개의 점을 빈틈없는 직사각형으로 놓는 방법은 몇 가지일까. 한 줄에 개, 두 줄에 개씩, 세 줄에 개씩. 그리고 이것들을 돌린 것까지. 직사각형이 되려면 가 되어야 하니, 결국 를 두 자연수의 곱으로 쓰는 문제다.
여기 나오는 수 가 의 약수다. 는 약수가 아니다. 를 줄로 놓으면 마지막 줄이 모자란다. 나눗셈으로 말하면 로 나머지가 남는다.
자연수 가 자연수 로 나누어떨어질 때(나머지가 일 때) 를 의 약수, 를 의 배수라고 한다. 곱셈으로 쓰면 가 되는 관계다.
한 줄이 네 문장을 담고 있다. 은 의 약수, 도 의 약수, 는 의 배수, 는 의 배수. 약수와 배수는 같은 곱셈을 두 방향에서 읽은 이름이다.
의 약수를 빠짐없이 찾아보자. 부터 차례로 나누어 보되, 약수를 하나 찾을 때마다 짝을 같이 적는다.
는 을 나누지 못하니 건너뛰고, 에서 두 짝이 만났다. 여기서 멈춰도 될까? 이상은 확인하지 않아도 된다. 을 두 수의 곱 로 쓰고 가 작은 쪽이라 하면 인데, 는 이미 을 넘으므로 작은 쪽은 반드시 이하다. 즉 모든 약수 짝의 작은 쪽은 부터 사이에서 이미 다 나왔고, 큰 쪽은 그 짝으로 딸려 나온다.
의 약수는 의 개다.
의 약수를 찾을 때는 제곱해서 을 넘지 않는 수까지만 나누어 보면 된다. 그 범위에서 찾은 약수 마다 짝 를 적으면 약수 전체가 된다.
의 약수를 모두 구하여라.
풀이. 이고 이므로 까지만 확인한다. 은 나누어떨어지고 은 안 된다.
약수는 의 개다.
검산: 짝마다 곱이 인지 — , , , , ✓. 빠진 것이 없는지 — 와 은 를 나누지 못하므로(, ) 그 짝도 없다 ✓.
의 약수는 개로 홀수였고, 의 약수는 개로 짝수였다. 차이는 그림에 이미 나와 있다. 약수는 짝을 이루므로 보통은 짝수 개다. 그런데 처럼 어떤 수가 자기 자신과 짝을 이루면 그 약수는 한 번만 세어져서 전체 개수가 홀수가 된다. 자기 자신과 짝을 이루는 약수 가 있다는 것은 라는 뜻이다.
처럼 어떤 자연수를 두 번 곱해 얻는 수를 제곱수라 한다. 점을 정사각형 모양으로 놓을 수 있는 개수다.
그러므로 약수의 개수가 홀수인 수는 제곱수뿐이고, 제곱수의 약수 개수는 언제나 홀수다. 증명은 방금 한 짝짓기 논증 그대로다. 이 제곱수가 아니면 모든 약수가 서로 다른 짝을 이루어 개수가 짝수이고, 이면 만 홀로 남아 개수가 홀수다.
부터 까지의 자연수 중 약수의 개수가 홀수인 것을 모두 구하여라.
풀이. 제곱수를 찾으면 된다. 은 이고 는 을 넘는다. 답은 이 개다.
검산: 하나만 직접 세어 보자. 의 약수는 의 개로 홀수 ✓. 제곱수가 아닌 은 의 개로 짝수 ✓.
의 배수 과 를 더하면 , 또 의 배수다. 우연이 아니다. , 이므로 분배법칙에 의해
뺄셈도 같다. . 일반적으로 의 배수 둘을 더하거나 빼면 결과는 다시 의 배수다. 그리고 의 배수에 어떤 자연수를 곱해도 의 배수다. 에 를 곱하면 이기 때문이다.
