $3.6 + 1.75 = 2.11$ 처럼 쓰는 실수, 그리고 $5 - 1.38$ 에서 $5$ 를 $0.05$ 처럼 취급하는 실수가 잦다. 소수점부터 맞추고, 빈자리는 $0$ 으로 채운 뒤 시작하라.

곱셈: 자연수로 곱하고 소수점을 되찾는다

$2.4 \times 0.3$ 은 얼마일까. 자릿값으로 보면 $2.4$ 는 $24$ 를 $10$ 으로 나눈 것이고 $0.3$ 은 $3$ 을 $10$ 으로 나눈 것이다. 그러므로

2.4 \times 0.3 = (24 \div 10) \times (3 \div 10) = (24 \times 3) \div 100 = 72 \div 100 = 0.72.

$10$ 으로 두 번 나누는 것은 $100$ 으로 한 번 나누는 것이고, $100$ 으로 나누면 숫자가 두 자리 오른쪽으로 간다. 그래서 규칙이 나온다. 소수점을 무시하고 자연수처럼 곱한 뒤, 두 수의 소수점 아래 자릿수를 더한 만큼 소수점 아래 자리를 만든다. $2.4$ 는 한 자리, $0.3$ 은 한 자리이므로 답은 두 자리: $0.72$ .

0.3 × 0.4를 100칸 격자에서 보기. 세로 0.3, 가로 0.4인 직사각형은 12칸, 즉 0.12.

그림으로도 확인된다. 한 변이 $1$ 인 정사각형을 $100$ 칸으로 나누고 세로 $0.3$ , 가로 $0.4$ 인 직사각형을 잡으면 $3 \times 4 = 12$ 칸이고, 한 칸은 $0.01$ 이니 $0.12$ 다. $0.3 \times 0.4 = 0.12$ : 한 자리와 한 자리가 두 자리가 되었다.

예제 2 · 끝에 0이 생길 때

$1.25 \times 2.4$ 와 $0.15 \times 0.4$ 를 계산하여라.

풀이. $125 \times 24 = 3{,}000$ . 소수점 아래 자릿수는 $2 + 1 = 3$ 이므로 $3.000$ , 즉 $3$ . 어림: $1 \times 2.5 = 2.5$ 보다 조금 크다 ✓.

$15 \times 4 = 60$ . 자릿수 $2 + 1 = 3$ 이므로 $0.060$ , 끝의 $0$ 을 정리하면 $0.06$ . 자릿수 세기가 이상해 보이지만 $0.060 = 0.06$ 이므로 규칙은 지켜졌다. 어림 $0.15 \times 0.4$ 는 $0.15$ 의 절반보다 조금 작은 값이어야 하니 $0.06$ ✓.

검산: $2.4 \times 1.25 = 2.4 + 0.6 = 3$ ( $1.25 = 1 + \frac{1}{4}$ , $2.4$ 의 $4$ 분의 $1$ 은 $0.6$ ) ✓.

주의

$1$ 보다 작은 수를 곱하면 결과는 곱해지는 수보다 작아진다. $2.5 \times 0.4$ 가 $10$ 이 나왔다면 소수점을 잊은 것이다. $0.4$ 배는 절반보다 작으니 답은 $2.5$ 보다 작아야 하고, 실제로 $1$ 이다. 곱셈 뒤에는 "커졌어야 하나, 작아졌어야 하나"를 한 번 묻자.

나눗셈: 나누는 수를 자연수로

$7.2 \div 0.9$ 는 " $7.2$ 에서 $0.9$ 짜리 묶음을 몇 번 덜어낼 수 있는가"다. 두 수를 똑같이 $10$ 배 하면 $72 \div 9$ 가 되는데, 전체 양도 묶음 크기도 $10$ 배가 되었으니 묶음의 개수는 그대로다. 길이 $7.2\,\text{m}$ 를 $0.9\,\text{m}$ 씩 자르는 것과 $72\,\text{dm}$ 를 $9\,\text{dm}$ 씩 자르는 것은 같은 일이다( $1\,\text{m} = 10\,\text{dm}$ ). 그러므로 $7.2 \div 0.9 = 72 \div 9 = 8$ .

