삼각함수의 합성Combining a sin θ + b cos θ

$a = b = 1$: $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$, $\varphi$는 점 $(1, 1)$의 방향각 $45°$:

검산: $\theta = 45°$에서 $\frac{\sqrt2}2 + \frac{\sqrt2}2 = \sqrt2$ ✓.

$a = b = 1$: $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$, and $\varphi$ is the direction angle of $(1, 1)$, namely $45°$:

Check: at $\theta = 45°$, $\frac{\sqrt2}2 + \frac{\sqrt2}2 = \sqrt2$ ✓.

$3 + 4 = 7$이 아니다 — 두 파동은 동시에 정점을 찍지 않는다.

Not $3 + 4 = 7$ — the two waves never peak together.

$R = \sqrt{3 + 1} = 2$; $\varphi$는 점 $(\sqrt3, 1)$의 방향각 — $\cos\varphi = \frac{\sqrt3}2$, $\sin\varphi = \frac12$로 $\varphi = 30°$:

검산($\theta = 60°$): 좌변 $\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}2 + \frac12 = 2$, 우변 $2\sin 90° = 2$ ✓.

$R = \sqrt{3 + 1} = 2$; $\varphi$ is the direction angle of $(\sqrt3, 1)$ — $\cos\varphi = \frac{\sqrt3}2$, $\sin\varphi = \frac12$, so $\varphi = 30°$:

Check ($\theta = 60°$): left $\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}2 + \frac12 = 2$, right $2\sin 90° = 2$ ✓.

덧셈정리로 우변을 전개하면

— 모든 $\theta$에서 좌변과 같으려면 계수가 맞아야 한다:

존재: 두 식을 제곱해 더하면 $a^2 + b^2 = R^2$ — $R = \sqrt{a^2+b^2} > 0$으로 확정. 그러면 $\left(\frac aR\right)^2 + \left(\frac bR\right)^2 = 1$이므로 $\left(\frac aR, \frac bR\right)$은 단위원 위의 점이고, 단위원의 모든 점은 어떤 각의 $(\cos, \sin)$ 좌표다 — 그 각을 $\varphi$로 잡으면 두 계수 조건이 동시에 성립한다. $\blacksquare$

(역방향 확인: 이 $R$, $\varphi$로 전개를 되짚으면 좌변이 복원된다 — 항등식이다.)

증명이 곧 계산법이다: $R$은 피타고라스, $\varphi$는 점 $(a, b)$의 방향각 — 계수의 순서쌍을 좌표평면에 찍는 순간 두 상수가 그림에서 읽힌다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 전개와 계수 비교 (1점)
• $R$ 확정 (1점)
• $\varphi$ 존재(단위원 논증) (1점)

Expand the right side by the addition formula:

— matching the left side for all $\theta$ requires the coefficients to agree:

Existence: squaring and adding gives $a^2 + b^2 = R^2$ — fixing $R = \sqrt{a^2+b^2} > 0$. Then $\left(\frac aR\right)^2 + \left(\frac bR\right)^2 = 1$, so $\left(\frac aR, \frac bR\right)$ sits on the unit circle — and every unit-circle point is some angle's $(\cos, \sin)$ pair. Take that angle as $\varphi$, and both coefficient conditions hold at once. $\blacksquare$

(Converse check: rerunning the expansion with this $R$, $\varphi$ restores the left side — an identity.)

The proof is the recipe: $R$ by Pythagoras, $\varphi$ as the direction angle of $(a, b)$ — plot the coefficient pair, and both constants read off the picture.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Expansion and coefficient matching (1 pt)
• Fixing $R$ (1 pt)
• Existence of $\varphi$ (unit-circle argument) (1 pt)

합성: $R = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\varphi$는 점 $(1, -\sqrt3)$의 방향각 $-60°$:

$\theta - 60° \in [-60°, 300°)$에서 $\sin = \frac12$인 각: $30°$, $150°$ —

검산: $\theta = 90°$: $1 - 0 = 1$ ✓; $\theta = 210°$: $-\frac12 - \sqrt3 \cdot \left(-\frac{\sqrt3}2\right) = -\frac12 + \frac32 = 1$ ✓.

합성 → 표준 방정식 → 범위 조정 — 세 걸음의 조립이다.

Combine: $R = \sqrt{1 + 3} = 2$, with $\varphi$ the direction angle of $(1, -\sqrt3)$, namely $-60°$:

For $\theta - 60° \in [-60°, 300°)$, sine equals $\frac12$ at $30°$ and $150°$ —

Check: $\theta = 90°$: $1 - 0 = 1$ ✓; $\theta = 210°$: $-\frac12 + \frac32 = 1$ ✓.

Combine → standard equation → adjust the window: a three-step assembly.

합성하면 좌변은 $\sqrt{13}\sin(\theta + \varphi)$ — 치역이 $[-\sqrt{13}, \sqrt{13}]$이다.

이므로 우변이 치역 밖 — 해가 없다.

