지수·로그 방정식 심화Advanced Exponential & Log Equations

밑이 같으니 지수 비교(일대일):

지수 자리에서 이차방정식이 튀어나오는 기본형이다.

Same base — compare exponents (one-to-one):

The basic type where a quadratic pops out of the exponent seat.

$t = \log_3 x$는 음수여도 유효하다 — $t = -2$가 멀쩡한 해 $\frac19$을 준다(진수 $> 0$ ✓).

A negative $t = \log_3 x$ is perfectly valid — $t = -2$ yields the healthy solution $\frac19$ (argument $> 0$ ✓).

정의로 $x + 1 = \log_3 5$:

검산: $3^{1.465} = 3 \cdot 3^{0.465} \approx 3 \cdot 1.667 \approx 5$ ✓.

By definition $x + 1 = \log_3 5$:

Check: $3^{1.465} = 3 \cdot 3^{0.465} \approx 3 \cdot 1.667 \approx 5$ ✓.

$\log x^2 = 2\log x$ — 괄호 위치가 다르다! $t = \log x$로 치환:

진수 확인: 둘 다 양수 ✓. 검산($x = \frac1{10}$): $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

$\log x^2 = 2\log x$ — mind the brackets! Substitute $t = \log x$:

Arguments positive ✓. Check ($x = \frac1{10}$): $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 0$ ✓.

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$이므로 $t = 2^x > 0$으로

검산: $x = 2$에서 $16 - 24 + 8 = 0$ ✓. 계수에 숨은 $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ 정리가 첫 관문이다.

Since $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, substitute $t = 2^x > 0$:

Check: $x = 2$ gives $16 - 24 + 8 = 0$ ✓. Untangling the hidden coefficient $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ is gate one.

양변이 양수($x > 0$)이므로 상용로그를 씌운다:

$t = \log x$: $t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 2, -1 \Rightarrow x = 100, \dfrac1{10}$.

검산: $100^{\log 100} = 100^2 = 10000 = 100 \times 100$ ✓; $\left(\frac1{10}\right)^{-1} = 10 = 100 \times \frac1{10}$ ✓.

밑에도 지수에도 있는 $x$ — 로그가 지수의 $x$를 계수로 끌어내리는 순간 이차방정식이 된다.

Both sides positive ($x > 0$), so take common logs:

With $t = \log x$: $t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 2, -1 \Rightarrow x = 100, \dfrac1{10}$.

Check: $100^{\log 100} = 100^2 = 10000 = 100 \times 100$ ✓; $\left(\frac1{10}\right)^{-1} = 10 = 100 \times \frac1{10}$ ✓.

$x$ in base and exponent — the moment the log demotes the exponent's $x$ to a coefficient, a quadratic appears.

양변에 자연로그:

검산(로그 눈금으로): $x \approx 3.83$에서 좌변 $\ln = 4.83 \times 1.099 \approx 5.31$, 우변 $\ln = 7.66 \times 0.693 \approx 5.31$ ✓.

밑이 화해할 수 없는 방정식 — 로그의 통역으로 일차방정식이 된다.

Natural logs on both sides:

Check (on the log scale): at $x \approx 3.83$, left $\ln = 4.83 \times 1.099 \approx 5.31$, right $\ln = 7.66 \times 0.693 \approx 5.31$ ✓.

Bases beyond reconciliation — the logarithm interprets, and a linear equation remains.

양변에 로그를 씌운 뒤 두 식을 더하고 빼라 — $72 \cdot 108 = 6^5$이다.

Take logs, then add and subtract the equations — note $72 \cdot 108 = 6^5$.

로그를 씌우면 일차 연립: $x\ln2 + y\ln3 = \ln 72$, $\;y\ln2 + x\ln3 = \ln 108$.

더하면: $(x+y)(\ln 2 + \ln 3) = \ln(72 \cdot 108) = \ln 7776 = \ln 6^5 = 5\ln 6 \Rightarrow x + y = 5$.

빼면: $(x-y)(\ln 2 - \ln 3) = \ln\dfrac{72}{108} = \ln\dfrac23 = \ln2 - \ln3 \Rightarrow x - y = 1$.

