이 의 배수인지 알려면 나눗셈을 해도 되지만, 자릿수를 더한 이 의 배수인 것만 보고도 답할 수 있다. 이런 지름길을 배수 판정법이라 한다. 판정법은 외우면 편리하고, 왜 통하는지 알면 강력해진다. 이유를 알면 새 판정법을 스스로 만들 수 있고, 판정법을 거꾸로 써서 빈칸을 채우거나 나머지를 구할 수도 있기 때문이다. 이 차시의 도구는 지난 차시의 한 줄이다. 배수에 배수를 더하면 배수다.
으로 자르자. 앞부분 은 의 배수이고, 이므로 의 배수이면서 의 배수다. 그러니 이 의 배수인지는 뒤에 남은 이 의 배수인지에만 달려 있다. 은 의 배수이므로 도 의 배수다. 의 배수인지도 마찬가지로 에 달려 있는데, 은 의 배수가 아니므로 은 의 배수가 아니다.
어떤 수든 "의 배수 일의 자리 숫자"로 쪼개지므로 같은 논리가 항상 통한다.
다. 그래서 의 배수는 전부 의 배수이자 의 배수다. 이번에는 수를 "의 배수 끝 두 자리"로 자른다.
앞부분 은 의 배수이니 의 배수다. 따라서 이 의 배수인지는 끝 두 자리 이 의 배수인지에 달려 있고, 이므로 은 의 배수다. 도 같은 자리에서 판정한다. 은 의 배수가 아니므로 은 의 배수가 아니다. 끝 두 자리가 일 때만 의 배수다.
이므로 은 한 자리 더 본다. "의 배수 끝 세 자리"로 자르면 앞부분은 의 배수이고, 판정은 끝 세 자리의 몫이다. 은 끝 세 자리 이 의 배수이므로 의 배수다. 반면 은 라서 의 배수가 아니다. 의 배수라고 해서 의 배수인 것은 아니다.
과 은 각각 중 어느 것의 배수인가?
풀이. : 일의 자리 은 짝수이므로 의 배수. 끝 두 자리 이므로 의 배수. 일의 자리가 이나 가 아니므로 의 배수 아님. 끝 세 자리 이므로 의 배수 아님.
: 일의 자리 → 의 배수. 끝 두 자리 → 의 배수. 끝 세 자리 → 의 배수. 넷 다 배수다.
검산: ✓, 나머지 ✓. ✓.
의 판정법은 끝자리를 보지 않고 자릿수 전부를 더한다. 이유를 으로 보자. 자릿값으로 풀어 쓰면
여기서 , , 로 바꿔 쓰면
는 모두 의 배수이므로 앞의 세 덩어리는 의 배수다. 그러니 이 의 배수인지는 마지막 덩어리, 즉 자릿수 합 에 달려 있고, 이므로 은 의 배수다. 자릿수가 몇 개든 은 전부 의 배수보다 큰 수이므로 같은 분해가 통한다. 는 의 배수이기도 하니 의 판정법도 똑같이 자릿수 합이다.
덤으로, 어떤 수를 (또는 )로 나눈 나머지는 자릿수 합을 (또는 )로 나눈 나머지와 같다. 앞의 덩어리들이 나머지에 아무 영향을 주지 않기 때문이다.
은 의 배수인가, 의 배수인가? 로 나눈 나머지는?
풀이. 자릿수 합 . 이므로 의 배수다. 이므로 의 배수는 아니고, 로 나눈 나머지는 이다.
검산: 를 직접 하면 몫 , 나머지 () ✓.
가족을 섞지 말 것. 의 배수를 자릿수 합으로 판정하거나 의 배수를 끝자리로 판정하는 실수가 잦다. 는 끝에서 보고(각각 한·두·한·세·한·두 자리), 는 자릿수 전체를 본다. 그리고 자릿수 합은 크기 정보를 잃는다. 과 과 은 자릿수 합이 같아 의 배수 여부도 같지만 의 배수 여부는 다르다(과 은 배수, 은 아니다).
