"지호는 사탕을 개 가지고 있고, 민서는 지호보다 개 더 가지고 있다. 민서의 사탕은 몇 개인가?" 쉬운 문제지만, 어려운 문제를 푸는 방법이 여기에 다 들어 있다. 문장을 읽고 나서 바로 계산하지 말고, 양을 막대로 그린다. 지호의 사탕은 막대 하나, 민서의 사탕은 같은 막대에 개짜리 토막을 이어 붙인 것이다.
그림이 되는 순간 계산은 정해진다. 민서의 막대는 이다. 막대 그림의 좋은 점은 세 가지다. 어느 양이 큰지 한눈에 보이고, "더"와 "덜", "배"가 막대의 길이로 번역되며, 무엇을 더하고 무엇을 뺄지 그림이 알려 준다. 문장제에서 헤매는 원인의 대부분은 계산이 아니라 관계를 잘못 읽는 것이고, 그림은 관계를 읽는 도구다.
문제를 읽을 때 두 가지를 먼저 적는다. 아는 것(주어진 수와 관계)과 묻는 것(무엇을 구하라는가). 그다음에 아는 것을 막대로 그리고, 묻는 것에 물음표를 붙인다. 이 순서를 지키면 문제가 길어져도 길을 잃지 않는다.
두 수의 합이 이고 차가 일 때 두 수를 찾아보자. 큰 수와 작은 수를 막대로 그리면, 큰 막대는 작은 막대에 짜리 토막을 붙인 것이다. 두 막대를 합친 길이가 이다.
그림에서 토막을 떼어 내면 똑같은 작은 막대 두 개가 남고, 그 길이는 이다. 작은 수는 의 절반인 , 큰 수는 .
어느 학교의 남학생과 여학생을 합치면 명이고, 여학생이 남학생보다 명 많다. 남학생과 여학생은 각각 몇 명인가?
풀이. 남학생 막대와, 거기에 를 붙인 여학생 막대를 그린다. 를 떼어 내면 남학생 막대 두 개가 남고 그 합은 . 남학생은 의 절반 명, 여학생은 명.
검산: 두 조건에 모두 되돌려 넣는다. ✓, ✓.
거꾸로 짜리 토막을 남학생 막대에 붙여서 여학생 막대 두 개를 만들어도 된다. , 여학생은 절반인 명. 합에서 차를 빼면 작은 수 둘, 합에 차를 더하면 큰 수 둘. 어느 길이든 그림이 근거다.
"형의 저금은 동생의 배이고, 둘의 저금을 합치면 원이다." 동생의 저금을 막대 한 칸으로 그리면 형은 같은 칸 세 개다. 합쳐서 네 칸이 원이다.
한 칸은 원이다. 동생은 원, 형은 원.
언니의 책은 동생의 책의 배보다 권 많고, 둘의 책을 합치면 권이다. 각각 몇 권인가?
풀이. 동생을 한 칸으로 그리면 언니는 네 칸에 권짜리 토막이 붙는다. 전체는 다섯 칸과 권이므로 다섯 칸은 권, 한 칸은 권. 동생 권, 언니 권.
검산: ✓, ✓.
"배보다 권 많다"를 "배"로 읽고 부터 계산하면 답이 나누어떨어지지 않아 당황하게 된다. 덤으로 붙은 토막은 먼저 떼어 내고 칸을 나눈다. 그림을 그리면 이 순서가 저절로 보인다.
"가진 돈의 절반을 쓰고, 남은 돈의 절반을 다시 썼더니 원이 남았다. 처음 가진 돈은?" 이 문제는 처음 양을 모르니 앞에서부터 계산할 수 없다. 대신 끝에서 거꾸로 간다. 마지막에 남은 원은 "남은 돈의 절반"이므로 그 전에는 원이 있었고, 원은 "처음 돈의 절반"이므로 처음에는 원이 있었다.
막대로 보면 처음 돈 막대를 반으로 접고, 다시 반으로 접어 남은 조각이 이다. 조각 넷이 전체이므로 원.
어떤 수에 을 곱한 뒤 를 더했더니 가 되었다. 어떤 수는?
풀이. 마지막 동작부터 되돌린다. 를 더해서 가 됐으니 더하기 전에는 . 을 곱해서 이 됐으니 곱하기 전에는 . 어떤 수는 .
