자연수의 자릿값은 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 배였다. 이 사다리를 반대 방향으로도 내려가 보자. 오른쪽으로 한 칸은 으로 나누는 것이니, 의 오른쪽 칸은 을 등분한 한 조각, 즉 이고, 그 오른쪽은 을 다시 등분한 이다. 일의 자리가 끝나는 곳에 점을 찍어 경계를 표시한 것이 소수점이다.
소수점 아래에도 자릿값을 두어 수를 적는 표기법. 소수점 바로 오른쪽이 소수 첫째 자리(짜리가 몇 개), 그다음이 소수 둘째 자리(짜리가 몇 개), 그다음이 셋째 자리(짜리)다. 은 을 등분한 한 조각으로 이라고도 쓰고 "십분의 일"이라 읽는다.
은 과 와 을 합친 수다. 풀어 쓰면
읽을 때는 "삼 점 사칠"이라 한다. 소수점 아래는 자리 이름 없이 숫자를 하나씩 읽는다. "삼 점 사십칠"이라 읽지 않는 이유는 소수점 아래 이 "사십칠"이라는 하나의 수가 아니라 짜리 개와 짜리 개라는 두 자리이기 때문이다.
정사각형 하나를 칸으로 나누면 한 칸이 이고 한 줄(칸)이 이다. 네 줄과 일곱 칸을 칠하면 , 곧 칸이다. 그러니 은 "짜리 개"이기도 하다. 자리를 따로 읽으면 , 한꺼번에 읽으면 짜리 개, 둘 다 같은 양이다.
와 은 같은 수다. 격자에서 는 다섯 줄이고, 다섯 줄은 칸이니 이다. 소수의 끝에 을 붙이거나 떼도 값은 변하지 않는다. 하지만 가운데의 은 자연수에서와 똑같이 자리를 지키는 일을 하므로 뗄 수 없다. 는 가 아니라 그 분의 이다. 소수 첫째 자리가 비어 있다는 표시가 그 이기 때문이다.
과 은 같지만 과 은 다르다. 끝에 붙는 은 자리를 채울 뿐이고, 가운데 은 "이 자리에는 아무것도 없다"고 말한다. 자연수에서 와 가 달랐던 것과 같은 이유다.
과 중 어느 쪽이 클까. "가 보다 크니까 "라고 답하고 싶다면 자연수의 감각("자릿수가 길면 크다")이 소수점 아래에서 오작동한 것이다. 소수점 아래에서는 길다고 크지 않다. 비교는 두 단계다. 먼저 소수점 왼쪽(자연수 부분)을 비교하고, 같으면 소수점 아래를 높은 자리부터 한 자리씩 비교한다. 끝에 을 붙여 자릿수를 맞추면 편하다.
소수 첫째 자리에서 로 이미 결판이 났다. 둘째 자리의 가 아무리 커도 첫째 자리의 차이를 뒤집을 수 없다. 자연수 비교에서 배운 "처음 다른 자리가 결정한다"가 그대로다.
을 작은 것부터 늘어놓아라.
풀이. 자연수 부분은 모두 . 소수점 아래를 세 자리로 맞추면 . 이제 소수점 아래 을 비교하면 된다.
검산: 수직선에서 는 바로 오른쪽, 는 와 사이, 는 와 의 한가운데다 ✓.
은 얼마일까. 자릿값으로 보면 개의 은 개의 이 되고, 개의 은 개의 이 되고, 개의 은 개의 이 된다. 숫자는 그대로 인데 모두 한 자리씩 왼쪽으로 옮겨 갔다. 결과는 다. 숫자가 왼쪽으로 한 칸 가는 것을 소수점이 오른쪽으로 한 칸 간다고 말해도 같은 뜻이다. 배는 두 칸, 배는 세 칸이다.
으로 나누면 반대다. 은 모든 숫자가 한 자리씩 오른쪽으로 가서 이다. 자연수에서 "배는 뒤에 을 붙인다"고 했던 것도 이 규칙의 특수한 경우다. 은 이 한 자리씩 왼쪽으로 가고 빈 일의 자리를 이 채운 것이다.
(1) (2) 을 구하여라.
