덧셈정리Addition Formulas

검산: $\cos 15°$는 $\cos 0° = 1$과 $\cos 30° \approx 0.866$ 사이 ✓.

Check: $\cos 15°$ sits between $\cos 0° = 1$ and $\cos 30° \approx 0.866$ ✓.

$\cos 15°$와 정확히 같다 — 당연하다: $75°$와 $15°$는 여각($75 + 15 = 90$)이고 $\sin 75° = \cos 15°$. 덧셈정리가 여각 공식과 정합함을 확인한 셈이다.

Exactly $\cos 15°$ — as it must be: $75°$ and $15°$ are complements ($75 + 15 = 90$), so $\sin 75° = \cos 15°$. The addition formulas checking out against the cofunction identity.

$\alpha = \beta = 45°$:

특수값 대입은 공식 암기의 오류 검출기다 — 부호나 자리가 틀리면 즉시 들킨다.

At $\alpha = \beta = 45°$:

Special-value substitution is the memorization error detector — a wrong sign or slot is caught on the spot.

단위원 위의 두 점 $A(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $B(\cos\beta, \sin\beta)$의 현을 두 방법으로 잰다.

직접:

회전 후: 두 점을 원점 중심 $-\beta$ 회전하면 $B$는 $B'(1, 0)$으로, $A$는 각 $\alpha - \beta$의 점 $A'(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta))$로 간다. 회전은 거리를 보존하므로 $\overline{AB} = \overline{A'B'}$이고

두 식을 같다고 놓고 정리하면

증명의 심장은 "회전이 거리를 보존한다"는 기하의 공리적 사실 — 강체변환 단원이 삼각법의 초석 공식을 놓는 자리에 재출연했다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 직접 거리 계산 (1점)
• 회전 논증과 회전 후 거리 (1점)
• 등치·정리 (1점)

Measure the chord between $A(\cos\alpha, \sin\alpha)$ and $B(\cos\beta, \sin\beta)$ two ways.

Directly:

After rotating: rotate both points by $-\beta$ about the origin — $B$ lands at $B'(1, 0)$ and $A$ at the angle-$(\alpha - \beta)$ point $A'(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta))$. Rotation preserves distance, so $\overline{AB} = \overline{A'B'}$, and

Equate and simplify:

The proof's heart is the geometric bedrock "rotation preserves distance" — the rigid motions unit returning to lay trigonometry's cornerstone.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The direct distance computation (1 pt)
• The rotation argument and rotated distance (1 pt)
• Equating and simplifying (1 pt)

$(1)$ 여각 공식 $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$을 쓰면

$(2)$ $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$으로 두 전개를 나누고, 분자·분모를 $\cos\alpha\cos\beta$로 나눈다:

($\cos\alpha\cos\beta \ne 0$, $\tan\alpha\tan\beta \ne 1$에서).

유도의 연쇄가 곧 기억법이다 — 외울 것은 어머니 하나, 나머지는 여각·음각·나눗셈이 그때그때 만들어 준다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 여각 경유 유도 (1점)
• $\cos$ 덧셈 전개 사용 (1점)
• $\tan$ 나눗셈 정리와 조건 (1점)

$(1)$ Via the cofunction identity $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$:

$(2)$ Divide the two expansions as $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$, then divide top and bottom by $\cos\alpha\cos\beta$:

(where $\cos\alpha\cos\beta \ne 0$ and $\tan\alpha\tan\beta \ne 1$).

The derivation chain is the mnemonic — memorize the mother alone; cofunctions, negatives, and division mint the rest on demand.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The cofunction route (1 pt)
• Using the cosine sum expansion (1 pt)
• The tangent division with conditions (1 pt)

빠진 두 값부터 — 1사분면이므로 둘 다 양수:

덧셈 공식:

$3$-$4$-$5$와 $5$-$12$-$13$ — 두 피타고라스 삼각형의 합작이고, $\frac{63}{65} < 1$ ✓.

The missing values first — quadrant I makes both positive:

The addition formula:

The $3$-$4$-$5$ and $5$-$12$-$13$ Pythagorean triangles collaborating — and $\frac{63}{65} < 1$ ✓.

어머니 공식을 거꾸로 읽으면 이 식은 $\cos(75° - 15°)$다:

전개된 꼴을 보고 접힌 꼴을 알아보는 것 — 공식은 양방향 도로다. (정직하게 p01·p02의 값을 대입해도 $\frac{\sqrt6-\sqrt2}4 \cdot \frac{\sqrt6+\sqrt2}4 \times 2 = \frac{4}{16} \times 2 = \frac12$ ✓.)

Read backwards, the mother formula says this is $\cos(75° - 15°)$:

Recognizing the folded form inside the expanded one — formulas are two-way roads. (The honest substitution of p01–p02's values agrees: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}4 \cdot \frac{\sqrt6+\sqrt2}4 \times 2 = \frac4{16} \times 2 = \frac12$ ✓.)

유도: 경사각을 $\theta_1$, $\theta_2$라 하면 $m_i = \tan\theta_i$이고, 두 직선 사이 각은 $|\theta_1 - \theta_2|$(예각 기준 절댓값):

적용:

기울기 $2$와 $-3$ — 눈으로는 짐작하기 어려운 사이각이 공식 한 줄로 $45°$임이 드러난다.

Derivation: with inclinations $\theta_1$, $\theta_2$, slopes are $m_i = \tan\theta_i$, and the angle between the lines is $|\theta_1 - \theta_2|$ (absolute value for the acute one):

Application:

Slopes $2$ and $-3$ — an angle no eye would guess is revealed as $45°$ by one line of formula.