7.2를 0.9씩 나누는 것과 72를 9씩 나누는 것은 같은 그림. 눈금만 10배 촘촘해졌다.

규칙은 이것이다. 나누는 수가 자연수가 될 때까지 두 수의 소수점을 같은 자리만큼 옮긴 뒤 나눈다. 나누는 수만 옮기고 나누어지는 수를 안 옮기면 몫이 $10$ 배씩 틀어진다.

예제 3 · 두 자리 옮기기

$3.6 \div 0.04$ 를 계산하여라.

풀이. 나누는 수 $0.04$ 를 자연수로 만들려면 두 자리 옮겨야 한다. 두 수 모두 $100$ 배: $360 \div 4 = 90$ .

검산: $0.04 \times 90 = 3.6$ ✓. $1$ 보다 작은 수로 나누면 몫은 나누어지는 수보다 커진다 — $0.04$ 짜리 묶음은 아주 작아서 $3.6$ 안에 많이 들어간다 ✓.

나누는 수가 이미 자연수인 $5.4 \div 4$ 는 다른 얼굴이다. $5.4$ 는 $0.1$ 짜리 $54$ 개인데 $54 \div 4 = 13$ 나머지 $2$ 로 나누어떨어지지 않는다. 그러면 단위를 더 잘게 잡는다. $5.4$ 는 $0.01$ 짜리 $540$ 개이고 $540 \div 4 = 135$ 이므로 몫은 $0.01$ 짜리 $135$ 개, 즉 $1.35$ . 세로셈에서는 $5.4$ 를 $5.40$ 으로 쓰고 소수점 아래까지 나눗셈을 이어 가는 것으로 나타난다. 몫의 소수점은 나누어지는 수의 소수점 바로 위에 찍는다.

\begin{array}{r} 1.35 \\ 4\overline{\smash{)}\,5.40} \\ 4\phantom{.00} \\ \hline 1\,4\phantom{0} \\ 1\,2\phantom{0} \\ \hline 2\,0 \\ 2\,0 \\ \hline 0 \end{array}

예제 4 · 나누어떨어질 때까지 0을 붙인다

$7 \div 8$ 을 소수로 구하여라.

풀이. $7 = 7.000$ 으로 보고 나눈다. $70 \div 8 = 8$ 나머지 $6$ , $60 \div 8 = 7$ 나머지 $4$ , $40 \div 8 = 5$ . 몫 $0.875$ .

검산: $0.875 \times 8 = 7$ ✓ ( $0.875 \times 8 = 7.000$ ). $8$ 로 나누는 것은 반으로 세 번 나누는 것이니 $7 \to 3.5 \to 1.75 \to 0.875$ ✓.

어림이 소수점을 지킨다

소수 계산에서 숫자를 틀리는 일보다 소수점 위치를 틀리는 일이 훨씬 잦다. 계산 전에 답의 크기를 한 줄로 잡아 두면 소수점 실수는 거의 다 잡힌다. $4.8 \times 2.5$ 는 $5 \times 2.5 = 12.5$ 근처이니 $48 \times 25 = 1{,}200$ 에서 소수점은 $12.00$ 자리에 찍힌다. $3.6 \div 0.04$ 는 "작은 묶음으로 나누니 큰 몫"이므로 $0.9$ 나 $9$ 가 아니라 $90$ 이다.

참고

소수 계산의 규칙 셋은 모두 자릿값 한 가지에서 나왔다. 덧셈·뺄셈은 같은 자리끼리(소수점 맞추기), 곱셈은 $10$ 으로 나눈 횟수를 합치기(자릿수 더하기), 나눗셈은 두 수를 같은 배로 키워도 몫이 같다는 사실(소수점 함께 옮기기). 규칙을 잊으면 자릿값으로 돌아가 다시 만들면 된다.

Goals

Explain, using place value, why decimal points are lined up when adding and subtracting decimals, and compute accordingly.
Explain why the rule "add the numbers of decimal places" works when multiplying decimals, and compute accordingly.
Know why the quotient is unchanged when the divisor is turned into a whole number, and divide decimals.
Use estimates to check the position of the decimal point and the size of an answer.

