사탕을 개씩 봉지 사면 모두 몇 개인가. 개다. 같은 수를 거듭 더하는 일은 너무 자주 생겨서 따로 이름과 기호가 있다. 를 번 더한 것을 이라 쓰고, 그 결과 를 곱이라 한다.
거듭 더하기로만 보면 과 는 다른 계산이다. 하나는 이고 다른 하나는 이다. 그런데 결과는 둘 다 다. 우연일까? 점을 배열로 놓아 보면 우연이 아님이 보인다.
가로로 개씩 줄 놓인 점은 세로로 읽으면 개씩 줄이다. 같은 점들을 두 방향으로 센 것뿐이니 일 수밖에 없다. 어떤 두 수든 마찬가지다.
어떤 수 에 대해서도 다음이 성립한다.
결합법칙은 상자에 담긴 각설탕으로 확인할 수 있다. 한 층에 개씩 층이면 개다. 같은 상자를 옆에서 보면 개짜리 벽이 겹이므로 개. 같은 상자를 두 방향으로 센 것이니 같을 수밖에 없다.
곱셈 계산의 핵심은 분배법칙이다. 가로 , 세로 인 직사각형 격자의 칸 수 를 구하고 싶다. 한 번에 세기엔 크지만, 가로를 , 세로를 으로 자르면 네 조각이 되고 조각마다 세기가 쉽다.
조각의 합이 전체와 같다는 것은 그림에서 명백하다. 자르는 방법이 곱셈을 쉽게 만드는 열쇠이고, 세로셈은 그 자르기를 자릿값대로 하는 것이다.
의 세로셈을 보자.
첫째 줄 는 이고, 그림의 오른쪽 두 조각 다. 둘째 줄 은 , 그림의 왼쪽 두 조각 이다. 세로셈은 곱하는 수 를 로 자른 뒤 각각 곱해 더하는 분배법칙이고, 각 줄 안에서는 다시 을 으로 자르는 분배법칙이 자리별 계산으로 숨어 있다.
둘째 줄을 한 칸 왼쪽에 쓰는 이유도 여기 있다. 은 의 배이고, 배는 모든 숫자를 한 자리씩 왼쪽으로 옮긴다. 낱개가 열 묶음이 되고 열 묶음이 백 묶음이 되니, 각 숫자가 다음 자리로 옮겨 가고 빈 일의 자리에 이 남는다. 이다. 배는 두 자리, 배는 세 자리 옮긴다.
을 계산하여라.
풀이. 으로 자른다.
: → , 올림 . → , 올림 . . 그래서 .
.
검산: 어림 근처 ✓. 끝자리 이므로 답은 로 끝나야 한다 ✓.
가운데 이 있는 수를 곱할 때 인 자리를 건너뛰는 실수가 잦다. 에서 십의 자리는 에 올림 을 더한 이지, 없는 자리가 아니다. 답은 이고 세 자리 가 아니다. 그리고 둘째 줄을 왼쪽으로 옮기지 않으면 이 가 되어 답이 크게 틀어진다. 어림이 이 두 실수를 모두 잡아낸다.
곱셈 검산은 세 가지를 겹쳐 쓴다. 어림은 자릿수를 지킨다. 는 근처여야 하므로, 세로셈에서 이 나왔다면 둘째 줄을 옮기지 않은 것이다. 끝자리는 일의 자리를 지킨다. 두 수의 일의 자리끼리 곱한 의 끝 가 답의 끝자리여야 한다. 교환은 계산 전체를 다른 길로 반복한다. 로 다시 곱해 같은 답이 나오는지 본다.
를 계산하고 세 가지 방법으로 검산하여라.
풀이. , , 합 .
어림: 근처 ✓. 끝자리: , 답 끝자리 ✓. 교환: , , 합 ✓.
세 법칙을 알면 암산 기술을 외우지 않고 만들 수 있다.
는 의 절반. 는 의 절반이므로 는 의 절반, 즉 . 근거: , 즉 두 개가 이다(분배법칙).
는 의 4분의 1. 는 을 반의 반으로: . 근거는 위와 같다. .
는 에서 한 번 빼기. . 근거: (분배법칙). 같은 이유로 은 에 한 번 더하기: .
한쪽을 두 배, 다른 쪽을 절반. . 근거는 결합법칙이다: . 배열로 보면 줄짜리 배열을 반으로 잘라 옆에 이어 붙이면 줄에 두 배 긴 배열이 된다.
