수를 적을 때 쓰는 기호는 의 열 개뿐이다. 이 열 개를 숫자라고 한다. 그런데 이 열 개만으로 같은 큰 수도 적고, 원하는 만큼 더 큰 수도 적을 수 있다. 비결은 기호가 아니라 숫자를 어느 자리에 놓느냐에 있다.
세는 것부터 시작하자. 구슬을 하나씩 세다가 열 개가 모이면 한 묶음으로 묶는다. 묶음이 열 개가 되면 다시 큰 묶음(백 개짜리)으로 묶고, 그것이 열 개면 천 개짜리로 묶는다. "열 개가 모이면 다음 묶음 하나"라는 이 약속이 우리 수 체계의 전부다. 열 손가락으로 세던 습관에서 나왔다고 알려져 있다.
수를 적었을 때 각 자리는 정해진 값을 갖는다. 오른쪽 끝이 일의 자리(), 그 왼쪽이 십의 자리(), 그 왼쪽이 백의 자리(), 다음이 천(), 만(), … 이다. 어느 자리든 바로 오른쪽 자리의 배다. 어떤 자리에 놓인 숫자는 "그 자리의 값이 몇 개 있는가"를 말한다.
같은 숫자라도 자리가 다르면 값이 다르다. 에서 는 십의 자리에 있으니 이고, 는 천의 자리에 있으니 이며, 은 십만의 자리에 있으니 이다. 이것을 한 줄로 쓰면 수를 풀어 쓴 것이다:
이 서 있는 자리(만의 자리, 백의 자리)는 "그 묶음은 없다"는 뜻이라 합에는 나타나지 않는다. 그렇다고 을 안 쓰면 큰일 난다. 에서 두 개를 지우면 이 되어 완전히 다른 수가 된다. 의 일은 자리를 지키는 것이다. 아무것도 없는 자리를 비워 두면 왼쪽 숫자들이 밀려 내려와 값이 바뀌기 때문이다.
"삼십만 오천사십팔"을 받아쓸 때 대신 이나 로 쓰는 실수가 흔하다. 말로 읽을 때는 비어 있는 자리를 아예 부르지 않기 때문이다("만"과 "백"이 소리에 없다). 받아쓸 때는 자리 여섯 칸을 먼저 그려 놓고 들리는 자리부터 채운 뒤, 빈 칸에 을 넣어라.
에서 두 개의 이 각각 나타내는 값을 말하고, 이 수를 풀어 써라.
풀이. 왼쪽 은 백만의 자리에 있으므로 이고, 오른쪽 은 만의 자리에 있으므로 이다. 같은 숫자인데 값은 배 차이가 난다. 자리 두 칸은 배의 배이기 때문이다.
검산: 오른쪽부터 더해 보면 ✓.
큰 수를 읽는 방법은 언어마다 다르다. 한국어는 네 자리마다 새 이름이 붙는다. 만(), 억(억 만의 만 배), 조(조 억의 만 배). 영어는 세 자리마다 새 이름이 붙는다. thousand(), million( thousand), billion( million). 숫자 사이에 찍는 쉼표는 영어식 세 자리 묶음이다. 그래서 쉼표만 보고 한국어로 읽으면 자꾸 틀린다.
| 수 | 한국어 (넷씩) | 영어 (셋씩) |
|---|---|---|
| 1만 | ten thousand | |
| 100만 | 1 million | |
| 1억 | 100 million | |
| 10억 | 1 billion | |
| 1조 | 1 trillion |
한국어로 읽을 때는 쉼표를 무시하고 오른쪽에서 네 자리씩 끊는다. 은 으로 끊어 "12억 3456만 7890"이다. 영어는 쉼표 그대로 "1 billion, 234 million, 567 thousand, 890".
1 billion은 1조가 아니라 10억이다. 새 이름이 붙는 간격이 다르기 때문에(셋과 넷) 두 체계의 이름은 하나씩 짝이 맞지 않는다. 뉴스의 "50억 달러"를 영어로 옮기면 5 billion이고, "3 million"은 300만이다.
