나눗셈과 나머지Division & Remainders

기초 산술Foundations · 1. 자연수와 사칙연산1. Whole Numbers & the Four Operations

학습 목표

나눗셈을 "똑같이 나누기"와 "몇 묶음인가" 두 관점으로 읽고, 나눗셈이 곱셈을 거꾸로 묻는 것임을 안다.
몫과 나머지의 뜻을 알고, 검산식 $(\text{나누는 수}) \times (\text{몫}) + (\text{나머지}) = (\text{나누어지는 수})$ 로 검산할 수 있다.
긴 나눗셈이 "높은 자리부터 최대한 덜어내기"임을 알고, 나누는 수가 두 자리여도 나눗셈을 할 수 있다.
$0$ 으로 나눌 수 없는 이유를 설명하고, 몫과 나머지를 문제 상황에 맞게 해석할 수 있다.

나눗셈의 두 얼굴

사탕 $12$ 개를 $3$ 명이 똑같이 나누면 한 사람에 $4$ 개다. 사탕 $12$ 개를 $3$ 개씩 봉지에 담으면 $4$ 봉지가 나온다. 첫째는 똑같이 나누기(몇 개씩인가), 둘째는 묶음 세기(몇 묶음인가)이고, 둘 다 $12 \div 3 = 4$ 라고 쓴다. 문장제를 읽을 때 지금 어느 쪽 질문인지 가려내는 것이 첫 단계다.

두 질문 모두 결국은 곱셈을 거꾸로 묻는 것이다. " $3$ 에 무엇을 곱하면 $12$ 가 되는가?" 그 답 $4$ 가 나눗셈의 답이다.

12 \div 3 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3 \times 4 = 12.

곱셈표를 거꾸로 읽을 수 있으면 작은 나눗셈은 끝난 것이고, 나눗셈의 검산이 곱셈인 이유도 여기 있다.

나머지

사탕이 $14$ 개면 어떨까. $4$ 개씩 담으면 $3$ 봉지가 나오고 $2$ 개가 남는다. 남은 $2$ 개로는 봉지를 하나 더 채울 수 없다.

사탕 14개를 4개씩 묶으면 3묶음이 되고 2개가 남는다.

이때 $3$ 을 몫, $2$ 를 나머지라 하고 $14 \div 4 = 3 \cdots 2$ 라고 쓴다. 상황을 곱셈과 덧셈으로 옮기면 검산식이 된다.

정의몫과 나머지

$a$ 를 $b$ 로 나누어 몫이 $q$ , 나머지가 $r$ 이라는 것은

a = b \times q + r, \qquad 0 \le r < b

라는 뜻이다. 나머지가 $0$ 이면 "나누어떨어진다"고 한다.

두 번째 조건이 중요하다. 나머지는 나누는 수보다 작아야 한다. 나머지가 $4$ 이상이면 봉지를 하나 더 채울 수 있었다는 뜻이니 몫이 아직 덜 센 것이다. $14 = 4 \times 2 + 6$ 이라고 쓰면 등식 자체는 맞지만, 나머지 $6$ 이 $4$ 보다 커서 몫 $2$ 는 틀린 답이다.

주의

검산식만 확인하고 안심하면 안 된다. $23 \div 5$ 를 "몫 $3$ , 나머지 $8$ "이라 답해도 $5 \times 3 + 8 = 23$ 은 성립한다. 검산은 두 가지를 본다. 등식이 맞는가, 그리고 나머지가 나누는 수보다 작은가. 바른 답은 몫 $4$ , 나머지 $3$ 이다.

긴 나눗셈: 높은 자리부터 최대한 덜어낸다

$351 \div 13$ 처럼 수가 커지면 곱셈표로는 안 된다. 원리는 이렇다. $351$ 에서 $13$ 을 가능한 한 큰 덩어리로 덜어내되, 높은 자리부터 한다.

십의 자리에서 시작하자. $13$ 을 $10$ 개 묶음으로 몇 번 덜어낼 수 있는가? $13 \times 20 = 260$ 은 되지만 $13 \times 30 = 390$ 은 $351$ 을 넘는다. 그러니 $20$ 번 덜어내고 $351 - 260 = 91$ 이 남는다. 이제 낱개로 $13$ 을 몇 번 더 덜어낼 수 있는가? $13 \times 7 = 91$ 이니 딱 $7$ 번. 합쳐서 $27$ 번, 나머지 $0$ .