이 성질은 큰 수가 배수인지 볼 때 힘을 낸다. 가 의 배수일까? 이고 과 가 둘 다 의 배수이므로 도 의 배수다(). 은? 인데 는 의 배수이고 는 아니다. 배수에 배수가 아닌 수를 더하면 배수가 될 수 없으므로(이 의 배수라면 도 배수여야 한다) 은 의 배수가 아니다.
은 의 배수인가?
풀이. 에서 눈에 보이는 의 배수를 덜어 낸다. 을 빼면 , 다시 을 빼면 . 은 의 배수이므로, 덜어 낸 것들과 남은 것이 전부 의 배수인 도 의 배수다.
검산: ✓.
"배수끼리 더하고 빼도 배수"는 다음 차시 배수 판정법과 그다음의 최대공약수 계산의 밑바탕이 된다. 근거가 분배법칙 한 줄이라는 것을 기억해 두자.
In how many ways can dots be arranged in a solid rectangle? One row of , two rows of , three rows of , and the turned versions of these. A rectangle needs , so the question is really: in how many ways can be written as a product of two whole numbers?
The numbers appearing here, , are the factors of . The number is not a factor: dots in rows leave the last row short. In division language, has a remainder.
When a whole number is divided evenly by a whole number (remainder ), is a factor of and is a multiple of . In multiplication language, .
The single line carries four statements: is a factor of , is a factor of , is a multiple of , is a multiple of . Factor and multiple are the same multiplication read from two ends.
Let's find every factor of . Test in turn, but each time a factor turns up, write down its partner as well.
The number does not divide , so skip it; at the two partners meet. May we stop here? Yes: nothing from upward needs testing. Write with the smaller of the two. Then , and since already exceeds , the smaller partner must be at most . So the smaller member of every factor pair has already appeared among through , and the larger member came along as its partner.
The factors of are , nine of them.
To find the factors of , test only the numbers whose square does not exceed . For each factor found in that range, write its partner , and you have them all.
Find all factors of .
Solution. Since and , test only up to . Dividing by comes out even; by and it does not.
The factors are , twelve in all.
Check: each pair multiplies to : , , , , ✓. Nothing is missing: and do not divide (, ), so neither do their would-be partners ✓.
had factors, an odd number; had , an even number. The picture already explains the difference. Factors come in pairs, so normally there is an even number of them. But when a number is paired with itself, as in , that factor is counted only once, and the total becomes odd. A factor paired with itself means exactly that .
Numbers obtained by multiplying a whole number by itself, , are perfect squares. They are the dot counts that can be arranged in a square.
Therefore the only numbers with an odd number of factors are the perfect squares, and every perfect square has an odd number of factors. The proof is exactly the pairing argument: if is not a square, every factor has a distinct partner and the count is even; if , then alone stands unpaired and the count is odd.
Find every whole number from through that has an odd number of factors.
Solution. We need the perfect squares. give , and is past . Those seven are the answer.
Check one directly: the factors of are , five of them, odd ✓. The non-square has factors , six of them, even ✓.
Add the multiples of , and , and you get , another multiple of . Not a coincidence. Since and , the distributive law gives
Subtraction works the same way: . In general, adding or subtracting two multiples of gives another multiple of . And a multiple of times any whole number is still a multiple of , since times is .
This property earns its keep on large numbers. Is a multiple of ? Since and both and are multiples of , so is (indeed ). What about ? Here , where is a multiple of and is not. A multiple plus a non-multiple can never be a multiple (if were a multiple of , then would have to be one too), so is not a multiple of .
Is a multiple of ?
Solution. Peel off multiples of that are easy to see. Subtract to get ; subtract to get . Since is a multiple of , and everything we removed was too, is a multiple of .
Check: ✓.
"Sums and differences of multiples are multiples" underlies next lesson's divisibility rules and, later, the computation of greatest common factors. Its whole justification is one line of the distributive law, which is worth keeping in mind.
다음 수의 약수를 모두 구하여라.
(a) (b)
Find all factors of each number.
(a) (b)
(a) 이므로 까지 확인한다. , , . (는 을 나누지 못한다.) 약수는 .