풀이. (1) 넷씩 끊으면 , 즉 2500만 — "이천오백만". 셋씩 끊으면 — "twenty-five million".
(2) 삼천오백만은 만이다. 만은 이 네 개이므로 뒤에 네 개를 붙인다: .
검산: 을 셋씩 끊어 읽으면 35 million. 백만이 개이니 삼천오백만 ✓.
두 자연수 중 어느 쪽이 큰지 정하는 규칙은 두 줄이다.
첫째, 자리 수가 많은 쪽이 크다. 네 자리 수는 어떤 세 자리 수보다 크다. 이유는 간단하다. 가장 작은 네 자리 수 이 가장 큰 세 자리 수 보다 이미 크기 때문이다. 자리 수가 몇이든 같은 논리다. 자리 하나가 새로 생기는 순간, 그 자리의 은 아래 자리를 전부 로 채운 것보다 크다.
둘째, 자리 수가 같으면 가장 높은 자리부터 비교하고, 처음 달라지는 자리에서 결정한다. 와 을 보자. 만·천·백의 자리는 같고 십의 자리에서 과 로 갈린다. 십의 자리에서 진 는 그 아래 일의 자리가 아무리 커도 이길 수 없다. 십의 자리 차이는 적어도 인데 일의 자리는 까지밖에 못 가기 때문이다. 따라서 .
, , , 을 큰 것부터 나열하여라.
풀이. 자리 수부터 센다. 은 일곱 자리로 혼자 가장 많고, 는 다섯 자리로 가장 적다. 여섯 자리인 둘은 까지 같고 십의 자리에서 과 으로 갈리므로 이 크다.
검산: 는 숫자들이 커 보이지만 자리가 다섯 개뿐이다. "숫자가 커 보인다"에 속지 말고 자리 수부터 센다 ✓.
인구 명을 신문은 "약 5천2백만 명"이라 쓴다. 정확한 수 대신 다루기 쉬운 가까운 수로 바꾸는 것을 어림이라 한다. 어림에는 세 가지가 있고, 셋의 차이는 "어느 방향으로 바꾸는가"뿐이다.
반올림은 가장 가까운 쪽으로 간다. 을 백의 자리까지 반올림해 보자. 후보는 과 이고, 은 에서 , 에서 떨어져 있다. 가까운 쪽은 이다.
가까운 쪽을 매번 재지 않아도 된다. 두 후보의 한가운데는 이므로, 십의 자리 숫자가 이상이면 위쪽 후보가 가깝고 이하면 아래쪽 후보가 가깝다. " 이상이면 올린다"는 규칙의 정체가 이것이다. 정확히 한가운데()는 어느 쪽과도 같은 거리인데, 이때는 올리기로 약속한다.
어떤 자리까지 반올림하려면 그 바로 아래 자리의 숫자를 본다. 이상이면 그 자리 숫자를 키우고(그 자리가 이면 이 되고 왼쪽 자리로 이 올라간다), 이하면 그대로 둔다. 그 아래 자리들은 모두 으로 바꾼다.
올림은 무조건 위로, 버림은 무조건 아래로 간다. 어림의 종류는 상황이 정한다. 학생 명이 인승 버스를 타면 버스 대로는 명이 남으니 대가 필요하다(올림). 연필 자루를 자루씩 상자에 담아 팔면 상자를 팔 수 있고 자루가 남는다(버림).
를 (1) 만의 자리까지, (2) 천의 자리까지 반올림하여라.
풀이. (1) 만의 자리 숫자는 , 바로 아래 천의 자리는 . 이상이므로 을 로 키우고 아래는 : .
(2) 천의 자리 숫자는 , 바로 아래 백의 자리는 . 이하이므로 그대로: .
