평균변화율Average Rate of Change

— 점 $(1, 1)$과 $(3, 9)$를 잇는 할선의 기울기다.

— the slope of the secant through $(1, 1)$ and $(3, 9)$.

일차함수의 그래프는 직선 — 할선이 곧 그 직선 자신이므로 구간이 어디든 기울기 $2$다. "평균변화율이 상수"가 일차함수의 정체이고, p04에서 역도 증명한다.

A linear graph is a line — every secant is the line itself, so the slope is $2$ on any interval. "Constant average rate" is what linearity means; p04 proves the converse too.

성장이 가속 중 — 변화율이 커지는 것(아래로 볼록)을 데이터가 보여 준다. 공식이 없어도 표만으로 계산되는 것이 평균변화율의 실용성이다.

Growth is accelerating — the data shows increasing rates (concave up). No formula needed, just the table: the practical face of average rates.

아무 기준점 하나를 고르자 — $0$과 임의의 $x \ne 0$에 조건을 적용하면

— $c = f(0)$으로 두면 모든 $x \ne 0$에서 $f(x) = mx + c$이고, $x = 0$에서도 $f(0) = c$로 성립한다. $\blacksquare$

역은 p02에서 확인했으므로 두 방향이 완성됐다:

"기울기 하나로 정해지는 함수"라는 직선의 정체가 변화율의 언어로 다시 진술된 것 — 앞으로 각 가족을 변화율 무늬로 식별하는 첫 사례다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 기준점 고정과 조건 적용 (1점)
• $f(x) = mx + f(0)$ 도출 (1점)
• 모든 $x$에서의 성립 확인 (1점)

Fix one anchor — apply the hypothesis to $0$ and an arbitrary $x \ne 0$:

— setting $c = f(0)$, we get $f(x) = mx + c$ for all $x \ne 0$, and at $x = 0$ it reads $f(0) = c$, also true. $\blacksquare$

With the converse checked in p02, both directions stand:

The line's identity — a function determined by one slope — restated in the language of rates: the first instance of identifying families by their rate patterns.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Anchoring and applying the hypothesis (1 pt)
• Deriving $f(x) = mx + f(0)$ (1 pt)
• Verifying for all $x$ (1 pt)

$n = 0, 1, 2, \dots$를 넣으면 $1, 3, 5, \dots$ — 홀수의 행렬, 공차 $2$인 등차수열이다.

이차함수의 변화율이 일차식($2n+1$)인 것 — 한 층 미분하면 차수가 하나 내려간다는 미적분의 예고이고, "$n^2$은 홀수들의 합"이라던 수열 단원의 그림 증명과 같은 사실의 다른 얼굴이다(변화율을 다시 쌓으면 원함수).

Substituting $n = 0, 1, 2, \dots$: $1, 3, 5, \dots$ — the parade of odds, arithmetic with difference $2$.

A quadratic's rate being linear ($2n+1$) previews calculus — each level of differencing drops the degree by one — and it is the other face of the sequences unit's picture proof that $n^2$ is a sum of odds (stack the rates back up and the function returns).

변화율이 함숫값 그 자체 — 클수록 더 빨리 자라는, "성장 속도가 몸집에 비례"하는 지수함수의 정체가 변화율 언어로 진술됐다. (밑이 $a$면 변화율은 $(a-1)a^n$ — 여전히 자신에 비례하고, 비례상수가 정확히 $1$이 되는 특별한 밑이 존재한다: 다음 단원의 $e$다.)

The rate is the value — the exponential's identity, "growth speed proportional to size," restated in rate language. (Base $a$ gives rate $(a-1)a^n$ — still self-proportional, and one special base makes the constant exactly $1$: next unit's $e$.)

$(1)$ 1계 차분: $1, 3, 5, 7$ — 일정하지 않다. 2계 차분: $2, 2, 2$ — 일정: 이차형이다. (실제로 $x^2 + 2$가 맞는다 ✓.)

$(2)$ 차분: $10, 30, 90, 270$ — 원래 수열의 $2$배씩, 그리고 이웃 비가 $\dfrac{15}5 = \dfrac{45}{15} = 3$으로 일정: 지수형이다. ($5 \cdot 3^x$ ✓.)

차분표 두 줄이면 모델의 가족이 판별된다 — 다항이냐 지수냐를 놓고 다투는 실측 데이터 분석의 첫 도구다.

$(1)$ First differences: $1, 3, 5, 7$ — not constant. Second differences: $2, 2, 2$ — constant: quadratic. (Indeed $x^2 + 2$ fits ✓.)

$(2)$ Differences: $10, 30, 90, 270$ — twice the original values, and neighbor ratios $\dfrac{15}5 = \dfrac{45}{15} = 3$ are constant: exponential. ($5 \cdot 3^x$ ✓.)

Two rows of a difference table classify the model's family — the first tool of real data analysis when polynomial and exponential compete.

$(2)$의 짧은 구간이 "$t = 2$ 무렵의 속도"에 더 가깝다 — 구간을 더 좁히면 $[2, 2.01]$에서 $20.05$, 행선지는 $20\,\mathrm{m/s}$: 순간 속도의 예고편이다.

The short interval in $(2)$ better approximates "the speed around $t = 2$" — narrowing further gives $20.05$ on $[2, 2.01]$, destination $20\,\mathrm{m/s}$: a trailer for instantaneous speed.

변화율이 줄어든다 — 곡선이 갈수록 완만해지는 위로 볼록이다. ($x^2$과 정반대 — 실은 $\sqrt x$가 $x^2$의 역함수라 그래프가 $y = x$ 거울상인 것과 앞뒤가 맞는다: 가팔라지는 것의 거울은 완만해진다.)