풀이. (1) 세 자리 왼쪽으로. 의 숫자 가 세 칸 옮겨 가면 백의 자리와 십의 자리에 서고, 빈 일의 자리는 : .
(2) 두 자리 오른쪽으로. 이 소수 둘째 자리로 가고, 비는 일의 자리와 소수 첫째 자리를 으로 채운다: .
검산:
"소수점을 옮긴다"는 말을 기계적으로 외우면 (2)처럼 빈자리가 생길 때 이라 쓰는 실수가 난다. 숫자가 자리를 옮기는 것이지 소수점이 혼자 움직이는 것이 아니다. 옮긴 뒤 빈자리는 반드시 으로 채운다.
을 소수 둘째 자리까지 반올림하면 셋째 자리 이 이상이므로 둘째 자리 를 으로 올려 이다. 첫째 자리까지 반올림하면 둘째 자리 를 보고 첫째 자리 를 로 올려 . 자연수와 규칙이 같다. 구하려는 자리의 바로 아래 자리 하나만 본다.
를 (1) 소수 둘째 자리까지, (2) 소수 첫째 자리까지 반올림하여라.
풀이. (1) 셋째 자리 가 이상이므로 둘째 자리 를 로: .
(2) 둘째 자리 가 이하이므로 첫째 자리 은 그대로: .
검산:
소수 감각을 기준 몇 개로 잡아 두면 크기가 바로 보인다. 는 절반, 는 절반의 절반, 은 십분의 일, 는 에 모자란 수. 짜리 물건 개는 에 조금 못 미친다.
Each step to the left on the whole-number ladder was worth times more: . Now walk the ladder the other way. One step to the right means dividing by , so the place to the right of is one piece of cut into equal parts, that is, ; the next place is cut into again, . The dot marking where the ones place ends is the decimal point.
A way of writing numbers with place values continuing past the decimal point. The first place to the right of the point is the tenths place (how many s), the next is the hundredths place (how many s), then the thousandths (s). One tenth, , is one piece of cut into equal parts; it is also written .
is and and put together. In expanded form,
It is read "three point four seven," naming the digits after the point one at a time. Reading it as "three point forty-seven" is avoided because the after the point is not one number "forty-seven" but two places: four s and seven s.
Cut a square into cells and each cell is , each row of cells is . Shading four rows and seven cells gives , which is cells. So is also "forty-seven s." Read place by place it is ; read all at once it is hundredths; same amount either way.
and are the same number. On the grid, is five rows, and five rows are cells, which is . Adding or removing zeros at the end of a decimal does not change its value. A zero in the middle, though, holds its place exactly as in whole numbers and cannot be dropped. is not but one tenth of it; the says the tenths place is empty.
and are equal, but and are not. A trailing zero only fills out a place; a middle zero says "nothing here." It is the same reason and were different numbers.
Which is larger, or ? If you want to say ", because is bigger than ," that is whole-number instinct ("more digits means bigger") misfiring past the decimal point. After the point, longer does not mean larger. Compare in two stages: first the whole-number parts, and if they agree, the digits after the point from the highest place down. Padding with zeros to equal length makes it easy.
The tenths place, , already settles it. No matter how large the in the hundredths place, it cannot overturn a difference in the tenths. This is "the first differing place decides," carried over from whole numbers.
Arrange from smallest to largest.
Solution. All have whole-number part . Pad to three decimal places: . Now compare after the point.
Check on the number line: sits just right of , between and , and halfway from to ✓.
What is ? By place value, the ones become tens, the tenths become ones, and the hundredths become tenths. The digits are still , but every one of them has moved one place to the left. The result is . Saying the digits moved one place left is the same as saying the decimal point moved one place right. Multiplying by moves them two places, by three.
Dividing by is the reverse. moves every digit one place to the right: . The whole-number rule "times appends a " is a special case: in , the and moved one place left and a filled the empty ones place.
Find (1) and (2) .
Solution. (1) Three places to the left. The digits of move three places, landing in the hundreds and tens, and the empty ones place gets a : .
(2) Two places to the right. The lands in the hundredths place, and the empty ones and tenths places are filled with s: .