이다. 의 배수이면서 의 배수인 수는 의 배수다. 은 짝수이고 자릿수 합 이 의 배수이므로 의 배수다(). 같은 식으로 는 와 으로, 는 과 로, 는 와 로 겹쳐 판정한다.
아무 두 수나 겹칠 수는 없다. 는 의 배수이고 의 배수이지만 의 배수는 아니다. 와 이 를 공통 약수로 가져서, "의 배수"와 "의 배수"가 를 한 번씩 겹쳐 세기 때문이다. 겹쳐 쓸 수 있는 것은 와 , 와 , 과 , 와 처럼 말고는 공통 약수가 없는 두 수뿐이다. 와 대신 과 으로 쪼개면 를 판정할 수 있다. 이 조건의 이유는 최대공약수·최소공배수 차시에서 본다.
판정법은 "이 수가 배수인가"뿐 아니라 "배수가 되려면 빈칸에 무엇이 와야 하는가"에도 답한다.
세 자리 수 이 의 배수가 되도록 하는 를 모두 구하여라.
풀이. 의 배수는 의 배수이면서 의 배수다. 일의 자리가 이므로 의 배수 조건은 이미 만족한다. 의 배수 조건은 자릿수 합 가 의 배수여야 한다는 것이다. 는 부터 까지이므로 는 부터 까지이고, 그중 의 배수는 . 따라서 .
검산: , , ✓.
To decide whether is a multiple of you could divide, but it is enough to notice that the digit sum is a multiple of . Shortcuts like this are divisibility rules. Memorized, they save time; understood, they can be bent to new uses. Knowing why a rule works lets you invent new rules, run a rule backwards to fill in a missing digit, and read off remainders. The tool for all of it is one line from last lesson: a multiple plus a multiple is a multiple.
Split . The front part, , is a multiple of , and since it is a multiple of and of . So whether is a multiple of depends only on whether the leftover is, and is, so is a multiple of . Likewise whether it is a multiple of depends only on the , which is not a multiple of , so is not a multiple of .
Every number splits as "a multiple of plus its ones digit," so the same reasoning always applies.
, so every multiple of is a multiple of and of . This time split a number as "a multiple of plus its last two digits."
The front part is a multiple of , hence of . So whether is a multiple of depends only on the last two digits, , and since , it is. The test for looks at the same place: is not a multiple of , so is not. A number is a multiple of exactly when its last two digits are , or .
Since , the test for looks one digit further. Split as "a multiple of plus the last three digits": the front part is a multiple of , and the last three digits decide. ends in , so it is a multiple of . But ends in , so it is not. Being a multiple of does not make a number a multiple of .
Of , which divide ? Which divide ?
Solution. : the ones digit is even, so divides it. The last two digits , so divides it. The ones digit is neither nor , so does not. The last three digits , so does not.
: ones digit , so and divide it. Last two digits , so does. Last three digits , so does. All four divide it.
Check: ✓, and remainder ✓. ✓.
The test for does not look at the end of the number; it adds all the digits. To see why, take apart by place value:
Now rewrite , , :
Since are all multiples of , the first three chunks are multiples of . So whether is a multiple of depends only on the last chunk, the digit sum , and , so it is. However many digits a number has, each of is one more than a multiple of , so the same split always works. And are multiples of as well, so the test for is the same digit sum.
As a bonus, the remainder when a number is divided by (or by ) equals the remainder of its digit sum divided by (or ), because the front chunks contribute nothing to the remainder.
Is a multiple of ? Of ? What is its remainder on division by ?
Solution. The digit sum is . Since , the number is a multiple of . Since , it is not a multiple of , and its remainder on division by is .
Check by dividing: gives quotient with remainder (as ) ✓.
Do not mix the families. Testing for with a digit sum, or for with the last digit, is a common slip. are tested from the end (one, two, one, three, one, two digits respectively); and use all the digits. And a digit sum forgets the size of a number: , , and share a digit sum, so they agree about , but they disagree about .
. A number that is a multiple of and of is a multiple of . is even and its digit sum is a multiple of , so it is a multiple of (). In the same way, is tested through and , through and , and through and .