검산:
반올림은 한 번에 한다. 를 천의 자리까지 반올림할 때 "백의 자리에서 먼저 반올림해 을 만들고, 이것을 다시 천의 자리에서 반올림해 "으로 가면 틀린다. 는 보다 에 가깝다. 보는 자리는 바로 아래 자리 하나뿐이다.
어림의 가장 큰 쓸모는 계산 결과의 자릿수를 미리 아는 것이다. 를 계산하기 전에 쯤이라고 잡아 두면, 계산해서 이 나왔을 때 자리가 하나 모자란다는 것을 바로 알 수 있다. 실제 값은 이다. 계산을 시작하기 전에 답의 크기를 한 줄로 어림하고, 끝난 뒤 그 어림과 견줘 보는 습관은 앞으로 모든 계산에 붙어 다닌다.
The symbols we write numbers with are just ten: . These are the digits. With only ten of them we can write , and numbers as large as we like. The trick is not in the symbols but in where each one stands.
Start with counting. Count beads one at a time; when you reach ten, tie them into a bundle. When you have ten bundles, tie those into a bigger bundle of a hundred; ten of those make a thousand. That single agreement, "ten of these make one of the next," is the whole system. It most likely began with ten fingers.
Every position in a written number carries a fixed value. The rightmost position is the ones place (), then the tens (), the hundreds (), the thousands (), the ten-thousands (), and so on. Each place is worth ten times the place to its right. A digit tells you how many of that place's value you have.
The same digit means different things in different places. In , the stands in the tens place, so it is worth ; the stands in the thousands place, so it is worth ; the stands in the hundred-thousands place, worth . Writing all of that on one line gives the expanded form:
The places holding a (ten-thousands, hundreds) mean "none of that bundle," so they don't show up in the sum. But you cannot leave them out of the number. Erase the two zeros from and you get , a completely different number. A zero's job is to hold its place: if an empty place were simply left blank, every digit to its left would slide down and change its value.
Taking dictation of "three hundred five thousand, forty-eight," people often write or instead of , because the empty places are never spoken aloud. Draw six empty slots first, fill the places you hear, then put a in every slot that is still empty.
In , say what each of the two s is worth, then write the number in expanded form.
Solution. The left stands in the millions place, so it is worth ; the right stands in the ten-thousands place, worth . Same digit, values times apart, because two places apart means ten times ten.
Check by adding from the right: ✓.
Languages name big numbers differently. English attaches a new name every three places: thousand (), million (a thousand thousands), billion (a thousand millions). Korean attaches a new name every four places: 만 (), 억 (ten thousand 만), 조 (ten thousand 억). The commas we write between digits mark the English three-place grouping, which is exactly why reading Korean straight off the commas keeps going wrong.
| Number | English (threes) | Korean (fours) |
|---|---|---|
| ten thousand | 1만 | |
| 1 million | 100만 | |
| 100 million | 1억 | |
| 1 billion | 10억 | |
| 1 trillion | 1조 |
To read in Korean, ignore the commas and cut the number into fours from the right: becomes , "12억 3456만 7890." In English, read the commas as they stand: "1 billion, 234 million, 567 thousand, 890."
One billion is 10억, not 1조. Because the two systems attach new names at different intervals (threes versus fours), their names do not pair up one-for-one. A "50억 달러" headline is 5 billion dollars; "3 million" is 300만.
Solution. (1) In fours: , that is 2500만, "이천오백만." In threes: , "twenty-five million."
(2) Thirty-five million is followed by six zeros: .
Check: cut into fours, , and it reads 3500만, which is thirty-five million again ✓.
Deciding which of two whole numbers is larger takes two rules.
First, more digits wins. Any four-digit number beats any three-digit number. The reason is short: the smallest four-digit number, , already beats the largest three-digit number, . The same argument works for any number of digits. The moment a new place appears, a single in it outweighs every lower place filled with s.
Second, with the same number of digits, compare from the left, and the first place where they differ decides. Take and . The ten-thousands, thousands, and hundreds agree; the tens place splits them, against . The number that lost in the tens place cannot catch up in the ones place: the gap in the tens is at least , and the ones place only goes up to . So .