검산: , ✓. 되돌릴 때는 순서를 거꾸로, 연산도 거꾸로(더하기 ↔ 빼기, 곱하기 ↔ 나누기) 한다.
문제 하나에 연산이 여럿 들어가면 상황을 시간 순서대로 재구성하고, 단계마다 "지금 구한 수가 무엇인지" 이름을 붙인다.
학생 명이 인승 버스를 빌려 소풍을 간다. 버스 한 대의 대절료가 원이고 비용을 학생들이 똑같이 나누어 낸다면, 한 사람이 내는 돈은 얼마인가?
풀이. 단계 1 — 버스 수. 나머지 . 남은 명도 타야 하니 대.
단계 2 — 총비용. 원.
단계 3 — 한 사람 몫. 원.
검산: ✓, ✓, 버스 대의 정원 이고 대면 ✓. 어림으로 봐도 대략 만 원을 여 명이 나누니 원 안팎 ✓.
검산은 문제의 조건 전부에 답을 되돌려 넣는 것이다. 예제 1에서 합만 확인하고 차를 빼먹으면 같은 오답도 통과한다. 조건이 둘이면 검산도 둘이다.
"Jiho has candies, and Minseo has more than Jiho. How many does Minseo have?" An easy problem, but the whole method for hard problems is already inside it. After reading, do not jump to computing; draw the quantities as bars. Jiho's candies are one bar; Minseo's are the same bar with a -candy piece attached.
The moment the picture exists, the computation is decided: Minseo's bar is . Bar models do three things well. They show at a glance which quantity is bigger; they translate "more," "fewer," and "times" into lengths; and they tell you what to add and what to subtract. Most trouble with word problems comes not from the arithmetic but from misreading the relationships, and the picture is a tool for reading them.
Before anything else, write down two things: what is known (the given numbers and relationships) and what is asked. Then draw the known quantities as bars and put a question mark on the asked one. Keep this order and even a long problem stays navigable.
Two numbers add to and differ by . Draw the larger and the smaller as bars: the larger bar is the smaller bar with a piece worth attached, and the two bars together measure .
Cut off the piece and two identical copies of the smaller bar remain, with total length . The smaller number is half of that, , and the larger is .
A school has students in all, and there are more girls than boys. How many boys and how many girls are there?
Solution. Draw a bar for the boys and, for the girls, the same bar with attached. Cutting off the leaves two boy-bars totaling . Boys: half of , which is . Girls: .
Check against both conditions: ✓ and ✓.
You could instead attach a piece to the boys' bar to make two girl-bars: , and the girls are half of that, . Sum minus difference gives two copies of the smaller; sum plus difference gives two copies of the larger. Either road, the picture is the justification.
"An older brother has saved times as much as his younger brother, and together they have won." Draw the younger brother's savings as one unit bar; the older brother's is three of those units. Together, four units make won.
One unit is won. The younger brother has won and the older has won.
An older sister has more than times as many books as her younger sister, and together they have books. How many does each have?
Solution. Draw the younger sister as one unit; the older sister is four units plus a piece worth . The whole is five units and books, so five units make books and one unit is . Younger sister books, older sister books.
Check: ✓ and ✓.
Reading " more than times" as just " times" leads straight to , which does not come out evenly, and then confusion. Cut off the extra piece first, then divide into units. Drawing the bars makes this order obvious.
"I spent half of my money, then half of what was left, and won remained. How much did I start with?" The starting amount is unknown, so you cannot compute forwards. Instead, go backwards from the end. The final won is "half of what was left," so before that there were won; and won is "half of the original," so the original was won.
In bars: fold the original bar in half, then in half again; the piece that remains is . Four such pieces make the whole, so won.
A number was multiplied by and then was added, giving . What was the number?
Solution. Undo the last step first. Adding gave , so before that it was . Multiplying by gave , so before that it was . The number is .
Check: and ✓. When undoing, reverse the order and reverse each operation (adding ↔ subtracting, multiplying ↔ dividing).
When one problem involves several operations, rebuild the situation in time order and name what each intermediate number means.
students rent -seat buses for a field trip. Each bus costs won, and the students split the cost equally. How much does each student pay?
Solution. Step 1, the number of buses: remainder . The leftover students need seats too, so buses.
Step 2, the total cost: won.
Step 3, each student's share: won.
Check: ✓, ✓, and three buses seat while two seat only ✓. As an estimate, roughly half a million won split among a bit over a hundred people is about won each ✓.