Not every pair may be combined. is a multiple of and a multiple of , yet it is not a multiple of . The trouble is that and share the factor , so "multiple of " and "multiple of " each count that once and overlap. Combining is safe only for two numbers with no common factor other than , like and , and , and , and . To test , split it as and instead. The reason behind this condition comes in the GCF and LCM lesson.
A rule answers not only "is this number a multiple?" but also "what must go in the blank to make it one?"
Find every digit that makes the three-digit number a multiple of .
Solution. A multiple of is a multiple of and of . The ones digit is , so the condition already holds. The condition says the digit sum must be a multiple of . With from to , the sum runs from to , and the multiples of in that range are . So .
Check: , , ✓.
, , 중에서 (a) 의 배수, (b) 의 배수, (c) 의 배수를 각각 모두 골라라.
From , , , pick out every multiple of (a) , (b) , (c) .
일의 자리만 본다. 은 , 는 , 는 .
검산: ✓, ✓, 나머지 ✓.
Only the ones digit matters: ends in , in , in .
Check: ✓, ✓, and remainder ✓.
다음 수가 의 배수인지, 의 배수인지 판정하여라.
(a) (b) (c)
Decide whether each number is a multiple of , and whether it is a multiple of .
(a) (b) (c)
(a) 끝 두 자리 이므로 의 배수가 아니고, 따라서 의 배수도 아니다(의 배수는 모두 의 배수다).
(b) 끝 두 자리 이므로 의 배수. 끝 세 자리 이므로 의 배수.
(c) 끝 두 자리 , 끝 세 자리 이므로 둘 다 배수.
검산: ✓. 나머지 ✓.
(a) The last two digits , so not a multiple of , and hence not of either (every multiple of is a multiple of ).
(b) The last two digits , so a multiple of . The last three digits , so a multiple of .
(c) The last two digits are and the last three are , so both.
Check: ✓, and remainder ✓.
다음 수가 의 배수인지, 의 배수인지 판정하여라.
(a) (b) (c)
Decide whether each number is a multiple of , and whether it is a multiple of .
(a) (b) (c)
자릿수 합을 본다.
(a) : 의 배수이고 의 배수.
(b) : 의 배수()이지만 의 배수는 아니다().
(c) : 의 배수도 의 배수도 아니다.
검산: ✓. 나머지 — 자릿수 합 을 으로 나눈 나머지 과 같다 ✓.
Look at the digit sums.
(a) : a multiple of and of .
(b) : a multiple of () but not of ().
(c) : neither.
Check: ✓. remainder , matching the remainder of the digit sum on division by ✓.
, , 중에서 의 배수를 모두 골라라.
Which of , , are multiples of ?
의 배수는 짝수이면서 자릿수 합이 의 배수인 수다.
검산: ✓.
A multiple of is even with a digit sum that is a multiple of .
Check: ✓.
네 자리 수 가 의 배수가 되도록 하는 를 모두 구하여라.
Find every digit that makes the four-digit number a multiple of .
자릿수 합 가 의 배수여야 한다. 가 이미 의 배수이므로 자체가 의 배수, 즉 여야 한다.
검산: , , , ✓. 이면 자릿수 합 으로 의 배수가 아니다 ✓.
The digit sum must be a multiple of . Since already is, itself must be a multiple of : , or .
Check: , , , ✓. With the digit sum is , not a multiple of ✓.
세 자리 수 가 의 배수이면서 의 배수가 되도록 하는 를 구하여라.
Find the digit that makes the three-digit number a multiple of both and .
의 배수: 끝 두 자리 가 의 배수여야 한다. 가 의 배수이므로 는 중 하나다.
의 배수: 자릿수 합 가 의 배수여야 하므로 또는 .
두 조건을 모두 만족하는 것은 뿐이다. 수는 .
검산: ✓. (와 는 공통 약수가 뿐이므로 는 의 배수이기도 하다: ✓.)
Multiple of : the last two digits must form a multiple of . Since are multiples of , is one of .
Multiple of : the digit sum must be a multiple of , so or .
Only satisfies both. The number is .