Arrange , , , from largest to smallest.
Solution. Count digits first. has seven digits, the most; has five, the fewest. The two six-digit numbers agree up to and split in the tens place, against , so is the larger.
Check: is built from big digits, but it has only five of them. Don't be fooled by big-looking digits; count places first ✓.
A population of appears in the news as "about 52 million." Replacing an exact number with a nearby number that is easier to handle is called estimating. There are three kinds, and they differ only in which direction they move.
Rounding goes to the nearest candidate. Round to the nearest hundred: the candidates are and , and is away from the first and away from the second. The nearer one is .
You don't have to measure both distances every time. The halfway point between the candidates is , so a tens digit of or more means the upper candidate is nearer and or less means the lower one is. That is all the "5 or more rounds up" rule is saying. Exactly halfway () is the same distance from both; there we agree to round up.
To round to a given place, look at the digit just to its right. If it is or more, increase the digit in the given place by (a becomes and carries to the left); if it is or less, leave it alone. Then replace every digit to the right with .
Rounding up always moves up; rounding down always moves down. The situation chooses. If students ride -seat buses, two buses leave people standing, so three are needed (up). If pencils are sold in boxes of , four boxes can be sold and pencils are left over (down).
Round (1) to the nearest ten thousand, (2) to the nearest thousand.
Solution. (1) The ten-thousands digit is ; the digit to its right, in the thousands, is . That's or more, so becomes and the rest turn into zeros: .
(2) The thousands digit is ; the digit to its right, in the hundreds, is . That's or less, so stays: .
Check:
Round in one step. Rounding to the nearest thousand by first rounding to the nearest hundred () and then rounding that to the nearest thousand () gives the wrong answer: is nearer to than to . Only the single digit to the right matters.
The biggest use of an estimate is knowing the size of an answer before you compute it. Before working out , note that it is about . Then if the computation produces , you can see at once that a digit has gone missing. The true value is . Estimate the size of the answer in one line before you start and compare when you finish; this habit travels with every calculation from here on.
다음 수에서 숫자 이 나타내는 값을 각각 써라.
(a) (b)
Write what the digit is worth in each number.
(a) (b)
(a) 은 십만의 자리에 있으므로 이다.
(b) 은 십의 자리에 있으므로 이다.
검산: (a)를 풀어 쓰면 ✓.
(a) The stands in the hundred-thousands place, so it is worth .
(b) The stands in the tens place, so it is worth .
Check on (a) with the expanded form: ✓.
을 풀어 쓰고, 이 서 있는 자리를 모두 말하여라.
Write in expanded form, and name every place that holds a .
왼쪽부터 십만·만·천·백·십·일의 자리다. 는 십만의 자리(), 는 천의 자리(), 은 십의 자리()에 있다.
이 서 있는 곳은 만의 자리, 백의 자리, 일의 자리 세 곳이다. 셋 다 합에는 나타나지 않지만, 하나라도 지우면 다른 수가 된다.
검산: , 여기에 을 더하면 ✓.
From the left, the places are hundred-thousands, ten-thousands, thousands, hundreds, tens, ones. The is in the hundred-thousands (), the in the thousands (), the in the tens ().
The zeros hold the ten-thousands, hundreds, and ones places. None of them appears in the sum, yet erasing any one of them would change the number.
Check: , plus gives ✓.
(a) 삼십이만은 만 , 오천은 , 팔은 . 백의 자리와 십의 자리는 소리에 없으므로 으로 채운다: .
(b) 넷씩 끊으면 . 앞 묶음 은 만 단위이므로 사백육만, 뒤 묶음 는 십이. 합쳐서 "사백육만 십이".
검산:
(a) Three hundred twenty-five thousand is ; add the eight. The hundreds and tens places are never spoken, so they get zeros: .
(b) Read the commas: . The first group is millions, the second thousands: "four million, sixty thousand, twelve."