351에서 13을 20번 덜어내면 91이 남고, 다시 7번 덜어내면 0이 남는다.

351 = 13 \times 20 + 13 \times 7 = 13 \times 27.

마지막 줄은 분배법칙이다. 곱셈이 $27$ 을 $20 + 7$ 로 잘라 곱했다면, 나눗셈은 그것을 거꾸로 되짚는다. 세로셈은 이 과정을 자리마다 한 숫자씩 적는 약식이다.

\begin{array}{r} 2\,7 \\ 13\overline{\smash{)}\,3\,5\,1} \\ 2\,6\phantom{\,0} \\ \hline 9\,1 \\ 9\,1 \\ \hline 0 \end{array}

읽는 법: 백의 자리 $3$ 은 $13$ 보다 작아 덜어낼 수 없다. 십의 자리까지 붙인 $35$ (십 묶음 $35$ 개)에서 $13$ 을 $2$ 번 덜어내고( $26$ ), 남은 $9$ 옆에 일의 자리 $1$ 을 내려 $91$ 을 만든다. $91$ 에서 $13$ 을 $7$ 번 덜어내면 $0$ . 몫은 위에 적힌 $27$ 이다.

예제 1 · 몫의 가운데에 0이 올 때

$2{,}867 \div 7$ 을 계산하고 검산하여라.

풀이. 천의 자리 $2$ 는 $7$ 보다 작다. $28$ 에서 $7$ 을 $4$ 번 덜어내면 $0$ . 백의 자리 $6$ 을 내리면 $6$ 인데 $7$ 보다 작아 한 번도 못 덜어낸다. 이때 몫에 $0$ 을 적어야 한다. 일의 자리 $7$ 을 내려 $67$ , $7$ 을 $9$ 번 덜어내면( $63$ ) 나머지 $4$ .

\begin{array}{r} 4\,0\,9 \\ 7\overline{\smash{)}\,2\,8\,6\,7} \\ 2\,8\phantom{\,0\,0} \\ \hline 6\phantom{\,0} \\ 0\phantom{\,0} \\ \hline 6\,7 \\ 6\,3 \\ \hline 4 \end{array}

몫 $409$ , 나머지 $4$ .

검산: $7 \times 409 + 4 = 2{,}863 + 4 = 2{,}867$ ✓, 그리고 $4 < 7$ ✓. 어림으로도 $2{,}800 \div 7 = 400$ 근처 ✓.

주의

예제 1에서 몫의 $0$ 을 빠뜨리고 $49$ 라고 쓰는 실수가 정말 잦다. 내린 숫자가 나누는 수보다 작으면 "그 자리에서는 $0$ 번 덜어냈다"는 뜻이므로 $0$ 을 쓰고 다음 자리를 내린다. 어림이 이 실수를 잡는다. $2{,}867 \div 7$ 이 $49$ 라면 $7 \times 49 = 343$ 밖에 안 된다.

예제 2 · 나누는 수가 두 자리일 때

$4{,}218 \div 34$ 를 계산하고 검산하여라.

풀이. 나누는 수가 두 자리면 몫의 숫자를 한 번에 알기 어렵다. 어림으로 잡고 안 맞으면 고친다. $42$ 에서 $34$ 는 $1$ 번( $34$ ), 남은 $8$ 에 $1$ 을 내려 $81$ . $81$ 에서 $34$ 는 $2$ 번( $68$ )이고 $3$ 번이면 $102$ 로 넘친다. 남은 $13$ 에 $8$ 을 내려 $138$ . $138 \div 34$ 는 $140 \div 35 = 4$ 쯤이니 $4$ 번( $136$ )을 시도하면 나머지 $2$ .

\begin{array}{r} 1\,2\,4 \\ 34\overline{\smash{)}\,4\,2\,1\,8} \\ 3\,4\phantom{\,0\,0} \\ \hline 8\,1\phantom{\,0} \\ 6\,8\phantom{\,0} \\ \hline 1\,3\,8 \\ 1\,3\,6 \\ \hline 2 \end{array}

몫 $124$ , 나머지 $2$ .