Check: ✓. (Since and share no factor but , is also a multiple of : ✓.)
나눗셈을 하지 않고 다음을 구하여라.
(a) 을 로 나눈 나머지 (b) 을 으로 나눈 나머지
Without dividing, find
자릿수 합 .
(a) 로 나눈 나머지는 자릿수 합의 나머지와 같다. 이므로 나머지 .
(b) 으로 나눈 나머지도 자릿수 합의 나머지와 같다. 이므로 나머지 .
이유: 처럼 쪼개면 앞의 덩어리들이 전부 (그리고 )의 배수라 나머지에 기여하지 않는다.
검산: 의 자릿수 합은 로 의 배수 ✓. 즉 은 의 배수보다 크다 ✓.
The digit sum is .
(a) The remainder on division by equals the remainder of the digit sum: , so the remainder is .
(b) The same holds for : , remainder .
Why: splitting , all the front chunks are multiples of (and of ), so they contribute nothing to the remainder.
Check: has digit sum , a multiple of ✓, so is one more than a multiple of ✓.
부터 까지의 자연수 중 (a) 의 배수는 몇 개인가? (b) 의 배수는 몇 개인가? (c) 의 배수이지만 의 배수가 아닌 수는 몇 개인가?
Among the whole numbers from through , (a) how many are multiples of ? (b) how many are multiples of ? (c) how many are multiples of but not of ?
(a) 나머지 이므로 까지 개.
(b) 나머지 이므로 까지 개.
(c) 의 배수는 모두 의 배수이므로, 의 배수 중에서 의 배수를 빼면 된다: 개.
검산: 의 배수 중 의 배수는 셋에 하나꼴이다. ✓.
(a) remainder , so the multiples run up to : of them.
(b) remainder , so up to : of them.
(c) Every multiple of is a multiple of , so subtract: .
Check: among the multiples of , namely , every third one is a multiple of , and ✓.
, , 중에서 의 배수를 모두 골라라.
Which of , , are multiples of ?
끝 두 자리: ✓, ✗, ✓. 의 배수는 와 이다.
이유: 어떤 수든 로 쪼개지고, 이므로 앞부분은 의 배수다. 배수에 무엇을 더한 것이 배수인지는 더한 것, 즉 끝 두 자리가 결정한다.
검산: ✓, ✓, ✓.
Last two digits: ✓, ✗, ✓. The multiples of are and .
Reason: any number splits as , and since , the front part is a multiple of . Whether a multiple plus something is still a multiple depends only on the something, here the last two digits.
Check: ✓, ✓, ✓.
의 배수이면서 의 배수인 두 자리 수를 모두 구하여라. 그중 의 배수가 아닌 것은 무엇인가?
Find every two-digit number that is a multiple of both and . Which of them are not multiples of ?
의 배수 중에서 의 배수인 것을 고르면 된다(의 배수 조건 중 "짝수"는 의 배수가 이미 만족한다).
Among the multiples of , pick those that are multiples of (the "even" half of the test for is already satisfied by a multiple of ).
의 배수는 이미 짝수이므로, 의 배수이려면 의 배수 조건(자릿수 합)만 더 보면 된다. 두 자리 의 배수 중 자릿수 합이 의 배수인 것은
의 개다. 전부 의 배수다.
이 중 의 배수는 이고, 아닌 것은 의 개다. "의 배수이고 의 배수"가 "의 배수"를 뜻하지 않는다는 반례들이다. 와 이 를 공통 약수로 가지기 때문이다.
검산: ✓, 나머지 ✓.
A multiple of is already even, so to be a multiple of it only needs the digit-sum test for . Among the two-digit multiples of , namely , those with a digit sum that is a multiple of are
eight numbers, all multiples of .
The multiples of among them are ; the other four, , are not. These are counterexamples showing that "multiple of and of " does not mean "multiple of ," because and share the factor .
Check: ✓, while remainder ✓.
숫자 카드 중 한 장을 빼고 남은 다섯 장으로 다섯 자리 수를 만들려고 한다. 그 수가 의 배수가 되게 하려면 어떤 카드를 빼야 하는가? 그때 만들 수 있는 가장 작은 다섯 자리 수는?