Check:
를 (a) 십의 자리까지, (b) 백의 자리까지, (c) 천의 자리까지 반올림하여라.
Round (a) to the nearest ten, (b) to the nearest hundred, (c) to the nearest thousand.
보는 자리는 항상 "구하려는 자리의 바로 아래" 하나다.
(a) 일의 자리 는 이상이므로 십의 자리 를 로: .
(b) 십의 자리 는 이하이므로 백의 자리 은 그대로: .
(c) 백의 자리 은 이상이므로 천의 자리 을 로: .
검산: (c) 는 까지 , 까지 이므로 이 가깝다 ✓.
The digit to look at is always the one just to the right of the place you're rounding to.
(a) The ones digit is or more, so the tens digit becomes : .
(b) The tens digit is or less, so the hundreds digit stays: .
(c) The hundreds digit is or more, so the thousands digit becomes : .
Check on (c): is from and from , so is nearer ✓.
, , , 를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
Arrange , , , from smallest to largest.
자리 수로 먼저 가른다. 네 자리인 와 이 다섯 자리인 과 보다 작다.
네 자리끼리: 천·백의 자리는 로 같고 십의 자리에서 이므로 .
다섯 자리끼리: 만·천·백의 자리는 으로 같고 십의 자리에서 이므로 .
검산: 이웃한 쌍만 다시 본다. 과 는 자리 수가 ✓.
Split by digit count first. The four-digit numbers and are smaller than the five-digit numbers and .
Among the four-digit pair: thousands and hundreds agree (), and the tens place gives , so .
Among the five-digit pair: ten-thousands, thousands, and hundreds agree (), and the tens place gives , so .
Check the pair in the middle: has four digits and has five ✓.
(a) 넷씩 끊으면 이므로 13억. 셋씩 끊으면 이므로 1 billion 300 million.
(b) 오천만은 만. 만은 네 개이므로 뒤에 네 개: .
(c) 1 billion이 억이므로 7 billion은 억이다.
검산:
(a) In threes, : 1 billion 300 million. In fours, : 13억.
(b) Fifty million is followed by six zeros: .
(c) One billion is 억, so 7 billion is 억.
Check:
숫자 카드 을 한 번씩 모두 써서 다섯 자리 수를 만든다. 만들 수 있는 가장 큰 수와 가장 작은 수를 각각 구하여라.
Use each of the digit cards exactly once to make a five-digit number. Find the largest and the smallest number you can make.
큰 수를 만들려면 높은 자리부터 큰 숫자를 놓는다: 순서로 .
작은 수는 높은 자리부터 작은 숫자를 놓되, 맨 앞에 을 놓으면 네 자리 수가 되어 버리므로 안 된다. 맨 앞은 다음으로 작은 , 그다음부터 : .
검산: 보다 작은 후보가 있으려면 만의 자리가 보다 작아야 하는데 은 맨 앞에 올 수 없고, 만의 자리가 이면서 천의 자리가 보다 작을 수는 없다 ✓.
For the largest, put the biggest digits in the highest places: , giving .
For the smallest, put the smallest digits in the highest places, except that a leading would turn the number into a four-digit one. So the front digit is , the smallest nonzero card, followed by : .
Check: anything smaller than would need a ten-thousands digit below , but cannot lead, and with in front no digit is smaller than for the thousands place ✓.
지호는 라고 계산했다. 계산하지 말고 어림만으로 이 답이 옳은지 판단하여라. 옳지 않다면 실제 값도 구하여라.
Jiho computed . Without redoing the addition, use an estimate to decide whether the answer can be right. If it can't, find the true value.
두 수를 천의 자리까지 반올림하면 과 이고, 합은 약 이다. 반올림으로 생긴 오차는 각각 과 뿐이므로 실제 합은 근처여야 한다. 는 가까이 모자라니 틀렸다. 백의 자리에서 천의 자리로 넘겨야 할 을 빠뜨린 것이다.
실제로 더하면 .
검산: , 여기에 를 더하면 ✓. 어림 과도 잘 맞는다 ✓.