A check means putting the answer back into every condition of the problem. In Example 1, checking only the sum would let a wrong answer like slip through. Two conditions, two checks.
지호는 사탕을 개 가지고 있고, 민서는 지호보다 개 적게 가지고 있다. 민서의 사탕 수와 두 사람의 사탕 수의 합을 구하여라.
Jiho has candies, and Minseo has fewer than Jiho. Find how many Minseo has, and the total for both.
지호의 막대 에서 를 떼어 낸 것이 민서의 막대다: 개. 합은 개.
검산: 이므로 민서가 개 적다 ✓.
Minseo's bar is Jiho's bar of with cut off: . The total is .
Check: , so Minseo has fewer ✓.
두 수의 합은 이고 차는 이다. 두 수를 구하여라.
Two numbers add to and differ by . Find them.
큰 막대는 작은 막대에 를 붙인 것이다. 를 떼어 내면 작은 막대 둘이 이므로 작은 수는 , 큰 수는 .
검산: ✓, ✓.
The larger bar is the smaller bar plus . Cut off the and two smaller bars total , so the smaller number is and the larger is .
Check: ✓ and ✓.
언니의 저금은 동생의 저금의 배이고, 둘의 저금을 합치면 원이다. 각각 얼마인가?
An older sister has saved times as much as her younger sister, and together they have won. How much does each have?
동생을 한 칸, 언니를 네 칸으로 그리면 다섯 칸이 원이다. 한 칸은 원. 동생 원, 언니 원.
검산: ✓, ✓.
Draw the younger sister as one unit and the older as four; five units make won, so one unit is won. Younger sister won, older sister won.
Check: ✓ and ✓.
어떤 수를 으로 나눈 뒤 을 더했더니 이 되었다. 어떤 수는?
A number was divided by and then was added, giving . What was the number?
마지막 동작부터 되돌린다. 을 더해 이 됐으니 그 전은 . 으로 나눠 가 됐으니 그 전은 .
검산: , ✓.
Undo the last step first. Adding gave , so before that it was . Dividing by gave , so before that it was .
Check: and ✓.
서준, 하은, 도윤 세 사람이 구슬을 모두 개 가지고 있다. 서준이는 하은이보다 개 많고, 도윤이는 서준이보다 개 많다. 세 사람의 구슬 수를 각각 구하여라.
Seojun, Haeun, and Doyun have marbles altogether. Seojun has more than Haeun, and Doyun has more than Seojun. How many marbles does each have?
가장 적은 하은이를 기준 막대로 잡는다. 서준이는 하은이 막대에 를 붙인 것, 도윤이는 서준이 막대에 을 더 붙인 것이므로 하은이 막대에 을 붙인 것이다.
세 막대에서 덤 와 을 떼어 내면 하은이 막대 세 개가 남고, 그 합은 . 하은이는 개, 서준이는 개, 도윤이는 개.
검산: ✓, ✓, ✓.
Take Haeun, who has the fewest, as the base bar. Seojun's bar is Haeun's plus ; Doyun's is Seojun's plus , that is, Haeun's plus .
Cut the extras and off the three bars and three copies of Haeun's bar remain, totaling . Haeun has , Seojun , Doyun .
Check: ✓, ✓, ✓.
형의 저금은 동생의 저금의 배보다 원 많고, 둘의 저금을 합치면 원이다. 각각 얼마인가?
An older brother has saved won more than times what his younger brother has, and together they have won. How much does each have?
동생을 한 칸으로 그리면 형은 세 칸에 원 토막이 붙는다. 전체 네 칸과 원이 원이므로 네 칸은 원, 한 칸은 원. 동생 원, 형 원.
검산: ✓, ✓.
Draw the younger brother as one unit; the older brother is three units plus a -won piece. Four units and won make won, so four units make won and one unit is won. Younger brother won, older brother won.
Check: ✓ and ✓.
아버지는 세, 아들은 세이다. 아버지의 나이가 아들의 나이의 배가 되는 것은 몇 년 뒤인가?
A father is and his son is . In how many years will the father be exactly twice as old as the son?
두 사람의 나이 차 세는 몇 년이 지나도 변하지 않는다. 아버지가 아들의 배가 되는 해에 아들을 한 칸으로 그리면 아버지는 두 칸이고, 두 칸과 한 칸의 차인 한 칸이 세다. 즉 그해 아들은 세이고, 지금 세이므로 년 뒤다.