Check:
Memorizing "move the decimal point" mechanically leads to writing in a case like (2), where empty places appear. It is the digits that move, not the point by itself. After moving, every empty place must be filled with a .
To round to the nearest hundredth, look at the thousandths digit : it is or more, so the hundredths digit goes up to , giving . To the nearest tenth, look at the hundredths digit and raise the tenths digit to : . The rule is the same as for whole numbers: look only at the single digit just to the right of the place you want.
Round (1) to the nearest hundredth, (2) to the nearest tenth.
Solution. (1) The thousandths digit is or more, so the hundredths digit becomes : .
(2) The hundredths digit is or less, so the tenths digit stays: .
Check:
A few benchmarks make the size of a decimal instantly visible: is a half, is half of a half, is a tenth, and is short of . Four items at each come to a little under .
에서 숫자 , , 가 각각 나타내는 값을 쓰고, 이 수를 풀어 써라.
In , say what the digits , , and are worth, then write the number in expanded form.
소수점 오른쪽으로 첫째·둘째·셋째 자리의 값은 이다. 는 첫째 자리이므로 , 은 둘째 자리이므로 , 는 셋째 자리이므로 .
검산: 오른쪽부터 더하면 ✓.
The first, second, and third places to the right of the point are worth . The is in the tenths place, so ; the in the hundredths, so ; the in the thousandths, so .
Check by adding from the right: ✓.
다음을 소수로 써라.
(a) 짜리가 개 (b) 와 짜리 개 (c) 과 짜리 개
Write each as a decimal.
(a) eight s (b) and five s (c) and five s
(a) 짜리 개는 소수 둘째 자리에 : . 첫째 자리는 비었으므로 으로 채운다.
(b) 일의 자리 , 첫째 자리 : .
(c) 에 둘째 자리 : . 첫째 자리가 비어 .
검산: (a) 개 ✓. (c) ✓.
(a) Eight hundredths puts an in the hundredths place: , with a filling the empty tenths place.
(b) A in the ones place and a in the tenths: .
(c) with a in the hundredths: , with the empty tenths place filled by .
Check: (a) hundredths ✓. (c) ✓.
에 , , 중 알맞은 것을 써넣어라.
(a) (b) (c)
Fill each with , , or .
(a) (b) (c)
(a) 과 : 첫째 자리 이므로 .
(b) 끝의 은 값을 바꾸지 않으므로 같다.
(c) 첫째 자리 이므로 . 자릿수가 길어도 작다.
검산: (c) 는 에도 못 미치고 은 를 넘는다 ✓.
(a) Compare and : in the tenths place , so .
(b) A trailing zero changes nothing, so they are equal.
(c) In the tenths place , so ; more digits, yet smaller.
Check on (c): does not even reach , while is past ✓.
계산하여라.
(a) (b) (c) (d)
Compute.
(a) (b) (c) (d)
(a) 숫자들이 두 자리 왼쪽으로: .
(b) 한 자리 왼쪽으로: .
(c) 한 자리 오른쪽으로: .
(d) 두 자리 오른쪽으로 가면 은 소수 둘째 자리에 서고, 빈 일의 자리와 첫째 자리는 : .
검산: (a) ✓. (d) ✓.
(a) The digits move two places left: .
(b) One place left: .
(c) One place right: .
(d) Two places right puts the in the hundredths place, and the empty ones and tenths places get s: .
Check: (a) ✓. (d) ✓.
를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
Arrange from smallest to largest.
자연수 부분은 모두 . 소수점 아래를 세 자리로 맞추면 이고, 소수점 아래 를 비교한다.
검산: 와 는 첫째 자리가 로 같고 둘째 자리에서 이므로 ✓.
All have whole-number part . Pad to three decimal places, , and compare after the point.
Check: and share the tenths digit , and in the hundredths , so ✓.
(a) 둘째 자리까지: 셋째 자리 → . 첫째 자리까지: 둘째 자리 → . 자연수까지: 첫째 자리 → .
(b) 둘째 자리까지: 셋째 자리 → . 첫째 자리까지: 둘째 자리 → .
검산: (a) 을 자연수로 반올림할 때 를 거쳐 로 가면 틀린다. 은 보다 작아 에 가깝다 ✓. 반올림은 한 번에 한다.