Round both numbers to the nearest thousand: and , so the sum is about . Rounding moved the numbers by only and , so the true sum must be close to . Since falls short by almost , it is wrong. Jiho lost the carry from the hundreds into the thousands.
Adding for real: .
Check: , then add to get ✓. It also sits right next to the estimate ✓.
반올림하여 십의 자리까지 나타내면 이 되는 자연수는 모두 몇 개인가?
How many whole numbers round to when rounded to the nearest ten?
십의 자리까지 반올림할 때 보는 것은 일의 자리 숫자다. 결과가 이 되는 길은 둘이다.
합쳐서 이상 이하, 모두 개다.
검산: 경계 바로 바깥을 확인한다. 는 으로 내려가고, 는 으로 올라간다 ✓.
Rounding to the nearest ten looks at the ones digit. There are two ways to land on .
Together that is every number from through : numbers.
Check just outside the boundary: rounds down to , and rounds up to ✓.
동현이는 "높은 자리에서 진 수는 아래 자리에서 아무리 커도 못 이긴다"는 규칙이 왜 항상 맞는지 궁금하다. 과 를 예로 들어 설명하고, 같은 논리가 다른 어떤 두 수에도 통하는 이유를 써라.
Donghyun wonders why the rule "a number that loses in a higher place can never win it back in the lower places" is always true. Explain it with the example versus , then say why the same reasoning works for any two numbers.
는 "로 시작하는 수" 중에서 어떤 위치에 있는가? 에 을 더하면 무엇이 되는가?
Where does sit among all the numbers that start with ? What is ?
로 시작하는 다섯 자리 수 중 가장 큰 것은 아래 세 자리를 모두 로 채운 다. 그런데 이다. 즉 로 시작하는 수 중 가장 작은 이 로 시작하는 수 중 가장 큰 보다 이미 크다. 그러니 로 시작하는 어떤 수도 로 시작하는 어떤 수보다 크다.
같은 논리는 자리와 상관없이 통한다. 처음 달라지는 자리에서 한쪽이 이라도 크면, 진 쪽이 그 아래 자리를 전부 로 채워도 이 되어 이긴 쪽의 가장 작은 경우에 딱 모자란다. 아래 자리 전체를 합쳐도 위 자리 하나의 차이를 메울 수 없다.
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점). ① 가 로 시작하는 수 중 가장 크고 이 로 시작하는 수 중 가장 작다는 점을 짚으면 기본 점수. ② 으로 두 수의 크기를 확정하면 추가 점수. ③ "아래 자리를 전부 로 채워도 위 자리 에 못 미친다"는 일반 논리를 쓰면 만점. 자릿값의 합(이고 )으로 설명해도 만점.
Among five-digit numbers starting with , the largest is , the one with all three lower places filled with s. But . So the smallest number starting with is already more than the largest number starting with . Every number starting with therefore beats every number starting with .
The same reasoning works in any place. At the first place where two numbers differ, if one side is bigger by even , the losing side can fill every lower place with s and still fall exactly short of the winning side's smallest case, because . All the lower places together cannot make up a gap of one unit in the higher place.
Rubric (any logically correct solution earns full credit). ① Noting that is the largest number starting with and the smallest starting with : base credit. ② Settling the comparison with : more credit. ③ The general argument, "lower places full of s still fall short of a single unit in the higher place": full credit. A place-value argument ( while ) also earns full credit.
어떤 자연수를 반올림하여 천의 자리까지 나타내면 이고, 백의 자리까지 나타내면 이다. 이런 자연수 중 가장 작은 것과 가장 큰 것을 구하여라.
A whole number rounds to when rounded to the nearest thousand, and to when rounded to the nearest hundred. Find the smallest and the largest such number.
두 조건을 각각 "얼마 이상 얼마 이하"로 바꾼 뒤, 두 범위가 겹치는 부분을 찾아라.
Turn each condition into a range, "from this up to that," then find where the two ranges overlap.