(b) 이므로 까지 확인한다. , , . (는 안 된다.) 약수는 .
검산: 짝마다 곱이 원래 수인지 — , , , ✓.
(a) Since , test up to . , , (and does not divide ). Factors: .
(b) Since , test up to . , , (while and fail). Factors: .
Check that each pair multiplies back: , , , ✓.
의 배수를 작은 것부터 개 써라. 그리고 에 가장 가까운 의 배수를 구하여라.
List the first multiples of . Then find the multiple of closest to .
는 .
나머지 이므로 가 바로 아래의 배수이고, 다음 배수 은 위에 있다. 가장 가까운 것은 .
검산: ✓, ✓.
are .
Since remainder , the multiple just below is , and the next one, , is above. The closest is .
Check: ✓, and ✓.
다음 문장이 옳으면 O, 틀리면 X로 답하여라.
Mark each statement true or false.
(a) 이므로 은 의 약수다. O.
(b) 같은 식 을 반대로 읽으면 는 의 배수다. O.
(c) 나머지 로 나누어떨어지지 않는다. X.
(d) . 은 모든 자연수의 약수다. O.
(a) , so is a factor of . True.
(b) Reading the same equation the other way, is a multiple of . True.
(c) remainder , not an even division. False.
(d) ; is a factor of every whole number. True.
의 약수를 짝지어 모두 찾고, 개수를 구하여라.
Find all factors of in pairs, and count them.
이므로 까지 확인한다. , , , , . (는 안 된다.)
약수는 의 개다.
검산: 은 제곱수가 아니므로 약수 개수가 짝수여야 한다 — 개 ✓. 짝마다 곱 확인 — , , ✓.
Since , test up to . , , , , (and fails).
The factors are , ten of them.
Check: is not a perfect square, so its factor count must be even, and is ✓. Each pair multiplies back: , , ✓.
부터 까지의 자연수 중 의 배수는 몇 개이고, 그중 가장 큰 것은 무엇인가?
How many multiples of are there from through , and which is the largest?
의 배수는 이다. 나머지 이므로 까지 개가 이하이고, 는 넘는다.
검산: ✓, ✓.
The multiples of are . Since remainder , the multiples up to are at most , sixteen of them, and is past.
Check: ✓ and ✓.
부터 까지의 자연수 중 약수의 개수가 홀수인 수는 모두 몇 개인가?
How many whole numbers from through have an odd number of factors?
약수의 개수가 홀수인 수는 제곱수뿐이다. 부터 까지 제곱수는 의 개이고, 은 을 넘는다.
검산: 의 약수는 의 개로 홀수 ✓( 짝이 한 번만 세어진다).
Only perfect squares have an odd number of factors. From up to the squares are , ten of them, and is past .
Check: the factors of are , nine of them, odd ✓ (the pair is counted once).
의 약수를 모두 구하여라. 몇까지 확인하면 되는지 먼저 밝혀라.
Find all factors of . First say how far you need to test.
이므로 까지 확인한다. 부터 까지 중 을 나누는 수는 이다(는 나머지가 남는다).
약수는 의 개다.
검산: 은 제곱수가 아니므로 개수가 짝수 ✓. , ✓.
Since , test up to . Among through , the numbers dividing are (while leave remainders).
The factors are , twelve in all.
Check: is not a perfect square, so the count is even ✓. And , ✓.
눈에 보이는 의 배수를 덜어 내는 방법으로, 다음 수가 의 배수인지 판단하여라.
(a) (b) (c)
By peeling off multiples of that are easy to see, decide whether each number is a multiple of .
(a) (b) (c)
(a) . 덜어 낸 과 남은 가 모두 의 배수이므로 는 의 배수다().
(b) . 따라서 , 의 배수다.
(c) , . 는 의 배수가 아니므로 은 의 배수가 아니다. (.)
검산:
(a) . The removed and the leftover are both multiples of , so is one too ().
(b) . So , a multiple of .