검산: $34 \times 124 + 2 = 4{,}216 + 2 = 4{,}218$ ✓, $2 < 34$ ✓. 어림 $4{,}200 \div 30 = 140$ 근처 ✓.

몫의 숫자를 어림할 때는 나누는 수를 반올림해서 잡는다. $138 \div 34$ 에서 $34 \approx 30$ 으로 보면 $138 \div 30$ 은 $4$ 쯤이다. 시도한 곱이 남은 수를 넘으면 하나 줄이고, 뺀 뒤의 나머지가 나누는 수 이상이면 하나 늘린다. 두세 번 고쳐 잡아도 부끄러운 일이 아니다.

0으로 나눌 수 없는 이유

$12 \div 0$ 은 얼마일까. 나눗셈은 곱셈을 거꾸로 묻는 것이니 " $0$ 에 무엇을 곱하면 $12$ 가 되는가"를 물어야 한다. $0$ 에 무엇을 곱해도 $0$ 이므로 그런 수는 없다. $0 \div 0$ 은 어떨까. " $0$ 에 무엇을 곱하면 $0$ 이 되는가"인데 이번에는 모든 수가 답이 되어 하나로 정해지지 않는다. 답이 없거나 답이 너무 많거나, 어느 쪽이든 하나의 값이 될 수 없으므로 $0$ 으로 나누는 것은 금지된다. 반면 $0 \div 5 = 0$ 은 아무 문제 없다. $5 \times 0 = 0$ 이기 때문이다.

몫과 나머지를 읽는 법

계산이 끝나도 문제는 끝나지 않는다. 몫과 나머지 중 무엇이 답인지 상황이 정한다.

학생 $43$ 명이 $20$ 인승 버스에 탄다면 $43 \div 20 = 2 \cdots 3$ 에서 답은 $3$ 대다. 남은 $3$ 명도 타야 하니 몫에 $1$ 을 더한다.
연필 $43$ 자루를 $10$ 자루씩 묶어 판다면 답은 $4$ 묶음이다. 남은 $3$ 자루는 묶음이 못 된다.
오늘이 화요일일 때 $100$ 일 뒤의 요일을 물으면 $100 = 7 \times 14 + 2$ 에서 답은 나머지가 쥐고 있다. $7$ 일마다 요일은 제자리로 돌아오니 $14$ 주는 잊어도 되고, 남은 $2$ 일만큼 이동한 목요일이 답이다.

예제 3 · 나머지가 답인 문제

올해 $1$ 월 $1$ 일은 수요일이다. 올해가 $365$ 일이라면 내년 $1$ 월 $1$ 일은 무슨 요일인가?

풀이. $365 = 7 \times 52 + 1$ 이다. $52$ 주가 지나면 요일은 그대로이고, 남은 $1$ 일만큼 밀린다. 내년 $1$ 월 $1$ 일은 수요일의 다음 날인 목요일이다.

검산: $7 \times 52 = 364$ , $364 + 1 = 365$ ✓, 나머지 $1 < 7$ ✓. 평년이 지나면 같은 날짜의 요일이 하나씩 밀리는 현상은 달력에서 실제로 확인할 수 있다.

참고

검산은 항상 곱셈으로 돌아간다. $(\text{나누는 수}) \times (\text{몫}) + (\text{나머지})$ 가 원래 수와 같은지, 나머지가 나누는 수보다 작은지, 그리고 어림( $4{,}218 \div 34 \approx 140$ )과 몫의 자릿수가 맞는지. 이 세 가지를 습관으로 붙이면 긴 나눗셈에서 틀리는 일이 드물어진다.

Goals

Read a division two ways, as sharing equally and as counting groups, and see that division asks a multiplication question backwards.
Know what the quotient and remainder mean, and check a division with $(\text{divisor}) \times (\text{quotient}) + (\text{remainder}) = (\text{dividend})$ .
See long division as "take away as much as possible, starting from the highest place," and divide by two-digit divisors.
Explain why dividing by $0$ is not allowed, and interpret the quotient and remainder in the context of a problem.