One of the digit cards is removed, and the remaining five are used to form a five-digit number. Which card must be removed so that the number is a multiple of ? What is the smallest such five-digit number?
여섯 장의 숫자를 모두 더하면 얼마인가? 한 장을 뺀 뒤의 합이 의 배수여야 한다.
What do all six digits add up to? After removing one, the sum must be a multiple of .
여섯 장의 합은 . 한 장 를 빼면 자릿수 합이 가 되고, 이것이 의 배수여야 한다. 는 부터 까지이므로 는 부터 까지이고, 그중 의 배수는 뿐이다. 따라서 .
남은 으로 만드는 가장 작은 수는 작은 숫자부터 높은 자리에 놓은 이다. 자릿수 합이 이므로 어떻게 배열해도 의 배수다.
검산: ✓.
The six cards add to . Removing a card leaves digit sum , which must be a multiple of . With from to , the sum runs from to , and the only multiple of there is . So .
The smallest number from puts the small digits in the high places: . Its digit sum is , so every arrangement is a multiple of .
Check: ✓.
의 배수 판정법("자릿수의 합이 의 배수이면 그 수는 의 배수")이 왜 통하는지 을 예로 들어 설명하고, 어떤 수에 대해서도 같은 이유가 통함을 밝혀라.
Explain why the test for ("if the digit sum is a multiple of , so is the number") works, using as the example, and then show that the same reason applies to every number.
을 자릿값으로 풀어 쓰고 , , 을 대입한다:
, , 은 전부 의 배수이므로 앞의 세 덩어리도 의 배수이고, 그 합도 의 배수다. 배수에 무엇을 더한 것이 배수인지는 더한 것이 결정하므로, 이 의 배수인지는 마지막 덩어리인 자릿수 합 에 달려 있다. 이므로 은 의 배수다.
같은 이유가 모든 수에 통한다. 어떤 자릿값 이든 "가 이어진 수 "로 쓸 수 있고, 는 전부 의 배수이기 때문이다. 그러니 어떤 수든 "의 배수 자릿수 합"으로 쪼개지고, 자릿수 합이 판정을 결정한다.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 을 로 쪼개면 기본 점수. ② 앞 덩어리가 의 배수라서 자릿수 합이 판정을 결정한다는 논리를 쓰면 추가 점수. ③ 모든 자릿값이 ""이므로 어떤 수에도 통한다고 밝히면 만점. 의 판정법과 함께 설명해도 만점.
Write in expanded form and substitute , , :
Since , , and are all multiples of , so are the first three chunks, and so is their total. Whether a multiple plus something is a multiple depends only on the something, so whether is a multiple of depends only on the last chunk, the digit sum . As , the number is a multiple of .
The same reason works for every number: each place value can be written as "a string of s plus ," and are all multiples of . So every number splits as "a multiple of plus its digit sum," and the digit sum decides.
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① Splitting as : base credit. ② The argument that the front chunks are multiples of , so the digit sum decides: more credit. ③ Explaining that every place value is "," so the argument covers every number: full credit. Presenting it together with the test for also earns full credit.
네 자리 수 꼴의 수 중에서 의 배수인 것을 모두 구하여라. (두 에는 서로 다른 숫자가 들어가도 된다.)
Find every four-digit number of the form that is a multiple of . (The two boxes may hold different digits.)
이고 와 는 공통 약수가 뿐이다. 먼저 일의 자리를 결정하고, 그다음 자릿수 합을 맞춰라.
, and and share no factor but . Fix the ones digit first, then match the digit sum.
이고 와 는 말고 공통 약수가 없으므로, 의 배수이면서 의 배수인 수가 의 배수다.
의 배수: 일의 자리 는 또는 .
의 배수: 자릿수 합 가 의 배수.
검산: ✓, ✓.
Since and and have no common factor other than , a number is a multiple of exactly when it is a multiple of and of .
Multiple of : the ones digit is or .
Multiple of : the digit sum must be a multiple of .
Check: ✓ and ✓.