(c) , and . Since is not a multiple of , neither is ().
Check:
부터 까지의 자연수 중 약수가 정확히 개인 수를 모두 구하여라.
Find every whole number from through that has exactly factors.
어떤 수든 과 자기 자신은 약수이므로, 약수가 정확히 개라는 것은 그 둘 말고는 약수가 없다는 뜻이다. 부터 까지 하나씩 보면 , , 은 다른 약수가 있고, 는 없다.
검산: 은 중 어느 것으로도 나누어떨어지지 않는다 — 확인은 까지()만 하면 되고, 와 둘 다 안 된다 ✓. 는 약수가 개라 제외 ✓.
Every number has and itself as factors, so "exactly factors" means no factors besides those two. Going through to : , , and all have extra factors, while have none.
Check: is divided evenly by none of ; testing up to suffices (), and both and fail ✓. And has four factors, so it is rightly excluded ✓.
두 자리 수 중에서 약수가 정확히 개인 수를 모두 구하여라.
Find every two-digit number with exactly factors.
약수가 개면 홀수 개다. 홀수 개인 수는 어떤 수였는가? 그 수의 약수가 딱 개가 되려면 무엇이 더 필요한가?
Three factors is an odd number of factors. Which numbers have that? What more is needed for the count to be exactly ?
약수가 개면 개수가 홀수이므로 그 수는 제곱수 다. 제곱수 의 약수에는 가 있으니, 정확히 개이려면 이것 말고는 없어야 한다. 그런데 에 과 자신 외의 약수 가 있으면 는 의 약수이기도 해서 개수가 넘친다. 그러니 는 약수가 과 자신뿐인 수, 즉 중 하나다.
가 두 자리이려면 또는 (와 는 한 자리, 은 세 자리). 답은 와 .
검산: 의 약수는 의 개 ✓. 의 약수는 의 개 ✓. 두 자리 제곱수 중 나머지 은 각각 약수가 개다 ✓.
Three factors is an odd count, so the number must be a perfect square . Its factors include , so for the count to be exactly there must be no others. But if had a factor other than and itself, would also be a factor of , pushing the count past . So must have no factors except and itself: is one of .
For to have two digits, or (since and are one-digit and has three digits). The answer is and .
Check: the factors of are , three ✓; of , they are , three ✓. The other two-digit squares have factors respectively ✓.
의 약수 중 자신을 뺀 나머지 약수를 모두 더하면 얼마인가? 에 대해서도 같은 계산을 해 보고, 두 결과의 공통점을 말하여라.
Add up all the factors of except itself. Do the same for , and say what the two results have in common.
의 약수: 이므로 까지 확인 — , , . 자신을 뺀 약수의 합은
의 약수는 이고 자신을 뺀 합은 .
두 수 모두 자신을 뺀 약수의 합이 자기 자신이다. 이런 수를 완전수라고 부르며, 다음은 이다.
검산: 의 약수 개수는 개로 짝수(제곱수가 아님) ✓, 합 , , , ✓.
Factors of : since , test up to : , , . The sum of the factors other than is
The factors of are , and the sum without is .
In both cases, the sum of the factors other than the number is the number itself. Such numbers are called perfect numbers; after and the next one is .
Check: has factors, an even count, as a non-square should ✓; the running sum is , , , ✓.
"약수의 개수가 홀수인 자연수는 제곱수뿐이다"를 증명하여라. 반대로 제곱수의 약수 개수가 항상 홀수인 이유도 함께 밝혀라.
Prove that the only whole numbers with an odd number of factors are the perfect squares. Also explain why a perfect square always has an odd number of factors.
자연수 의 약수 마다 짝 가 있고, 이므로 도 의 약수다. 그러니 약수들을 짝으로 묶을 수 있다.
이 제곱수가 아닐 때. 어떤 약수도 자기 자신과 짝이 될 수 없다. 이면 가 되어 제곱수이기 때문이다. 따라서 모든 약수가 서로 다른 약수와 둘씩 짝지어지고, 약수의 개수는 짝수다.