일반 판정: $a\sin\theta + b\cos\theta = c$의 해 존재 $\iff |c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$. 파동의 키($R$)를 넘는 요구는 이루어지지 않는다 — 방정식을 풀기 전에 존재부터 판정하는 습관의 삼각함수판이다.

Combined, the left side is $\sqrt{13}\sin(\theta + \varphi)$ — range $[-\sqrt{13}, \sqrt{13}]$.

so the right side lies outside the range — no solution.

The general criterion: $a\sin\theta + b\cos\theta = c$ is solvable $\iff |c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$. Demands taller than the wave ($R$) go unmet — the trigonometric edition of judging existence before solving.

합성으로

— $\sin(\cdot) \in [-1, 1]$이므로

합성이 만든 "진폭 $\sqrt2$, 중심선 $1$"의 파동 — 변환 문법(중심선 $\pm$ 진폭)이 그대로 마무리한다.

Combining,

— and $\sin(\cdot) \in [-1, 1]$ gives

A wave of amplitude $\sqrt2$ about midline $1$ — the transformation grammar (midline $\pm$ amplitude) finishes it.

계수 조건 $a = R\cos\varphi$, $b = R\sin\varphi$는 정확히 "점 $(a, b)$가 원점에서 거리 $R$, 방향각 $\varphi$에 있다"는 문장이다:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — 원점에서 $(a, b)$까지의 거리(피타고라스)
• $\varphi$ — 양의 $x$축에서 $(a, b)$를 바라본 각(사분면 부호까지 좌표가 정한다)

곧 합성이란 계수 쌍 $(a, b)$를 직교좌표에서 극좌표 $(R, \varphi)$로 바꿔 읽는 것이다. $(3, 4)$라면 거리 $5$, 방향각 $\tan\varphi = \frac43$인 예각 — 그래서 $5\sin(\theta + \varphi)$.

이 관점은 다음 단원의 두 주인공을 예고한다 — 평면의 점을 $(r, \theta)$로 쓰는 극좌표, 그리고 복소수 $a + bi$를 크기와 각으로 쓰는 극형식. 합성 정리는 그 세계의 첫 문장인 셈이다.

The coefficient conditions $a = R\cos\varphi$, $b = R\sin\varphi$ say precisely "the point $(a, b)$ lies at distance $R$, direction angle $\varphi$, from the origin":

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — the distance to $(a, b)$ (Pythagoras)
• $\varphi$ — the angle at which $(a, b)$ is seen from the positive $x$-axis (its coordinates fixing even the quadrant signs)

Combination, then, is re-reading the coefficient pair $(a, b)$ from rectangular into polar $(R, \varphi)$. For $(3, 4)$: distance $5$, direction the acute angle with $\tan\varphi = \frac43$ — hence $5\sin(\theta + \varphi)$.

The viewpoint previews the next unit's two protagonists — polar coordinates, writing plane points as $(r, \theta)$, and the polar form of complex numbers $a + bi$ as magnitude and angle. The combination theorem is that world's opening sentence.

제곱 낮추기와 배각으로 $2\theta$의 식을 만든 뒤 합성하라.

Use power reduction and the double angle to write everything in $2\theta$, then combine.

제곱 낮추기와 배각으로 각을 $2\theta$로 통일한다:

괄호를 합성: $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$, $\varphi = -45°$ —

최대는 $\sin(\cdot) = 1$일 때:

검산: $2\theta - 45° = 90°$, 곧 $\theta = 67.5°$에서 수치 계산 $\sin^2 67.5° + \sin 67.5°\cos 67.5° \approx 0.854 + 0.354 = 1.207$ ✓.

제곱 낮추기(각 통일) → 합성(파동 하나로) — 두 차시의 도구가 이어 달리는 표준 조립이다.

Unify the angle to $2\theta$ by power reduction and the double angle:

Combine the bracket: $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$, $\varphi = -45°$ —

The maximum comes at $\sin(\cdot) = 1$:

Check: at $2\theta - 45° = 90°$, i.e. $\theta = 67.5°$, numerically $\sin^2 67.5° + \sin 67.5°\cos 67.5° \approx 0.854 + 0.354 = 1.207$ ✓.

Power reduction (unify the angle) → combination (fold to one wave) — two lessons' tools running a relay: the standard assembly.

둘째 파동을 덧셈정리로 전개한다:

합치면

— $a\sin x + b\cos x$ 꼴이다. 합성 정리로 이것은

— 주기 $2\pi$의 사인파 하나다. $\blacksquare$

(전개하면 $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\delta$ — 위상차 $\delta$가 $0$이면 $R = A + B$(보강), $\pi$면 $R = |A - B|$(상쇄): 파동 간섭의 공식이 덤으로 나왔다.)