Adding and subtracting: like places with like places

Let's compute $3.6 + 1.75$ . In whole-number column work, lining up the right-hand ends put equal places one above the other. With decimals, lining up the right-hand ends is wrong: the $6$ in $3.6$ is worth tenths, while the $5$ in $1.75$ is worth hundredths, so lining up the ends would add different places together. The reliable way to match places is to line up the decimal points, because the point marks the boundary of the ones place.

\begin{array}{r} 3.60 \\ +\ 1.75 \\ \hline 5.35 \end{array}

Writing $3.6$ as $3.60$ is allowed because a trailing zero changes nothing, and it leaves no empty place to worry about. Now add from the right exactly as with whole numbers, carrying whenever ten collect: $0 + 5 = 5$ ; $6 + 7 = 13$ , write $3$ and carry $1$ into the ones; $3 + 1 + 1 = 5$ . Answer: $5.35$ .

Example 1 · Subtracting a decimal from a whole number

Compute $5 - 1.38$ .

Solution. $5$ is $5.00$ . Lining up the points,

\begin{array}{r} 5.00 \\ -\ 1.38 \\ \hline 3.62 \end{array}

In the hundredths, $0 - 8$ needs a borrow. The tenths are $0$ too, so borrow from the ones: the tenths become $10$ , lend $1$ to the hundredths, leaving tenths $9$ and hundredths $10$ . Then $10 - 8 = 2$ , $9 - 3 = 6$ , $4 - 1 = 3$ . Answer: $3.62$ .

Check: $3.62 + 1.38 = 5.00$ ✓. The estimate $5 - 1.4 = 3.6$ is close ✓.

Watch out

Two frequent slips: lining up the right-hand ends in $3.6 + 1.75$ and getting $2.11$ , and treating the $5$ in $5 - 1.38$ as if it were $0.05$ . Line up the points first, fill empty places with $0$ s, and only then begin.

Multiplying: multiply as whole numbers, then recover the point

What is $2.4 \times 0.3$ ? By place value, $2.4$ is $24$ divided by $10$ and $0.3$ is $3$ divided by $10$ . Therefore

2.4 \times 0.3 = (24 \div 10) \times (3 \div 10) = (24 \times 3) \div 100 = 72 \div 100 = 0.72.

Dividing by $10$ twice is dividing by $100$ once, and dividing by $100$ moves the digits two places to the right. Hence the rule: ignore the points and multiply as whole numbers, then give the product as many decimal places as the two factors have between them. $2.4$ has one and $0.3$ has one, so the answer has two: $0.72$ .

0.3 × 0.4 on a 100-cell grid. A rectangle 0.3 tall and 0.4 wide covers 12 cells, which is 0.12.

The picture confirms it. Cut a unit square into $100$ cells and mark a rectangle $0.3$ tall and $0.4$ wide: it covers $3 \times 4 = 12$ cells, each worth $0.01$ , so $0.12$ . Thus $0.3 \times 0.4 = 0.12$ : one place and one place made two.

Example 2 · When zeros appear at the end

Compute $1.25 \times 2.4$ and $0.15 \times 0.4$ .

Solution. $125 \times 24 = 3{,}000$ . The decimal places number $2 + 1 = 3$ , so $3.000$ , that is, $3$ . The estimate says $1.25 \times 2.4$ should be a bit more than $1 \times 2.5$ ✓.

$15 \times 4 = 60$ . With $2 + 1 = 3$ decimal places that is $0.060$ , and dropping the trailing zero gives $0.06$ . The place count looks odd, but $0.060 = 0.06$ , so the rule was obeyed. As an estimate, $0.15 \times 0.4$ should be a little under half of $0.15$ , and $0.06$ is ✓.

Check: $2.4 \times 1.25 = 2.4 + 0.6 = 3$ , since $1.25 = 1 + \frac14$ and a quarter of $2.4$ is $0.6$ ✓.