검산: $2^3 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ ✓, $2^2 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$ ✓.

가감법이 로그 세계에서 그대로 작동 — 곱($72 \cdot 108$)과 몫($\frac{72}{108}$)이 깔끔한 거듭제곱으로 떨어지도록 짜인 대칭 연립의 표준 해법이다.

Logging gives a linear system: $x\ln2 + y\ln3 = \ln 72$, $\;y\ln2 + x\ln3 = \ln 108$.

Add: $(x+y)(\ln 2 + \ln 3) = \ln(72 \cdot 108) = \ln 7776 = \ln 6^5 = 5\ln 6 \Rightarrow x + y = 5$.

Subtract: $(x-y)(\ln 2 - \ln 3) = \ln\dfrac{72}{108} = \ln\dfrac23 = \ln2 - \ln3 \Rightarrow x - y = 1$.

Check: $2^3 3^2 = 72$ ✓, $2^2 3^3 = 108$ ✓.

Elimination running verbatim in log country — the standard attack on symmetric systems built so the product ($72 \cdot 108$) and quotient ($\frac{72}{108}$) collapse to clean powers.

관문: $x - 1 > 0$이고 $x - 3 > 0$ — 곧 $x > 3$.

곱으로 합치면 $\log_{1/2}(x-1)(x-3) \ge -3$. 밑 $\frac12 < 1$은 감소 — 벗길 때 부등호 반전:

관문과 교집합: $3 < x \le 5$.

검산: $x = 5$에서 $\log_{1/2}4 + \log_{1/2}2 = -2 - 1 = -3 \ge -3$ ✓; $x = 6$에서 $\log_{1/2}15 \approx -3.9 < -3$ ✓ 제외.

관문 → 합치기 → 감소 반전 → 교집합: 로그 부등식의 4단 조립이 심화형에서도 그대로다.

Gate: $x - 1 > 0$ and $x - 3 > 0$ — i.e. $x > 3$.

Merge: $\log_{1/2}(x-1)(x-3) \ge -3$. Base $\frac12 < 1$ decreases — peeling flips the inequality:

Intersect with the gate: $3 < x \le 5$.

Check: $x = 5$ gives $-2 - 1 = -3 \ge -3$ ✓; $x = 6$ gives $\log_{1/2}15 \approx -3.9 < -3$ ✓ excluded.

Gate → merge → decreasing flip → intersect: the four-beat assembly, unchanged in the advanced setting.

두 근을 직접 구하지 말고 — $\log\alpha$와 $\log\beta$의 합을 비에타로.

Don't find the roots — apply Vieta to the sum of $\log\alpha$ and $\log\beta$.

$t = \log x$의 이차방정식 $t^2 - 5t + 5 = 0$의 두 근이 $\log\alpha$, $\log\beta$다. 비에타로

(판별식 $25 - 20 = 5 > 0$ — 두 실근 존재 ✓; $t$가 무엇이든 $x = 10^t > 0$이라 진수 걱정도 없다.)

근을 구하지 않고 곱을 아는 것 — 비에타가 로그 치환과 만나면 "$t$들의 합 = 곱의 로그"라는 지름길이 된다.

The quadratic $t^2 - 5t + 5 = 0$ in $t = \log x$ has roots $\log\alpha$ and $\log\beta$. By Vieta,

(Discriminant $25 - 20 = 5 > 0$ — two real roots ✓; any $t$ gives $x = 10^t > 0$, so no argument worries.)

The product without the roots — Vieta meeting the log substitution yields the shortcut "sum of the $t$'s = log of the product."

$t = 2^x > 0$으로 치환하면 $t + \dfrac1t = \dfrac52$:

검산: $2 + \frac12 = \frac52$ ✓ (두 해 모두 같은 계산 — $x$와 $-x$의 대칭).

$t + \frac1t$ 곡선의 치역이 $[2, \infty)$($t > 0$)이므로 우변이 $2$ 미만이면 해가 없다 — $\frac52 \ge 2$가 해 존재의 사전 판정이었다. 사선 점근선 차시의 곡선이 지수방정식의 판정관으로 재출연했다.

