사인법칙과 코사인법칙Laws of Sines & Cosines

사인법칙:

큰 각($45° > 30°$) 맞은편이 더 긴 변 ✓.

The law of sines:

The larger angle ($45° > 30°$) faces the longer side ✓.

SAS — 코사인법칙:

검산: $5 < \sqrt{39} < 7$ — 끼인각이 $60°$($< 90°$)라 최장변보다 짧다 ✓.

SAS — the law of cosines:

Check: $5 < \sqrt{39} < 7$ — with the included angle at $60°$ ($< 90°$), $c$ stays below the longest side ✓.

같은 두 변으로 낼 수 있는 최대 넓이는 $C = 90°$의 $24$ — $30°$는 그 절반이다($\sin 30° = \frac12$).

The most these two sides could enclose is $24$ at $C = 90°$ — and $30°$ delivers half ($\sin 30° = \frac12$).

외접원에서 $B$를 지나는 지름 $\overline{BD}$를 긋는다.

• 원주각 정리: $\angle BDC$와 $\angle BAC$는 같은 호 $BC$ 위의 원주각 — $\angle BDC = A$.
• 탈레스: $\overline{BD}$가 지름이므로 $\angle BCD = 90°$.

직각삼각형 $BCD$에서 빗변이 $2R$, $\angle BDC = A$의 대변이 $a$이므로

$b$, $c$도 지름을 옮겨 그으면 같은 논증 — 세 비가 모두 $2R$이다.

둔각의 경우: $A > 90°$이면 $D$가 호의 반대쪽에 놓여 $\angle BDC = 180° - A$(내접사각형의 대각)가 되지만, $\sin(180° - A) = \sin A$이므로 결론은 같다 — 보각 공식이 갈래를 봉합한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 지름 보조선과 원주각 (1점)
• 탈레스 직각과 사인 계산 (1점)
• 둔각 갈래 처리 (1점)

Draw the diameter $\overline{BD}$ of the circumcircle through $B$.

• Inscribed angles: $\angle BDC$ and $\angle BAC$ subtend the same arc $BC$ — so $\angle BDC = A$.
• Thales: $\overline{BD}$ is a diameter, so $\angle BCD = 90°$.

In right triangle $BCD$, the hypotenuse is $2R$ and the side opposite $\angle BDC = A$ is $a$:

Redrawing the diameter serves $b$ and $c$ — all three ratios equal $2R$.

The obtuse case: for $A > 90°$, $D$ falls on the other arc and $\angle BDC = 180° - A$ (opposite angles of a cyclic quadrilateral) — but $\sin(180° - A) = \sin A$, so the conclusion stands: the supplement identity seals the branch.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The diameter auxiliary and inscribed angle (1 pt)
• Thales' right angle and the sine computation (1 pt)
• Handling the obtuse branch (1 pt)

$C$를 원점에, $B = (a, 0)$으로 놓는다. 각 $C$의 방향으로 거리 $b$만큼 간 점이 $A$이므로

(단위원 정의를 반지름 $b$로 확장한 좌표). 거리 공식으로

$C = 90°$: $\cos C = 0$ — $c^2 = a^2 + b^2$, 피타고라스 정리다. 코사인법칙은 직각에서 벗어난 만큼($\cos C$)을 $-2ab\cos C$로 정산하는 피타고라스의 일반화이고, 이 증명 자체가 "좌표 놓기 → 거리 공식 → 피타고라스 항등식"의 세 걸음 — 좌표기하의 표준 문법이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 좌표 설정($A$의 좌표) (1점)
• 거리 공식 전개와 항등식 (1점)
• 피타고라스 환원 (1점)

Place $C$ at the origin and $B = (a, 0)$. The point at distance $b$ in the direction of angle $C$ is

(the unit-circle definition scaled to radius $b$). The distance formula:

At $C = 90°$: $\cos C = 0$ — $c^2 = a^2 + b^2$, the Pythagorean theorem. The law of cosines is Pythagoras generalized, billing the departure from rightness ($\cos C$) as $-2ab\cos C$ — and the proof itself is the standard coordinate-geometry grammar: place coordinates → distance formula → Pythagorean identity.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The coordinate setup ($A$'s coordinates) (1 pt)
• Distance-formula expansion and the identity (1 pt)
• The Pythagorean reduction (1 pt)

가장 큰 각은 최장변 $c = 9$의 대각 $C$ — 코사인법칙을 각에 대해 풀면

$\cos C = \frac27 > 0$ — 최대각이 예각이므로 세 각 모두 예각: 예각삼각형이다.