몇 개를 더해도 같은 논증이 반복된다 — 같은 주기의 사인파들은 덧셈에 대해 닫혀 있다: 소리 합성과 교류 회로의 수학적 기초다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 전개로 $a\sin + b\cos$ 꼴 (1점)
• 합성 정리 적용 (1점)
• 결론(+간섭 관찰 환영) (1점)

Expand the second wave by the addition formula:

Adding,

— the $a\sin x + b\cos x$ shape. By the combination theorem this is

— a single sine wave of period $2\pi$. $\blacksquare$

(Expanding, $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\delta$ — phase gap $\delta = 0$ gives $R = A + B$ (reinforcement), $\delta = \pi$ gives $R = |A - B|$ (cancellation): the wave-interference formula, free of charge.)

Any number of summands repeats the argument — same-period sine waves are closed under addition: the mathematical basis of sound mixing and AC circuits.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Expansion into $a\sin + b\cos$ (1 pt)
• Applying the combination theorem (1 pt)
• Conclusion (interference remark welcome) (1 pt)

합성으로: 점과 직선 사이 거리 공식으로

$5\sin(\cdot) \in [-5, 5]$이므로 분자의 최솟값은 $10 - 5 = 5$:

기하로: 원의 중심(원점)에서 직선까지 거리는 $\frac{10}{5} = 2$ — 반지름 $1$인 원 위의 점이니 최단 거리는 $2 - 1 = 1$ ✓.

두 길이 같은 답 — 합성은 "원 위의 점"이라는 매개변수 조건을 파동 하나로 접었고, 기하는 그림 한 장으로 끝냈다. 어느 쪽이든 쓸 수 있게 두 손에 들고 있는 것이 실력이다.

By combination: the point-line distance formula gives

Since $5\sin(\cdot) \in [-5, 5]$, the numerator bottoms out at $10 - 5 = 5$:

By geometry: the distance from the circle's center (origin) to the line is $\frac{10}{5} = 2$ — for points on a radius-$1$ circle, the shortest distance is $2 - 1 = 1$ ✓.

Two roads, one answer — combination folded the "point on a circle" parametrization into a single wave; geometry finished with one picture. Skill is holding both.

$t = \sin\theta + \cos\theta$로 치환하면 $t$의 삼차식 — 그리고 $t$의 범위는 합성이 준다.

Substitute $t = \sin\theta + \cos\theta$ for a cubic in $t$ — whose range combination supplies.

$t = \sin\theta + \cos\theta$로 치환하면 $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$(제곱 트릭)이고, 세제곱 합 공식으로

$t$의 범위는 합성에서: $t = \sqrt2\sin(\theta + 45°) \in [-\sqrt2, \sqrt2]$.

최대 판정 — 인수분해로:

— 항상 $f(t) \le 1$이고 등호는 $t = 1$: 범위 안이다($|1| \le \sqrt2$ ✓).

치환(대칭식) → 합성(범위) → 인수분해(최대 증명) — 미분 없이 삼차식의 최대를 못 박는 세 도구의 협연이다. $(t-1)^2$이 등호점을, $(t+2)$가 부호를 맡았다.

With $t = \sin\theta + \cos\theta$, the squaring trick gives $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$, and the sum-of-cubes formula:

The range of $t$ comes from combination: $t = \sqrt2\sin(\theta + 45°) \in [-\sqrt2, \sqrt2]$.

Judging the maximum — by factoring:

— always $f(t) \le 1$, equality at $t = 1$, which lies in range ($|1| \le \sqrt2$ ✓).

Substitution (symmetric functions) → combination (the range) → factoring (the proof of maximality) — three tools in concert nailing a cubic's maximum without calculus. The $(t-1)^2$ carries the equality point; the $(t+2)$, the sign.

뒤의 두 항을 덧셈정리로 전개한다:

셋을 더하면

$\sin$의 계수도 $\cos$의 계수도 정확히 $0$ — 세 파동이 모든 순간 상쇄된다.

이것이 삼상 교류의 수학이다: $120°$씩 어긋난 세 전력 파동의 합이 항상 $0$이라, 세 가닥의 귀환 전류가 서로를 지워 중립선에 전류가 거의 흐르지 않는다 — 전선 하나를 아끼는 송전 방식의 근거가 이 두 줄 계산이다. (기하로는: 단위원에 $120°$ 간격으로 선 세 점 — 정삼각형의 꼭짓점들 — 의 무게중심이 원점이라는 말과 같다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 전개 (1점)
• 계수 소멸 확인 (1점)
• 결론(기하/응용 해석 환영) (1점)

Expand the latter two terms:

Sum all three:

Both coefficients vanish exactly — the three waves cancel at every instant.

This is three-phase power's mathematics: three waves offset by $120°$ always sum to zero, so the three return currents erase one another and the neutral wire carries almost nothing — the two-line computation behind a transmission scheme that saves a conductor. (Geometrically: three unit-circle points spaced $120°$ — an equilateral triangle's vertices — have their centroid at the origin.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The two expansions (1 pt)
• The vanishing coefficients (1 pt)
• Conclusion (geometric/applied reading welcome) (1 pt)