Watch out

Multiplying by a number less than $1$ makes the result smaller than the number you started with. If $2.5 \times 0.4$ came out as $10$ , the decimal point was forgotten: $0.4$ of something is less than half of it, so the answer must be below $2.5$ , and it is in fact $1$ . After every multiplication, ask once: should this have grown or shrunk?

Dividing: make the divisor a whole number

$7.2 \div 0.9$ asks how many groups of $0.9$ can be taken from $7.2$ . Multiply both numbers by $10$ and it becomes $72 \div 9$ ; the total and the group size both grew tenfold, so the number of groups is unchanged. Cutting a $7.2\,\text{m}$ length into $0.9\,\text{m}$ pieces is the same job as cutting $72\,\text{dm}$ into $9\,\text{dm}$ pieces (a decimeter, dm, is a tenth of a meter). So $7.2 \div 0.9 = 72 \div 9 = 8$ .

Dividing 7.2 into pieces of 0.9 and dividing 72 into pieces of 9 are the same picture; only the ruler is ten times finer.

The rule: move the decimal point in both numbers by the same number of places until the divisor is a whole number, then divide. Moving only the divisor's point and not the dividend's throws the quotient off by a factor of $10$ per place.

Example 3 · Moving two places

Compute $3.6 \div 0.04$ .

Solution. To make $0.04$ a whole number, move two places. Multiply both by $100$ : $360 \div 4 = 90$ .

Check: $0.04 \times 90 = 3.6$ ✓. Dividing by a number less than $1$ gives a quotient larger than the dividend: groups of $0.04$ are tiny, so many of them fit in $3.6$ ✓.

When the divisor is already a whole number, as in $5.4 \div 4$ , there is a different wrinkle. $5.4$ is $54$ tenths, but $54 \div 4 = 13$ remainder $2$ does not come out even. So use a finer unit: $5.4$ is $540$ hundredths, and $540 \div 4 = 135$ , so the quotient is $135$ hundredths, that is, $1.35$ . In column form, this is writing $5.4$ as $5.40$ and carrying the division past the point, placing the quotient's decimal point directly above the dividend's.

\begin{array}{r} 1.35 \\ 4\overline{\smash{)}\,5.40} \\ 4\phantom{.00} \\ \hline 1\,4\phantom{0} \\ 1\,2\phantom{0} \\ \hline 2\,0 \\ 2\,0 \\ \hline 0 \end{array}

Example 4 · Append zeros until it comes out even

Write $7 \div 8$ as a decimal.

Solution. Treat $7$ as $7.000$ and divide: $70 \div 8 = 8$ remainder $6$ ; $60 \div 8 = 7$ remainder $4$ ; $40 \div 8 = 5$ . Quotient $0.875$ .

Check: $0.875 \times 8 = 7$ ✓ (indeed $0.875 \times 8 = 7.000$ ). Dividing by $8$ is halving three times: $7 \to 3.5 \to 1.75 \to 0.875$ ✓.

An estimate guards the decimal point

In decimal arithmetic, getting the position of the point wrong is far more common than getting a digit wrong. Fix the size of the answer in one line before computing and nearly every point error is caught. $4.8 \times 2.5$ is near $5 \times 2.5 = 12.5$ , so in $48 \times 25 = 1{,}200$ the point goes at $12.00$ . And $3.6 \div 0.04$ means "small groups, hence a large count," so the answer is $90$ , not $0.9$ or $9$ .

Note

All three decimal rules came from one idea, place value. Adding and subtracting: like places with like places (line up the points). Multiplying: combine the number of times you divided by $10$ (add the decimal places). Dividing: scaling both numbers by the same factor leaves the quotient alone (move both points together). Forget a rule and you can rebuild it from place value.

소수의 사칙연산Decimal Arithmetic

덧셈과 뺄셈: 같은 자리끼리

곱셈: 자연수로 곱하고 소수점을 되찾는다

나눗셈: 나누는 수를 자연수로

어림이 소수점을 지킨다

Adding and subtracting: like places with like places

Multiplying: multiply as whole numbers, then recover the point

Dividing: make the divisor a whole number

An estimate guards the decimal point

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