The two faces of division

Share $12$ candies equally among $3$ people and each gets $4$ . Pack $12$ candies into bags of $3$ and you fill $4$ bags. The first is sharing (how many each?), the second is grouping (how many groups?), and both are written $12 \div 3 = 4$ . Telling which question a word problem is asking is the first step in solving it.

Both questions are really a multiplication asked backwards: " $3$ times what makes $12$ ?" The answer, $4$ , is the answer to the division.

12 \div 3 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3 \times 4 = 12.

If you can read the multiplication table backwards, small divisions are done, and this is also why the check for a division is a multiplication.

Remainders

Now suppose there are $14$ candies. Bags of $4$ give $3$ full bags with $2$ candies left over, and the $2$ leftovers cannot fill another bag.

Fourteen candies in groups of 4: three full groups and 2 left over.

Here $3$ is the quotient and $2$ is the remainder, written $14 \div 4 = 3 \text{ R } 2$ . Translating the situation into a multiplication and an addition gives the check.

DefinitionQuotient and remainder

Dividing $a$ by $b$ with quotient $q$ and remainder $r$ means

a = b \times q + r, \qquad 0 \le r < b.

When the remainder is $0$ , we say $b$ divides $a$ evenly.

The second condition matters. The remainder must be smaller than the divisor. A remainder of $4$ or more would mean another bag could have been filled, so the quotient was not counted fully. Writing $14 = 4 \times 2 + 6$ is a true equation, but the remainder $6$ exceeds $4$ , so the quotient $2$ is wrong.

Watch out

Do not stop at the equation. Answering $23 \div 5$ with "quotient $3$ , remainder $8$ " still satisfies $5 \times 3 + 8 = 23$ . A proper check asks two things: does the equation hold, and is the remainder smaller than the divisor? The correct answer is quotient $4$ , remainder $3$ .

Long division: take away as much as you can, from the top

For something like $351 \div 13$ the multiplication table is no help. The principle: take $13$ s away from $351$ in the biggest chunks you can, starting with the highest place.

Begin with the tens. How many bundles of ten $13$ s can be removed? $13 \times 20 = 260$ fits, but $13 \times 30 = 390$ exceeds $351$ . So remove twenty of them, leaving $351 - 260 = 91$ . Now how many single $13$ s can be removed? $13 \times 7 = 91$ , so exactly seven. In total, $27$ of them, with nothing left.

Take twenty 13s from 351 and 91 remains; take seven more and 0 remains.

351 = 13 \times 20 + 13 \times 7 = 13 \times 27.

That last line is the distributive law. Where multiplication cut $27$ into $20 + 7$ and multiplied each part, division retraces those steps. The written algorithm is a shorthand for this, recording one digit per place.

\begin{array}{r} 2\,7 \\ 13\overline{\smash{)}\,3\,5\,1} \\ 2\,6\phantom{\,0} \\ \hline 9\,1 \\ 9\,1 \\ \hline 0 \end{array}

How to read it: the hundreds digit $3$ is less than $13$ , so nothing can be removed there. Including the tens gives $35$ (thirty-five tens); remove $13$ twice ( $26$ ), and next to the leftover $9$ bring down the ones digit $1$ to make $91$ . Remove $13$ seven times from $91$ and $0$ remains. The quotient, written on top, is $27$ .

Example 1 · A zero in the middle of the quotient

Compute $2{,}867 \div 7$ and check.

Solution. The thousands digit $2$ is less than $7$ . From $28$ , remove $7$ four times, leaving $0$ . Bring down the hundreds digit $6$ : that is $6$ , less than $7$ , so not a single $7$ can be removed, and the quotient must get a $0$ here. Bring down the ones digit $7$ to make $67$ ; remove $7$ nine times ( $63$ ), remainder $4$ .

\begin{array}{r} 4\,0\,9 \\ 7\overline{\smash{)}\,2\,8\,6\,7} \\ 2\,8\phantom{\,0\,0} \\ \hline 6\phantom{\,0} \\ 0\phantom{\,0} \\ \hline 6\,7 \\ 6\,3 \\ \hline 4 \end{array}

Quotient $409$ , remainder $4$ .