(a) Nearest hundredth: the thousandths digit , so . Nearest tenth: the hundredths digit , so . Nearest whole number: the tenths digit , so .
(b) Nearest hundredth: the thousandths digit , so . Nearest tenth: the hundredths digit , so .
Check on (a): rounding to a whole number by way of and then would be wrong; is below , so it is nearer ✓. Round in one step.
보다 크고 보다 작은 수 중에서 소수 둘째 자리까지 있는 수는 모두 몇 개인가? 그중 과 의 한가운데에 있는 수는?
How many numbers with exactly two decimal places lie strictly between and ? Which of them is exactly halfway between and ?
, 이므로 그 사이의 둘째 자리 수는 의 개다. 과 은 경계라서 들어가지 않는다.
한가운데는 에서 간 다. 는 과 에서 똑같이 떨어져 있다.
검산: 부터 까지는 개 ✓.
Since and , the two-place decimals between them are , nine of them. The endpoints and are not included.
The midpoint is past , namely , which is from each end.
Check: from through there are numbers ✓.
, , 이다. 다음을 바꾸어라.
(a) 는 몇 cm (b) 는 몇 m (c) 는 몇 L
Given , , , convert:
(a) to cm (b) to m (c) to L
(a) 가 이므로 . 두 자리 왼쪽.
(b) . 세 자리 왼쪽.
(c) . 세 자리 오른쪽.
검산: (a) 와 , 그리고 ✓. (c) 와 ✓.
(a) Since is , : two places left.
(b) : three places left.
(c) : three places right.
Check: (a) is and , and ✓. (c) is and ✓.
숫자 카드 을 한 번씩 모두 써서 꼴의 소수를 만든다. 가장 큰 수와 가장 작은 수를 구하여라.
Use each of the digit cards exactly once to form a decimal of the form . Find the largest and the smallest such decimal.
소수도 높은 자리가 먼저 결정한다. 가장 큰 수는 큰 숫자부터 높은 자리에: (). 가장 작은 수는 작은 숫자부터 높은 자리에: . 일의 자리에 을 놓아도 은 어엿한 수이므로 자연수 때와 달리 문제가 없다.
검산: 보다 작으려면 일의 자리가 이고 첫째 자리가 보다 작아야 하는데 그런 카드가 없다 ✓.
Decimals, too, are decided by the highest places first. The largest puts the big digits high: (which is ). The smallest puts the small digits high: . Unlike whole numbers, a in the ones place is fine here; is a perfectly good number.
Check: anything below would need a in the ones place and a tenths digit below , and no such card exists ✓.
소수 첫째 자리까지 반올림하면 이 되는, 소수 둘째 자리까지의 수는 모두 몇 개인가? 그중 가장 작은 것과 가장 큰 것은?
How many two-place decimals round to when rounded to the nearest tenth? What are the smallest and the largest of them?
소수 둘째 자리가 이상이면 올리고 이하면 그대로다. 첫째 자리가 인 경우와 인 경우로 나누어 아래쪽·위쪽 경계를 찾아라.
A hundredths digit of or more rounds up; or less stays. Split into tenths digit and tenths digit , and find the lower and upper boundaries.
소수 둘째 자리까지의 수 가 첫째 자리까지 반올림해 이 되는 경우는 둘이다.
모두 개이고, 가장 작은 것은 , 가장 큰 것은 다.
검산: 경계 바로 바깥 는 로, 는 로 반올림된다 ✓.
A two-place decimal rounds to in two ways.
Ten in all, from up to .
Check just outside the boundaries: rounds to and rounds to ✓.
영어 뉴스에서 "51.78 million"이라는 표현을 보았다. (a) 이 수를 숫자로 써라. (b) 한국어로는 몇 만인가? (c) "0.3 billion"은 몇 억인가?
An English news article says "51.78 million." (a) Write this number in digits. (b) How many 만 is that in Korean? (c) How many 억 is "0.3 billion"?
million은 이다. 은 숫자가 몇 자리 옮겨 가는가?
A million is . In , how many places do the digits move?