첫째 조건: 천의 자리까지 반올림해 이 되려면 이상 이하여야 한다.
둘째 조건: 백의 자리까지 반올림해 이 되려면 이상 이하여야 한다.
둘째 범위는 첫째 범위 안에 통째로 들어가므로, 두 조건을 다 만족하는 수는 이상 이하다. 가장 작은 수는 , 가장 큰 수는 .
검산: 은 백의 자리 이므로 ✓, 십의 자리 이므로 ✓. 는 백의 자리 이므로 ✓, 십의 자리 이므로 ✓. 바로 바깥의 는 이 되고 은 이 되어 조건에 어긋난다 ✓.
First condition: rounding to the nearest thousand gives exactly for the numbers from through .
Second condition: rounding to the nearest hundred gives exactly for the numbers from through .
The second range lies entirely inside the first, so the numbers satisfying both run from through . The smallest is and the largest is .
Check: has hundreds digit , so it rounds to ✓, and tens digit , so it rounds to ✓. has hundreds digit , giving ✓, and tens digit , giving ✓. Just outside, rounds to and rounds to , both failing ✓.
세 자리 수 중에서 각 자리 숫자의 합이 인 수는 모두 몇 개인가? 전부 나열하여라.
How many three-digit numbers have digits that add up to ? List them all.
백의 자리 숫자는 일 수 없다. 백의 자리가 인 경우로 나누어 세어 보라.
The hundreds digit cannot be . Split into cases by the hundreds digit: , , or .
세 자리 수이므로 백의 자리는 이상이고, 세 숫자의 합이 이므로 백의 자리는 중 하나다.
모두 개다.
검산: 여섯 수의 자릿수 합이 전부 인지 확인 — 모두 ✓. 백의 자리가 인 은 세 자리 수가 아니므로 제외한 것이 맞다 ✓.
A three-digit number has a hundreds digit of at least , and since all three digits add to , the hundreds digit is , , or .
That is numbers.
Check that all six have digit sum : ✓. And are rightly excluded, since a leading makes them two-digit or one-digit numbers ✓.
부터 까지의 자연수를 모두 종이에 쓴다. 숫자 은 모두 몇 번 쓰게 되는가?
Every whole number from through is written on a sheet of paper. How many times is the digit written?
일의 자리에 이 오는 수, 십의 자리에 이 오는 수, 백의 자리에 이 오는 수를 따로 세어 보라. 한 수에 이 여러 번 있으면 각각 센다.
Count separately the numbers with a in the ones place, in the tens place, and in the hundreds place. A number like counts once for each place.
자리별로 센다.
일의 자리. 처럼 일의 자리가 인 수는 개마다 하나씩 나오므로 까지 개다.
십의 자리. 십의 자리가 인 수는 , , , …, 처럼 백 개 구간마다 개씩, 열 구간이므로 개다.
백의 자리. 백의 자리가 인 수는 의 개다.
처럼 이 여러 번 있는 수는 자리마다 따로 세어졌으니 빠짐도 겹침도 없다. 모두 번이다.
검산: 다른 길로 세어 보자. 부터 까지 개의 수를 모두 세 자리로 적으면(처럼) 숫자 칸이 개이고, 각 칸에는 부터 까지가 똑같이 번씩 나온다. 따라서 은 번이다. 앞에 붙인 은 의 개수를 바꾸지 않으므로 답은 그대로 ✓.
Count place by place.
Ones place. Numbers ending in () come once every ten numbers, so there are of them up to .
Tens place. Numbers with tens digit come in blocks of ten, –, –, –, …, –: ten blocks of ten, numbers.
Hundreds place. Numbers with hundreds digit are –: numbers.
A number such as was counted once in each place, so nothing is missed and nothing is double-counted. In total, .
Check by a second route: write all numbers from through with three digits each (like ). That fills digit slots, and each slot shows through equally often, times each. So appears times, and the padded zeros never add a , so the answer stays ✓.