암산 기술은 전부 세 법칙의 응용이다. 기술이 안 떠오르면 곱하는 수를 계산하기 좋은 조각으로 자르는 것(분배법칙)과 곱하는 순서를 바꾸는 것(교환·결합법칙)부터 시도한다. 는 부터 곱하면 고생이지만 을 먼저 묶으면 으로 끝난다.
Buy bags of candy with pieces in each: that's pieces. Adding the same number over and over comes up so often that it has its own name and symbol. Adding three times is written , and the result, , is the product.
Seen only as repeated addition, and are different computations: versus . Yet both come out to . Coincidence? Lay the dots out in an array and it clearly isn't.
Dots arranged in rows of are, read by columns, columns of . Same dots, counted two ways, so has to hold. The same goes for any two numbers.
For any numbers :
The associative law shows up in a box of sugar cubes. With cubes per layer and layers, the box holds cubes. Look at the same box from the side and it is walls of cubes each: . Same box, two counts, so they must agree.
The distributive law is what makes multiplication computable. Suppose we want the number of cells in a -by- grid, . Too many to count at once, but cut the width into and the height into and you get four pieces, each easy to count.
That the pieces add up to the whole is obvious from the picture. Cutting cleverly is what makes multiplication easy, and column multiplication is that cutting done along place values.
Here is in columns.
The first row, , is : the two right-hand pieces of the picture, . The second row, , is : the two left-hand pieces, . The algorithm cuts the multiplier into , multiplies by each and adds, which is the distributive law; and inside each row, the digit-by-digit work is the distributive law again, cutting into .
This is also why the second row is written one place to the left. is ten times , and multiplying by moves every digit one place left: each unit becomes a ten and each ten becomes a hundred, so every digit steps up one place and the empty ones place is filled with . Thus . Multiplying by moves digits two places, by three.
Compute .
Solution. Cut into .
: , write , carry . , write , carry . . So .
.
Check: the estimate is in the neighborhood ✓. Last digits: , so the answer must end in ✓.
When a factor has a in the middle, the 's place is often skipped. In , the tens place gives plus the carried , so the digit is ; the place does not disappear. The answer is , not the three-digit . And if the second row is not shifted left, silently turns into and the answer collapses. An estimate catches both mistakes.
Three checks for a product work well together. The estimate guards the number of digits: must land near , so a column result of means the second row was never shifted. The last digit guards the ones place: the ones digits multiply to , so the answer must end in . Swapping repeats the whole computation by a different road: multiply and see whether the same number appears.
Compute and check it three ways.
Solution. , , total .
Estimate: near ✓. Last digit: , and the answer ends in ✓. Swap: , , total ✓.
Once you know the three laws, you can build shortcuts instead of memorizing them.
is half of . Since is half of , is half of , namely . The reason: , so two copies of make (distributive law).
is a quarter of . For , halve twice: , then . Same reason as above, since .
is minus one copy. . The reason: (distributive law). Likewise is plus one copy: .
Double one factor, halve the other. . The reason is the associative law: . In the array picture, cut a -row array in half and lay the halves side by side: rows, twice as long.
Every mental shortcut is one of the three laws in disguise. When no shortcut comes to mind, start by cutting a factor into convenient pieces (distributive law) or reordering the factors (commutative and associative laws). Computing by multiplying first is painful; grouping first finishes it as .
세로셈으로 계산하여라.
(a) (b)
Compute in columns.
(a) (b)
(a) → , 올림 . . 답 .
(b) → , 올림 . 십의 자리 . 백의 자리 . 답 . 가운데 의 자리를 건너뛰지 않는다.
검산:
(a) : write , carry . . Answer: .
(b) : write , carry . Tens: . Hundreds: . Answer: . The middle keeps its place.
Check:
을 세로셈으로 계산하여라. 세로셈의 두 줄이 각각 무엇을 곱한 것인지도 써라.
Compute in columns, and say what each of the two rows is a product of.
으로 자른다. , .
검산: 어림 보다 조금 작아야 한다 ✓. 끝자리 → ✓.
Cut into . Then and .
Check: the estimate says the answer should be a bit less ✓. Last digit: , ending in ✓.
다음을 계산하여라.
(a) (b) (c)
Compute.
(a) (b) (c)
(a) 배는 두 자리를 왼쪽으로: .