검산: 년 뒤 아들 세, 아버지 세, ✓.
The age gap, years, never changes. In the year the father is twice as old, draw the son as one unit and the father as two; the difference, one unit, is years. So the son will be that year, and since he is now, that is years from now.
Check: in years the son is and the father is , and ✓.
하은이는 책을 첫날 전체의 절반을 읽고, 둘째 날 남은 것의 절반보다 쪽을 더 읽었더니 쪽이 남았다. 이 책은 모두 몇 쪽인가?
Haeun read half of a book on the first day. On the second day she read pages more than half of what was left, and then pages remained. How many pages does the book have?
끝에서 거꾸로 간다. 둘째 날이 시작될 때 남아 있던 쪽수를 막대로 그리면, 둘째 날 읽은 것은 그 절반에 쪽을 더한 것이고 남은 것이 쪽이다. 절반에서 쪽을 빼면 쪽이므로 절반은 쪽, 둘째 날 시작 때는 쪽이 남아 있었다.
쪽은 첫날 절반을 읽고 남은 것이므로 전체는 쪽.
검산: 첫날 쪽 읽고 쪽 남음. 둘째 날 쪽 읽고 쪽 남음 ✓.
Work backwards. Draw the pages left at the start of day two as a bar: day two's reading is half of it plus pages, and pages remain. So half the bar minus pages is pages, making half the bar pages and the whole bar pages at the start of day two.
Those pages are what remained after reading half on day one, so the book has pages.
Check: day one, read , left. Day two, read , leaving ✓.
학생 명이 인승 버스를 빌려 현장학습을 간다. 버스 한 대의 대절료는 원이고, 비용을 학생들이 똑같이 나누어 낸다. 한 사람이 내는 돈은 얼마인가?
students rent -seat buses for a field trip. Each bus costs won, and the students split the cost equally. How much does each student pay?
버스 수: 나머지 . 남은 명도 타야 하니 대.
총비용: 원.
한 사람 몫: 원. (이고 .)
검산: ✓. 버스 대 정원 , 대면 ✓.
Buses: remainder . The leftover students need seats, so buses.
Total cost: won.
Each share: won. (Since , and .)
Check: ✓. Four buses seat , while three seat only ✓.
닭과 토끼가 모두 마리 있고, 다리를 세어 보니 모두 개였다. 토끼는 몇 마리인가?
There are chickens and rabbits in all, and legs in all. How many rabbits are there?
마리가 모두 닭이라면 다리는 몇 개인가? 실제 다리 수와의 차이는 어디서 생기는가?
If all animals were chickens, how many legs would there be? Where does the gap from the real leg count come from?
마리가 전부 닭이라고 가정하면 다리는 개다. 실제로는 개이므로 개가 남는다. 닭 한 마리를 토끼 한 마리로 바꿀 때마다 다리가 개씩 늘어나므로, 마리를 토끼로 바꿔야 한다. 토끼 마리, 닭 마리.
검산: ✓, ✓.
Suppose all animals were chickens: that would be legs. There are actually , leaving legs unexplained. Swapping one chicken for one rabbit adds legs, so animals must be rabbits. Rabbits , chickens .
Check: ✓ and ✓.
두 상자 A, B에 구슬이 모두 개 들어 있다. A에서 B로 개를 옮기면 두 상자의 구슬 수가 같아진다. 처음에 A와 B에는 각각 몇 개가 있었는가?
Boxes A and B hold marbles in all. Moving marbles from A to B makes the two boxes equal. How many marbles were in each box to begin with?
옮긴 뒤 두 상자가 같아졌다면 옮긴 뒤 각 상자에는 몇 개씩 있는가? 그 상태에서 옮기기 전으로 되돌려라.
If the boxes are equal after the move, how many does each hold then? From that state, undo the move.
옮겨도 전체는 개 그대로다. 옮긴 뒤 두 상자가 같으므로 각각 개. 옮기기 전으로 되돌리면 A는 개를 도로 받아 개, B는 개를 돌려주어 개.
검산: ✓. A에서 B로 개를 옮기면 개와 개 ✓. (A가 B보다 개 많다는 것도 보인다. 같아지려면 차의 절반을 옮겨야 한다.)
Moving marbles does not change the total, still . After the move the boxes are equal, so each holds . Undo the move: A gets its back, , and B gives back, .