판정 요령: $a^2 + b^2$ vs $c^2$의 대소가 곧 최대각의 예·직·둔이다($113 > 81$ — 예각 ✓). 피타고라스 "등식"이 부등식 판정기로 확장된 것.

The largest angle $C$ faces the longest side $c = 9$ — solve the law of cosines for the angle:

$\cos C = \frac27 > 0$ — the largest angle is acute, hence all three are: an acute triangle.

The quick test: comparing $a^2 + b^2$ with $c^2$ classifies the largest angle ($113 > 81$ — acute ✓). Pythagoras's equation, extended into an inequality classifier.

사인법칙의 $2R$ 판:

변 하나와 그 대각만으로 외접원이 결정된다 — 같은 호를 보는 원주각이 모두 같다는 정리의 정량 버전이다(그 호를 보는 각이 $30°$인 현 $6$짜리 원은 하나뿐).

The $2R$ face of the law of sines:

One side and its opposite angle pin the circumcircle — the quantitative version of "inscribed angles on one arc agree" (only one circle lets a chord of $6$ subtend $30°$).

공식 — 변 $b$($\overline{CA}$)를 밑변으로 삼자. 꼭짓점 $B$에서 밑변까지의 높이는, $C$에서 $B$까지의 거리 $a$와 끼인각 $C$로

($C$가 둔각이어도 $\sin C > 0$이라 그대로 성립). 그러므로

사인법칙 재유도 — 밑변을 바꿔 세 번 쓰면 모두 같은 넓이:

($b$로 약분). 나머지 쌍도 같다 — 넓이의 세 표기가 곧 사인법칙이다: 외접원 없이도 비의 상등까지는 닿는 두 번째 증명($2R$이라는 공통값의 정체는 원 증명의 몫).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 높이 $= a\sin C$ (1점)
• 공식 완성 (1점)
• 상등에서 사인법칙 (1점)

The formula — take side $b$ ($\overline{CA}$) as base. The height from $B$, via the distance $a$ from $C$ and the included angle $C$, is

(valid even for obtuse $C$, where $\sin C > 0$ still). Hence

The law of sines again — rotating the base gives one area three ways:

(cancelling $b$). The other pair follows likewise — the three area expressions are the law of sines: a second proof reaching the equality of ratios without the circle (the common value's identity, $2R$, remains the circle proof's share).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Height $= a\sin C$ (1 pt)
• Completing the formula (1 pt)
• The law of sines from the equalities (1 pt)

사인법칙으로

$\sin B = \frac23$인 $B$는 둘: $B_1 \approx 41.8°$와 $B_2 = 180° - B_1 \approx 138.2°$.

각의 합 검사: $A + B_1 \approx 71.8° < 180°$ ✓; $A + B_2 \approx 168.2° < 180°$ ✓ — 둘 다 통과: 서로 다른 삼각형 두 개가 존재한다(제3각이 각각 $\approx 108.2°$, $\approx 11.8°$).

SSA가 합동 조건에서 탈락했던 이유의 실물이다 — 두 변과 끼이지 않은 각은 삼각형을 하나로 못 박지 못한다. ($b\sin A = 4 < a = 6 < b = 8$인 배치가 정확히 "두 개" 구간이다: 흔든 변 $a$가 밑변과 두 번 만난다.)

By the law of sines,

Two angles have $\sin B = \frac23$: $B_1 \approx 41.8°$ and $B_2 = 180° - B_1 \approx 138.2°$.

Angle-sum test: $A + B_1 \approx 71.8° < 180°$ ✓; $A + B_2 \approx 168.2° < 180°$ ✓ — both pass: two distinct triangles exist (third angles $\approx 108.2°$ and $\approx 11.8°$).

The reason SSA failed as a congruence criterion, in the flesh — two sides and a non-included angle cannot pin one triangle. (The configuration $b\sin A = 4 < a = 6 < b = 8$ is exactly the "two triangles" window: the swinging side $a$ crosses the base line twice.)

제3각: $\angle ATB = 180° - 75° - 60° = 45°$. 사인법칙으로 ($\overline{AT}$의 대각은 $\angle TBA = 60°$):

강을 건너지 않고 — 자로 잰 것은 기선 $100\,\mathrm m$뿐, 나머지는 각도기와 사인법칙이 했다. 삼각측량(triangulation)의 원형이고, 지도 제작과 GPS 이전 측지학의 뼈대다.

Third angle: $\angle ATB = 180° - 75° - 60° = 45°$. The law of sines (the side $\overline{AT}$ faces $\angle TBA = 60°$):

No river crossed — the only length taped was the $100\,\mathrm m$ baseline; protractor and law of sines did the rest. The prototype of triangulation, the skeleton of mapmaking and pre-GPS geodesy.