Check: $7 \times 409 + 4 = 2{,}863 + 4 = 2{,}867$ ✓, and $4 < 7$ ✓. The estimate $2{,}800 \div 7 = 400$ agrees ✓.

Watch out

Dropping the $0$ in Example 1 and writing $49$ is one of the most common mistakes in all of arithmetic. When a brought-down digit is smaller than the divisor, it means "zero of them were removed at this place," so write a $0$ and bring down the next digit. An estimate catches the slip: if $2{,}867 \div 7$ were $49$ , then $7 \times 49$ would be only $343$ .

Example 2 · A two-digit divisor

Compute $4{,}218 \div 34$ and check.

Solution. With a two-digit divisor, the quotient digits are hard to see at a glance, so estimate and adjust. From $42$ , remove $34$ once ( $34$ ), leaving $8$ ; bring down $1$ to make $81$ . From $81$ , $34$ goes twice ( $68$ ), since three times would be $102$ , too much. Leftover $13$ ; bring down $8$ to make $138$ . Now $138 \div 34$ is about $140 \div 35 = 4$ , so try four times ( $136$ ): remainder $2$ .

\begin{array}{r} 1\,2\,4 \\ 34\overline{\smash{)}\,4\,2\,1\,8} \\ 3\,4\phantom{\,0\,0} \\ \hline 8\,1\phantom{\,0} \\ 6\,8\phantom{\,0} \\ \hline 1\,3\,8 \\ 1\,3\,6 \\ \hline 2 \end{array}

Quotient $124$ , remainder $2$ .

Check: $34 \times 124 + 2 = 4{,}216 + 2 = 4{,}218$ ✓, and $2 < 34$ ✓. The estimate $4{,}200 \div 30 = 140$ is in the neighborhood ✓.

To estimate a quotient digit, round the divisor. In $138 \div 34$ , treating $34$ as $30$ suggests $138 \div 30$ is about $4$ . If the trial product exceeds what is left, lower the digit by one; if the leftover after subtracting is still at least the divisor, raise it by one. Adjusting two or three times is normal, not a failure.

Why you cannot divide by zero

What is $12 \div 0$ ? Division asks a multiplication backwards, so the question is " $0$ times what makes $12$ ?" Since $0$ times anything is $0$ , there is no such number. And $0 \div 0$ ? The question " $0$ times what makes $0$ ?" is answered by every number, so no single value is picked out. Either no answer or too many answers; in both cases no one value can be assigned, so division by $0$ is forbidden. On the other hand, $0 \div 5 = 0$ is perfectly fine, because $5 \times 0 = 0$ .

Reading the quotient and remainder

Finishing the computation does not finish the problem. The situation decides which number is the answer.

If $43$ students ride $20$ -seat buses, then $43 \div 20 = 2 \text{ R } 3$ , and the answer is $3$ buses: the $3$ leftover students need a ride too, so add $1$ to the quotient.
If $43$ pencils are sold in bundles of $10$ , the answer is $4$ bundles; the $3$ leftover pencils do not make a bundle.
If today is Tuesday and you want the day of the week $100$ days from now, then $100 = 7 \times 14 + 2$ and the answer lives in the remainder. Every $7$ days the weekday returns to where it started, so the $14$ weeks can be ignored; moving $2$ days on from Tuesday gives Thursday.

Example 3 · When the remainder is the answer

January 1 falls on a Wednesday this year. If this year has $365$ days, on what day of the week does next January 1 fall?

Solution. $365 = 7 \times 52 + 1$ . After $52$ weeks the weekday is unchanged; the leftover $1$ day pushes it forward by one. Next January 1 is the day after Wednesday: Thursday.

Check: $7 \times 52 = 364$ , and $364 + 1 = 365$ ✓, with remainder $1 < 7$ ✓. You can see this on a real calendar: after a non-leap year, every date moves one weekday later.

Note

Checking always returns to multiplication. Does $(\text{divisor}) \times (\text{quotient}) + (\text{remainder})$ give back the original number? Is the remainder smaller than the divisor? Does the estimate ( $4{,}218 \div 34 \approx 140$ ) agree with the number of digits in the quotient? Make these three questions a habit and long division stops going wrong.