경사각 $\theta_1$, $\theta_2$ ($m_i = \tan\theta_i$, 어느 쪽도 수직선이 아닐 때)에 대해, 두 직선이 수직이라는 것은 $\theta_1 - \theta_2 = \pm 90°$라는 것이다.

($\Leftarrow$) $1 + m_1m_2 = 0$이면 $\tan(\theta_1 - \theta_2)$의 분모가 $0$, 분자 $m_1 - m_2 \ne 0$($m_1 = m_2$면 $1 + m_1^2 = 0$ — 불가능): $\tan$이 정의되지 않는 각, 곧 $\theta_1 - \theta_2 = \pm90°$ — 수직이다.

($\Rightarrow$) 수직이면 $\theta_1 = \theta_2 + 90°$ (부호 무방) — 그러면

($\tan(\theta + 90°) = -\cot\theta$: 대칭 공식) — 곧 $m_1 m_2 = -1$. $\blacksquare$

대수 1의 "회전한 기울기 삼각형" 논증, 기하의 변환 논증에 이어 세 번째 증명이다 — 같은 진실에 닿는 길이 늘어나는 것이 이론이 자란다는 뜻이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 수직 ⟺ 각차 $90°$ 번역 (1점)
• 분모 $0$ 방향 (1점)
• $\tan(\theta+90°)$ 방향 (1점)

With inclinations $\theta_1$, $\theta_2$ ($m_i = \tan\theta_i$, neither line vertical), perpendicularity means $\theta_1 - \theta_2 = \pm 90°$.

($\Leftarrow$) If $1 + m_1m_2 = 0$, the denominator of $\tan(\theta_1 - \theta_2)$ vanishes while the numerator $m_1 - m_2 \ne 0$ (equal slopes would force $1 + m_1^2 = 0$ — impossible): the tangent is undefined, so $\theta_1 - \theta_2 = \pm90°$ — perpendicular.

($\Rightarrow$) If perpendicular, $\theta_1 = \theta_2 + 90°$ (sign immaterial) — then

(using $\tan(\theta + 90°) = -\cot\theta$, a symmetry formula) — i.e. $m_1 m_2 = -1$. $\blacksquare$

After Algebra 1's rotated slope triangle and geometry's transformation argument, this is the third proof — truths gaining new roads is what a growing theory means.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Translating perpendicularity to a $90°$ angle gap (1 pt)
• The zero-denominator direction (1 pt)
• The $\tan(\theta+90°)$ direction (1 pt)

합·차 공식으로 전개하면 합차 공식(곱셈 공식!)의 꼴이 된다:

피타고라스로 $\cos^2 = 1 - \sin^2$을 두 번 교환하면

($\sin^2\alpha\sin^2\beta$가 상쇄된다.) 검산: $\alpha = 90°, \beta = 30°$에서 좌변 $\sin120°\sin60° = \frac{\sqrt3}2 \cdot \frac{\sqrt3}2 = \frac34$, 우변 $1 - \frac14 = \frac34$ ✓.

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ — 곱셈 공식의 뼈대 위에 덧셈정리와 피타고라스가 살을 붙인 항등식이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 공식 전개와 합차 곱 (1점)
• 피타고라스 교환 (1점)
• 정리·검산 (1점)

Expanding by the sum and difference formulas produces a difference-of-squares shape:

Trade $\cos^2 = 1 - \sin^2$ twice via Pythagoras:

(The $\sin^2\alpha\sin^2\beta$ terms cancel.) Check: $\alpha = 90°, \beta = 30°$: left $\sin120°\sin60° = \frac34$, right $1 - \frac14 = \frac34$ ✓.

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ — the multiplication formula's skeleton, fleshed out by the addition formulas and Pythagoras.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Both expansions and the difference-of-squares product (1 pt)
• The Pythagorean trades (1 pt)
• Simplification and check (1 pt)

$\alpha + \beta = \pi - \gamma$이므로 양변에 $\tan$:

($\pi$ 빼기 공식). 좌변을 덧셈 공식으로 열면

분모를 넘겨 정리한다:

검산(정삼각형): $\tan 60° \times 3 = 3\sqrt3$, 곱 $(\sqrt3)^3 = 3\sqrt3$ ✓.

"합 $=$ 곱"이라는 희귀한 등식 — 각의 합이 $\pi$라는 삼각형의 제약 하나가 만들어 내는 관계이고, 경시에서 삼각형 각 문제의 단골 열쇠다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\tan(\alpha+\beta) = -\tan\gamma$ (1점)
• 덧셈 공식 전개 (1점)
• 이항 정리 (1점)

Since $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, take tangents:

(the $\pi$-minus formula). Open the left side:

Clear the denominator and collect:

Check (equilateral): $3\tan 60° = 3\sqrt3$ and $(\sqrt3)^3 = 3\sqrt3$ ✓.

The rare equation "sum $=$ product" — born of the single constraint that a triangle's angles total $\pi$, and a staple key for contest problems about triangle angles.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• $\tan(\alpha+\beta) = -\tan\gamma$ (1 pt)
• The addition-formula expansion (1 pt)
• The rearrangement (1 pt)

$5\theta = 180°$이므로 $2\theta = 180° - 3\theta$ — 양변에 $\sin$을 취하면 $\sin(180° - x) = \sin x$로

전개 — 좌변은 덧셈정리로 $2\sin\theta\cos\theta$; 우변은 $\sin(2\theta + \theta)$를 열어

(마지막에 $\sin^2 = 1 - \cos^2$ 교환; $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$는 덧셈정리의 $\alpha = \beta$ 특수화 — 다음 차시의 배각이다).

$\sin\theta \ne 0$이므로 나누면