두 대각선은 끼인각 $60°$와 그 보각 $120°$를 마주 본다 — 코사인법칙 두 번:

평행사변형 법칙 확인:

일반 증명도 두 줄이다 — $\cos 60°$와 $\cos 120°$가 부호만 반대라 $\mp 2ab\cos\theta$ 항이 상쇄된다: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$. 보각의 코사인이 서로를 지우는 것 — 코사인법칙이 기하 정리를 낳는 표본이다.

The diagonals face the included angle $60°$ and its supplement $120°$ — the law of cosines twice:

The parallelogram law checks:

The general proof is two lines — $\cos 60°$ and $\cos 120°$ differ only in sign, so the $\mp 2ab\cos\theta$ terms cancel: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$. Supplementary cosines erasing each other — a specimen of the law of cosines breeding geometric theorems.

사인법칙으로 변을 각으로 바꾸면 배각이 나타난다.

Trade sides for angles via the law of sines — a double angle appears.

사인법칙 $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$를 대입하면($2R$ 약분)

(배각 공식). $\sin$이 같은 두 각의 관계는 둘 중 하나다:

• $2A = 2B$ — 곧 $A = B$: 이등변삼각형 ($a = b$)
• $2A = 180° - 2B$ — 곧 $A + B = 90°$: $C = 90°$의 직각삼각형

(두 경우 밖의 해는 $A$, $B$가 삼각형 내각($0°$~$180°$, 합 $< 180°$)이라는 제약이 배제한다.) $\blacksquare$

검산: 정삼각형($A = B = 60°$)은 첫째 경우 ✓; $3$-$4$-$5$ 직각삼각형은 $a\cos A = 3 \cdot \frac45 = 2.4 = b\cos B = 4 \cdot \frac35$ ✓ — 둘째 경우.

"조건 하나, 결론 둘"의 구조는 $\sin$의 보각 대칭이 낳은 것 — 방정식 $\sin x = \sin y$의 두 가족이 삼각형의 두 유형으로 번역됐다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 사인법칙 대입과 배각 (1점)
• $\sin 2A = \sin 2B$의 두 갈래 (1점)
• 각 갈래의 기하 번역 (1점)

Substitute $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$ (the $2R$ cancels):

(double angle). Two angles share a sine in one of two ways:

• $2A = 2B$ — i.e. $A = B$: isosceles ($a = b$)
• $2A = 180° - 2B$ — i.e. $A + B = 90°$: right, with $C = 90°$

(other branches are excluded by $A$, $B$ being triangle angles — in $(0°, 180°)$ with sum $< 180°$). $\blacksquare$

Checks: an equilateral triangle ($A = B = 60°$) is the first case ✓; the $3$-$4$-$5$ right triangle gives $a\cos A = 3 \cdot \frac45 = 2.4 = b\cos B = 4 \cdot \frac35$ ✓ — the second.

The "one hypothesis, two conclusions" structure is sine's supplement symmetry at work — the two families of $\sin x = \sin y$, translated into two types of triangle.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The law-of-sines substitution and double angle (1 pt)
• The two branches of $\sin 2A = \sin 2B$ (1 pt)
• The geometric translation of each (1 pt)

$c = 15$의 대각 $C$부터($a = 13$, $b = 14$):

피타고라스로 $\sin C = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$ (삼각형 내각이라 $\sin > 0$ — $5$-$12$-$13$이 나타났다!). 넓이:

검산(헤론): $s = 21$, $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ ✓.

$13$-$14$-$15$는 넓이까지 정수인 유명한 삼각형 — $\cos C = \frac5{13}$에서 $5$-$12$-$13$ 직각삼각형이 튀어나오며 계산 전체가 정수로 떨어진다(실은 높이 $12$가 삼각형을 $5$-$12$-$13$과 $9$-$12$-$15$로 가른다). 코사인법칙 → 피타고라스 → 넓이의 3단이 헤론과 같은 답에 닿는 것으로 두 이론의 정합이 확인된다.

Start with $C$ opposite $c = 15$ (so $a = 13$, $b = 14$):

Pythagoras gives $\sin C = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$ (positive — a triangle angle; and $5$-$12$-$13$ has appeared!). The area:

Check (Heron): $s = 21$, $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ ✓.

The $13$-$14$-$15$ triangle is the famous one with integer everything — $\cos C = \frac5{13}$ surfaces the $5$-$12$-$13$ right triangle and the whole computation lands on integers (indeed the height $12$ splits it into $5$-$12$-$13$ and $9$-$12$-$15$). The three-step cosines → Pythagoras → area meeting Heron's answer certifies the two theories' agreement.