(b) 에, 배와 배를 합쳐 세 자리를 옮긴다: .
(c) 에, 배가 둘이니 두 자리를 옮긴다: .
검산: (c) ✓.
(a) Multiplying by moves the digits two places left: .
(b) , then one factor of and one of move the digits three places: .
(c) , and the two factors of move the digits two places: .
Check on (c): ✓.
암산으로 계산하여라.
(a) (b) (c) (d)
Compute in your head.
(a) (b) (c) (d)
(a) 의 절반: .
(b) 의 반의 반: .
(c) .
(d) .
검산:
(a) Half of : .
(b) A quarter of : halve twice, then .
(c) .
(d) .
Check:
가로 칸, 세로 칸인 격자가 있다. 가로를 , 세로를 로 잘라 네 조각의 칸 수를 각각 구하고, 전체 칸 수를 구하여라.
A grid is cells wide and cells tall. Cut the width into and the height into , find the cell count of each of the four pieces, and find the total.
네 조각은 , , , 이다.
검산: 세로셈으로 , , 합 ✓. 어림 보다 조금 작다 ✓.
The four pieces hold , , , and cells.
Check in columns: , , total ✓. The estimate says the answer should be somewhat less ✓.
극장의 한 줄에는 좌석이 개 있고, 줄은 모두 개다. 하루에 회 상영하는데 매회 좌석이 모두 찼다면, 하루 동안 영화를 본 사람은 몇 명인가?
A theater has seats in each row and rows. There are showings a day, and every seat was filled at every showing. How many people watched a movie that day?
좌석 수는 다. , , 합 석.
하루 관객은 , 즉 의 절반인 명.
검산: 어림 석보다 조금 적은 ✓. 를 세로셈으로: , , → ✓.
The seat count is : , , total seats.
The day's audience is , half of , which is .
Check: the estimate says the seat count should be a little less, and is ✓. In columns, : , , , giving ✓.
성민이는 을 다음과 같이 계산했다.
어림으로 이 답이 옳을 수 없음을 보이고, 어디가 잘못됐는지 찾은 뒤 바른 답을 구하여라.
Seongmin computed like this.
Use an estimate to show the answer cannot be right, find the mistake, and give the correct product.
어림: . 성민이의 답 는 자리가 하나 모자란다.
둘째 줄은 인데 성민이는 을 옮기지 않고 그대로 썼다. 은 의 배이므로 한 칸 왼쪽, 즉 이어야 한다.
검산: 끝자리 → ✓. 다른 길로 ✓.
Estimate: . Seongmin's is a whole place short.
The second row should be , but Seongmin wrote without shifting. Since is ten times , the row belongs one place left, as .
Check: last digit , ending in ✓. By another road, ✓.
곱하는 순서나 묶음을 바꿔서 쉽게 계산하여라. 어떤 법칙을 썼는지도 밝혀라.
(a) (b)
Reorder or regroup to make each computation easy, and name the law you used.
(a) (b)
(a) 교환·결합법칙으로 와 를 먼저 묶는다: .
(b) 로 자르고 결합법칙으로 을 먼저: .
검산:
(a) By the commutative and associative laws, pair with first: .
(b) Cut and use the associative law to do first: .
Check:
다음 세로셈에서 에 알맞은 숫자를 구하여라.
Find the digit in the box.
일의 자리에서 의 끝자리가 여야 한다. 의 배수 중 로 끝나는 것은 뿐이다(의 끝자리는 전부 다르다). 그러니 이고 올림은 .
십의 자리: ✓. 결과의 앞 두 자리 와 맞는다.
검산: ✓.
In the ones place, must end in . Among the multiples of , only ends in (the last digits of are all different). So , with a carry of .
Tens: ✓, matching the leading of the result.
Check: ✓.
숫자 카드 을 한 번씩 모두 써서 두 자리 수 두 개를 만들고 곱한다. 곱이 가장 클 때의 두 수와 그 곱을 구하여라.
Use each of the digit cards exactly once to form two two-digit numbers, then multiply them. Find the two numbers that give the largest product, and the product.
큰 숫자 두 개는 십의 자리에 가야 한다. 남은 두 숫자를 어느 쪽에 붙일지는 두 경우뿐이니 둘 다 계산해 보라.
The two big digits belong in the tens places. That leaves only two ways to attach the remaining digits, so compute both.
십의 자리는 값이 열 배이므로 큰 숫자 과 이 십의 자리에 가야 한다. 남은 과 를 붙이는 방법은 두 가지다.