덤으로 분모 $1, 3, 5$ — 홀수들이다: $x^2$의 변화율(홀수)이 역함수에서 역수로 나타났다.

The rates shrink — the curve keeps flattening: concave down. (The exact opposite of $x^2$ — fitting, since $\sqrt x$ is its inverse and the graphs mirror across $y = x$: the mirror of steepening is flattening.)

A bonus: the denominators $1, 3, 5$ are the odd numbers — $x^2$'s rates, reappearing in the inverse as reciprocals.

제곱의 차 인수분해로

한편 p05의 무늬($[n, n+1]$에서 $2n+1 = 2 \times \text{중점}$)를 일반화하면, $x^2$의 순간 기울기는 "그 점의 $2$배"로 보인다 — 구간 $[a, b]$의 중점 $\frac{a+b}2$에서 그 값은 $2 \cdot \frac{a+b}2 = a + b$: 할선의 기울기가 중점의 순간 기울기와 정확히 같다.

포물선의 특권이다(모든 함수가 그렇지는 않다). 미적분에서 이 관찰은 "이차함수에서는 평균값 정리의 점이 항상 중점"이라는 정리로 승격된다.

Factor the difference of squares:

Generalizing p05's pattern ($2n+1 = 2 \times$ midpoint on $[n, n+1]$), the instant slope of $x^2$ appears to be "twice the point" — and at the midpoint $\frac{a+b}2$ that reads $2 \cdot \frac{a+b}2 = a + b$: the secant's slope equals the midpoint's instant slope, exactly.

A parabola's privilege (not every function complies). In calculus this observation graduates into a theorem: for quadratics, the Mean Value Theorem's point is always the midpoint.

$[n, n+1]$ 구간의 낙하 거리는

$n = 0, 1, 2, \dots$에서 $5 \times 1, 5 \times 3, 5 \times 5, \dots$ — 공통 인수 $5$를 지우면 비는

갈릴레오는 경사면 실험에서 이 홀수 법칙을 읽고 "낙하 거리 $\propto$ 시간의 제곱"을 밝혔다 — 홀수 합 $1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$(수열 단원)이 물리 법칙의 지문이었던 것. 이차함수와 등차 변화율의 동행이 역사에서 실측된 첫 장면이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 구간별 거리 $5(2n+1)$ (1점)
• 홀수 비 정리 (1점)
• $n^2$과의 연결(합 관점) 서술 (1점)

The distance fallen during $[n, n+1]$ is

For $n = 0, 1, 2, \dots$: $5 \times 1, 5 \times 3, 5 \times 5, \dots$ — cancel the common $5$:

Galileo read this odd-number rule off his inclined-plane experiments and concluded "distance $\propto$ time squared" — the odd sum $1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$ (the sequences unit) serving as a physical law's fingerprint. The partnership of quadratics and arithmetic rates, first measured in history.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The interval distance $5(2n+1)$ (1 pt)
• The odd-ratio conclusion (1 pt)
• The link to $n^2$ (the sum view) (1 pt)

$[0, \pi]$에서 $\sin$은 $1$까지 올라갔다가 도로 내려와 제자리 — 평균변화율은 끝점 두 개만 보므로 중간의 왕복을 전혀 모른다. 올라간 만큼 내려오면 평균은 $0$: "변화율 $0$"과 "변화 없음"은 다르다.

주가가 연초와 연말에 같다고 한 해가 조용했던 것이 아니듯 — 평균변화율의 맹점(끝점 의존)을 기억시키는 표본이다.

On $[0, \pi]$, sine climbs to $1$ and comes all the way back — and the average rate, seeing only endpoints, knows nothing of the round trip. Rise then fall equally, and the average is $0$: "zero rate" is not "nothing happened."

A stock ending the year where it began does not mean a quiet year — a specimen to remember the average rate's blind spot (endpoint dependence).

평균 속력 = 총거리 ÷ 총시간 — 편도 거리를 $d$로 놓아라.

Average speed = total distance ÷ total time — call the one-way distance $d$.

편도 거리를 $d$라 하면 총거리 $2d$, 총시간 $\dfrac d{60} + \dfrac d{40}$:

$50$이 아닌 이유: 느린 구간에서 더 오래 달린다 — 시간 가중치가 $40$ 쪽에 더 실리므로 평균이 $50$ 아래로 끌린다. 위 식 $\frac{2}{\frac1a + \frac1b}$는 조화평균 — 일률 문제($\frac1t = \frac1a + \frac1b$)와 같은 문법이고, 조화평균 $\le$ 기하평균 $\le$ 산술평균($48 < \sqrt{2400} \approx 49 < 50$)의 사슬에서 맨 아래 자리다.

"평균 속력"이라는 말은 언제나 $\dfrac{\text{총거리}}{\text{총시간}}$ — 속력들의 산술평균이 아니다.

With one-way distance $d$: total distance $2d$, total time $\dfrac d{60} + \dfrac d{40}$:

Why not $50$: more time is spent at the slower speed — the time-weighting leans toward $40$, dragging the average below $50$. The expression $\frac{2}{\frac1a + \frac1b}$ is the harmonic mean — the same grammar as work-rate problems ($\frac1t = \frac1a + \frac1b$), and the bottom rung of the chain harmonic $\le$ geometric $\le$ arithmetic ($48 < \sqrt{2400} \approx 49 < 50$).

"Average speed" always means $\dfrac{\text{total distance}}{\text{total time}}$ — never the arithmetic mean of speeds.