(a) : 은 이 여섯 개이므로 숫자가 여섯 자리 왼쪽으로 간다. 의 소수점 아래 두 자리를 쓰고 나면 네 자리가 남으므로 네 개를 채운다: .
(b) 넷씩 끊으면 , 즉 만.
(c) . 넷씩 끊으면 , 억.
검산: (a) 을 셋씩 끊으면 , 51 million 780 thousand 51.78 million ✓. (c) 1 billion 억이므로 0.3 billion 억 ✓.
(a) : a million has six zeros, so the digits move six places left. The two decimal places of use up two of them, and the remaining four places are filled with s: .
(b) In fours, : 만.
(c) . In fours, : 억.
Check: (a) in threes, reads 51 million 780 thousand, which is 51.78 million ✓. (c) One billion is 억, so 0.3 billion is 억 ✓.
민서는 "가 보다 크다. 가 보다 크니까"라고 말한다. 무엇이 잘못됐는지 두 가지 방법(자리 맞추기, 칸 격자)으로 설명하고, 자연수에서 통하던 "자릿수가 길면 크다"가 소수에서는 왜 안 통하는지 밝혀라.
Minseo says, " is bigger than , because is bigger than ." Explain what went wrong in two ways (lining up places, and the 100-cell grid), and explain why the whole-number rule "more digits means bigger" fails for decimals.
자리 맞추기. 은 과 같다. 과 를 첫째 자리부터 비교하면 이므로 다. 민서는 소수점 아래 숫자 와 을 자연수처럼 비교했지만, 소수점 아래는 자리마다 값이 다르므로 같은 자리끼리 맞추어 비교해야 한다.
격자. 칸 격자에서 은 여섯 줄, 즉 칸이고 는 칸이다. 칸이 칸보다 많다.
왜 규칙이 안 통하는가. 자연수는 자릿수가 하나 늘면 왼쪽에 큰 자리가 새로 생기므로 반드시 커진다. 소수는 자릿수가 늘 때 오른쪽에 작은 자리가 생길 뿐이다. 의 는 짜리 아홉 개일 뿐이라 첫째 자리의 개 차이()를 메울 수 없다.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 으로 맞춘 뒤 첫째 자리에서 임을 보이면 기본 점수. ② 격자(또는 수직선)로 칸과 칸을 비교하면 추가 점수. ③ 소수의 새 자리는 오른쪽의 작은 자리라서 길이가 크기를 뜻하지 않는다고 밝히면 만점. 돈이나 길이(, )로 설명해도 만점.
Lining up places. is the same as . Comparing and from the tenths place, , so . Minseo compared the digit strings and as whole numbers, but after the decimal point each place has its own value, so digits must be compared place against place.
The grid. On a 100-cell grid, is six rows, that is, cells, while is cells. Sixty cells beat fifty-nine.
Why the rule fails. For whole numbers, an extra digit creates a new, larger place on the left, so the number must grow. For decimals, an extra digit only adds a smaller place on the right. The in is just nine hundredths and cannot make up a one-unit gap in the tenths place ().
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① Rewriting and showing in the tenths place: base credit. ② A grid (or number-line) comparison of cells against : more credit. ③ Explaining that a decimal's extra places are small places on the right, so length says nothing about size: full credit. An explanation through money or length ( versus ) also earns full credit.
어떤 소수의 소수점을 오른쪽으로 한 자리 옮겼더니 원래 수보다 만큼 커졌다. 원래 소수는 무엇인가?
Moving a decimal's point one place to the right made the number larger than it was. What was the original decimal?
소수점을 오른쪽으로 한 자리 옮기면 원래 수의 배가 된다. 배는 원래 수의 몇 배만큼 큰가?
Moving the point one place right multiplies the number by . By how many copies of the original does times it exceed the original?
소수점을 오른쪽으로 한 자리 옮긴 수는 원래 수의 배다. 배와 원래 수의 차이는 원래 수의 배이므로, 원래 수의 배가 다. 원래 수는 다. (, , 합 .)
검산: 의 소수점을 옮기면 , ✓.
Moving the point one place right gives times the original. The difference between times a number and the number itself is times the number, so times the original is . The original is (since and , totaling ).
Check: moving the point in gives , and ✓.