곱이 큰 쪽은 다. 두 경우 모두 두 수의 합은 로 같은데, 과 가 와 보다 서로 가까워서 곱이 크다. 합이 같은 두 수는 서로 가까울수록 곱이 크다.
검산: 의 끝자리 ✓. 다른 배치(, 등)는 십의 자리에 작은 숫자가 들어가 훨씬 작다 ✓.
A tens digit is worth ten times as much, so the big digits and go in the tens places. The remaining and can be attached in two ways.
The larger product is . In both cases the two numbers add to , but and are closer together than and , and for a fixed sum, the closer the two numbers, the larger the product.
Check: the last digit of is ✓. Other arrangements, such as or , put a small digit in a tens place and come out far smaller ✓.
다음 세로셈에서 에 알맞은 숫자를 모두 구하여라.
Find every possible pair of digits for the boxes.
일의 자리에서 의 끝자리가 가 되는 경우를 먼저 추려라.
Start in the ones place: for which one-digit multipliers does end in ?
일의 자리: 의 끝자리가 여야 한다. , 이므로 아래 는 또는 다.
따라서 하나뿐이다.
검산: : → , 올림 ; → ✓.
Ones place: must end in . Since and , the bottom box is or .
So the only possibility is .
Check: : , write , carry ; , giving ✓.
를 으로 바꿔 계산해도 되는 이유를 배열 그림과 곱셈의 법칙으로 각각 설명하여라. 그리고 같은 방법으로 를 암산하여라.
Explain why may be replaced by , once with an array picture and once with a law of multiplication. Then use the same idea to compute mentally.
그림. 가로 개씩 줄로 놓인 점 배열을 위아래 줄씩 두 덩어리로 자른다. 아래 덩어리를 위 덩어리 오른쪽에 이어 붙이면 가로 개씩 줄이 된다. 점을 옮겼을 뿐 개수는 그대로이므로 이다.
법칙. 이므로 결합법칙에 의해
한쪽에서 떼어 낸 배가 다른 쪽에 붙은 것이다.
암산. . 검산: ✓.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 배열을 반으로 잘라 이어 붙이는 그림 설명이 있으면 기본 점수. ② 결합법칙으로 를 밝히면 추가 점수. ③ 을 바르게 구하고 검산하면 만점. 분배법칙으로 설명()해도 만점.
Picture. Take an array of rows with dots in each. Cut it into a top half and a bottom half of rows each, and move the bottom half to the right of the top half. The result is rows of dots. The dots were only moved, never added or removed, so .
Law. Since , the associative law gives
The factor peeled off one side is attached to the other.
Mentally. . Check: ✓.
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① A picture explanation that cuts the array in half and reattaches it: base credit. ② Using the associative law to show : more credit. ③ Correctly computing with a check: full credit. An explanation through the distributive law () also earns full credit.
을 계산하면 끝에 이 연달아 몇 개 붙는가? 계산을 끝까지 하지 않고 답할 방법도 설명하여라.
How many zeros are at the end of ? Explain how to answer without carrying out the whole product.
곱의 끝에 이 하나 붙는 것은 곱 안에 가 하나 들어 있다는 뜻이다. 부터 까지 중 를 인수로 가진 수는 몇 개인가?
A zero at the end of a product means a factor of inside it. How many of the numbers from to contain a factor of ?
곱의 끝에 이 붙으려면 배가 되어야 하고, 이므로 곱 안에 와 가 한 쌍 있을 때마다 이 하나 생긴다. 부터 까지 곱하는 수 중 로 나누어지는 수는 와 뿐이므로 는 두 개다. 로 나누어지는 수는 으로 훨씬 많다. 그러니 와 의 쌍은 의 개수에 묶여 정확히 두 쌍이고, 끝에 붙는 은 개다.
검산: 실제로 곱해 보면 , , , , , , . 끝의 은 두 개 ✓. (에서 이 하나 생겼고, 에서 하나 더 생겼다.)
A product gains a trailing zero for every factor of inside it, and since , that means one zero for every pair of a and a among the factors. Among through , only and are divisible by , so there are exactly two s. There are far more s ( all supply them). So the number of – pairs is limited by the s: exactly two pairs, hence trailing zeros.
Check by multiplying out: , , , , , , . Two trailing zeros ✓ (one appeared at , the other at the final ).