Check: ✓, and moving from A to B gives and ✓. (Notice A had more than B; to equalize, you move half the difference.)
두 수의 합이 이고 차가 일 때, 작은 수는 이고 큰 수는 이다. 이 두 규칙이 왜 성립하는지 막대 그림으로 설명하여라.
When two numbers have sum and difference , the smaller number is and the larger is . Explain with a bar model why both rules hold.
큰 수와 작은 수를 막대로 그린다. 큰 막대는 작은 막대에 길이 인 토막을 붙인 것이고, 두 막대의 길이 합은 다.
작은 수. 큰 막대에서 토막을 떼어 내면 작은 막대 두 개가 남는다. 두 막대의 합에서 를 뺐으니 남은 길이는 이고, 이것이 작은 막대 두 개이므로 작은 수는 다.
큰 수. 반대로 작은 막대에 토막을 붙이면 큰 막대 두 개가 된다. 합에 를 더했으니 길이는 이고, 이것이 큰 막대 두 개이므로 큰 수는 다.
두 결과를 더하면 로 합이 맞고, 빼면 로 차가 맞는다.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 큰 막대 작은 막대 , 두 막대의 합 라는 그림 설정이 있으면 기본 점수. ② 를 떼어 내어 작은 막대 둘 를 얻는 논리를 쓰면 추가 점수. ③ 를 붙여 큰 막대 둘 를 얻는 논리까지 쓰면 만점. 큰 수를 로 구해도 같은 값이므로 만점.
Draw the larger and smaller numbers as bars. The larger bar is the smaller bar with a piece of length attached, and the two bars have total length .
The smaller number. Cut the piece off the larger bar and two copies of the smaller bar remain. We removed from a total of , so the remaining length is , and since that is two smaller bars, the smaller number is .
The larger number. Instead, attach a piece to the smaller bar and you get two copies of the larger bar. We added to the total, so the length is , and since that is two larger bars, the larger number is .
Adding the two results gives , the right sum, and subtracting gives , the right difference.
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① Setting up the picture, larger bar smaller bar with the two bars totaling : base credit. ② The argument that cutting off leaves two smaller bars worth : more credit. ③ The argument that attaching makes two larger bars worth : full credit. Obtaining the larger number as gives the same value and also earns full credit.
지호와 민서가 구슬을 가지고 있다. 먼저 지호가 민서에게 민서가 가진 것과 같은 개수를 주었고, 그다음 민서가 지호에게 지호가 가진 것과 같은 개수를 주었더니 두 사람 모두 개가 되었다. 처음에 두 사람은 각각 몇 개를 가지고 있었는가?
Jiho and Minseo have some marbles. First Jiho gives Minseo as many marbles as Minseo already has; then Minseo gives Jiho as many as Jiho has at that moment. Now each of them has marbles. How many did each have at the start?
마지막 상태에서 한 단계씩 거꾸로 되돌려라. "지호가 가진 것과 같은 개수를 주어 지호가 개가 되었다"면, 주기 직전 지호는 몇 개였는가?
Undo the steps one at a time from the final state. If "giving Jiho as many as Jiho has" left Jiho with , how many did Jiho have just before?
끝에서 거꾸로 간다. 마지막에는 지호 개, 민서 개.
둘째 단계 되돌리기. 민서가 지호에게 "지호가 가진 만큼" 주어 지호가 개가 되었으니, 주기 전 지호는 절반인 개였고 민서는 개를 더 가진 개였다.
첫째 단계 되돌리기. 지호가 민서에게 "민서가 가진 만큼" 주어 민서가 개가 되었으니, 주기 전 민서는 개였고 지호는 개를 더 가진 개였다.
처음에 지호 개, 민서 개.
검산: 지호가 민서에게 개를 주면 지호 , 민서 . 민서가 지호에게 개를 주면 민서 , 지호 ✓. 전체 개는 내내 그대로다 ✓.
Work backwards from the end: Jiho , Minseo .
Undo the second step. Minseo gave Jiho "as many as Jiho had," leaving Jiho with , so just before, Jiho had half, , and Minseo had more, .
Undo the first step. Jiho gave Minseo "as many as Minseo had," leaving Minseo with , so just before, Minseo had and Jiho had more, .
At the start: Jiho , Minseo .
Check: Jiho gives Minseo , making Jiho and Minseo . Minseo gives Jiho , making Minseo and Jiho ✓. The total, , never changes ✓.