Substituting $t = 2^x > 0$ gives $t + \dfrac1t = \dfrac52$:

Check: $2 + \frac12 = \frac52$ ✓ (both solutions run the same computation — the $x \leftrightarrow -x$ symmetry).

Since $t + \frac1t$ has range $[2, \infty)$ for $t > 0$, any right side below $2$ leaves no solution — $\frac52 \ge 2$ was the existence pre-check. The slant-asymptote lesson's curve, recast as the exponential equation's adjudicator.

양변이 양수이므로 $\log_2$를 씌운다:

$t = \log_2 x$: $t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3, -1 \Rightarrow x = 8, \dfrac12$.

검산: $8^{\log_2 8} = 8^3 = 512 = 8 \cdot 64 = 8 \cdot 8^2$ ✓; $\left(\frac12\right)^{-1} = 2 = 8 \cdot \frac14$ ✓.

밑을 $2$로 고른 이유 — 우변의 $8 = 2^3$이 정수 상수로 떨어진다. 어느 밑의 로그를 씌울지 고르는 것부터가 풀이다.

Both sides positive — apply $\log_2$:

With $t = \log_2 x$: $t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3, -1 \Rightarrow x = 8, \dfrac12$.

Check: $8^{\log_2 8} = 8^3 = 512 = 8 \cdot 64$ ✓; $\left(\frac12\right)^{-1} = 2 = 8 \cdot \frac14$ ✓.

Why base $2$ — the right side's $8 = 2^3$ drops to an integer constant. Choosing which log to apply is itself part of the solution.

$(1)$ 확인: $2^2 = 4 = 2^2$ ✓, $2^4 = 16 = 4^2$ ✓ ($n = 1, 3$은 $2 \ne 1$, $8 \ne 9$).

$n \ge 5$ 배제: $n = 5$에서 $2^5 = 32 > 25$. 이후 $n$이 $1$ 커질 때 좌변은 $2$배, 우변은 $\left(\frac{n+1}{n}\right)^2$배 — $n \ge 5$면

이므로 좌변의 우세는 갈수록 벌어진다. $32 > 25$에서 시작한 우세가 영원히 유지된다 — 해 없음. $\blacksquare$

$(2)$ $f(x) = 2^x - x^2$은 연속이고

— 구간 $(-1, 0)$에서 부호가 바뀌므로 사이 어딘가에 근이 있다(중간값 논증 — 정식 정리는 극한 단원에서). 수치로 좁히면 $f(-0.8) \approx 0.574 - 0.64 < 0$, $f(-0.7) \approx 0.616 - 0.49 > 0$ — 근은 약 $-0.77$.

지수와 다항의 대결: 작은 구간에선 엎치락뒤치락하지만($2$와 $4$ 사이에서 $x^2$이 잠시 우세: $2^3 = 8 < 9$), 비율 논증이 결국 지수의 승리를 확정한다 — "지수는 모든 다항을 이긴다"의 첫 정량 증명이다.

$(1)$ Checks: $2^2 = 4 = 2^2$ ✓, $2^4 = 16 = 4^2$ ✓ (while $n = 1, 3$ fail: $2 \ne 1$, $8 \ne 9$).

Excluding $n \ge 5$: at $n = 5$, $2^5 = 32 > 25$. Each step $n \to n+1$ doubles the left side but multiplies the right by $\left(\frac{n+1}{n}\right)^2$ — and for $n \ge 5$

so the left side's lead only widens. A lead starting at $32 > 25$ persists forever — no solutions. $\blacksquare$

$(2)$ $f(x) = 2^x - x^2$ is continuous with

— a sign change on $(-1, 0)$, so a root lies between (the intermediate-value argument — formalized in the limits unit). Narrowing numerically: $f(-0.8) < 0$, $f(-0.7) > 0$ — the root sits near $-0.77$.

Exponential versus polynomial: they trade the lead in small ranges ($x^2$ briefly ahead between $2$ and $4$: $2^3 = 8 < 9$), but the ratio argument seals the exponential's ultimate win — a first quantitative proof of "exponentials beat every polynomial."