가 제곱수일 때. 는 자기 자신과 짝이 되어 혼자 남고, 나머지 약수들은 여전히 둘씩 짝지어진다. 따라서 개수는 (짝수) 로 홀수다. 게다가 말고는 자기 자신과 짝이 되는 약수가 없다(이면 ).
두 경우를 합치면, 약수의 개수가 홀수인 것은 정확히 제곱수일 때다.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 약수를 와 로 짝짓는 아이디어가 있으면 기본 점수. ② 제곱수가 아니면 자기 자신과 짝인 약수가 없어 개수가 짝수임을 밝히면 추가 점수. ③ 제곱수이면 정확히 하나의 약수가 홀로 남아 홀수임을 밝히면 만점. 구체적인 예(과 )만 든 답은 예시일 뿐 증명이 아니므로 부분 점수.
For every factor of there is a partner , and since , the partner is a factor of as well. So the factors can be grouped into pairs .
When is not a perfect square. No factor can be its own partner, because would mean , a perfect square. So every factor is paired with a different factor, two by two, and the number of factors is even.
When is a perfect square. The factor is its own partner and stands alone, while all the other factors are still paired off two by two. So the count is (an even number) , which is odd. Moreover, no factor besides can be its own partner (if then ).
Putting the two cases together: the factor count is odd exactly when is a perfect square.
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① The idea of pairing each factor with : base credit. ② Showing that a non-square has no self-paired factor, hence an even count: more credit. ③ Showing that a square has exactly one self-paired factor, hence an odd count: full credit. Working only through examples like and illustrates but does not prove, so partial credit.
복도에 번부터 번까지 사물함 개가 모두 닫혀 있다. 학생 명이 차례로 지나가는데, 번 학생은 모든 사물함을 연다. 번 학생은 의 배수 번호 사물함을 모두 반대로 바꾼다(열린 것은 닫고 닫힌 것은 연다). 번 학생은 의 배수 번호를 반대로 바꾸고, 이런 식으로 번 학생은 의 배수 번호 사물함을 모두 반대로 바꾼다. 번 학생까지 지나간 뒤 열려 있는 사물함은 몇 개인가?
A hallway has lockers numbered through , all closed. Then students walk by in turn. Student opens every locker. Student toggles every locker whose number is a multiple of (closing open ones and opening closed ones). Student toggles every multiple of , and in general student toggles every locker whose number is a multiple of . After student has passed, how many lockers are open?
번 사물함은 몇 번 손을 타는가? 어떤 학생들이 그 사물함을 건드리는지 번호를 써 보라. 그 번호들은 와 어떤 관계인가?
How many times does locker get touched? Write down the numbers of the students who touch it. How are those numbers related to ?
번 사물함은 의 약수 번호를 가진 학생이 지나갈 때마다 한 번씩 뒤집힌다. 예를 들어 번 사물함은 번 학생이 건드리므로 번 뒤집힌다. 처음에 닫혀 있었으니 짝수 번 뒤집히면 닫히고, 홀수 번 뒤집히면 열린 채로 끝난다.
즉 마지막에 열려 있는 사물함은 약수의 개수가 홀수인 번호, 곧 제곱수 번호다. 이하의 제곱수는 의 개이므로 답은 개.
검산: 번은 번 학생이 건드려 번 뒤집힌다 — 닫힘 → 열림 → 닫힘 → 열림 → 닫힘 → 열림, 마지막은 열림 ✓. 번은 번 뒤집혀 닫힘 ✓.
Locker is toggled once by each student whose number is a factor of . Locker , for instance, is touched by students , six toggles in all. Starting closed, an even number of toggles leaves it closed and an odd number leaves it open.
So the lockers open at the end are exactly those whose numbers have an odd number of factors, that is, the perfect squares. The perfect squares up to are , ten of them, so the answer is .
Check: locker is touched by students , five toggles: closed → open → closed → open → closed → open, ending open ✓. Locker gets six toggles and ends closed ✓.