사선 점근선과 유리함수 해부Slant Asymptotes & Rational Anatomy

— 몫 $x$가 사선 점근선이고, 나머지 항 $\dfrac4x$는 $|x| \to \infty$에서 사그라든다. 수직 점근선 $x = 0$도 함께다.

— the quotient $x$ is the slant asymptote; the remainder term $\dfrac4x$ dwindles as $|x| \to \infty$. The vertical asymptote $x = 0$ rides along.

나눗셈: $x^2 - 3x + 5 = (x - 1)(x - 2) + 3$이므로

— 사선 점근선 $y = x - 2$, 수직 점근선 $x = 1$.

검산: $(x-1)(x-2) + 3 = x^2 - 3x + 2 + 3 = x^2 - 3x + 5$ ✓.

Divide: $x^2 - 3x + 5 = (x - 1)(x - 2) + 3$, so

— slant asymptote $y = x - 2$, vertical asymptote $x = 1$.

Check: $(x-1)(x-2) + 3 = x^2 - 3x + 5$ ✓.

차수 차가 각각 $0, 1, 2$:

$(1)$ 몫이 상수 — 최고차 비 $\frac31 = 3$: 수평 점근선 $y = 3$.

$(2)$ 몫이 일차 — 사선 점근선(구체식은 나눗셈: $y = x$).

$(3)$ 몫이 이차 — 점근 곡선($y = x^2 - 1$: $x^4 = (x^2+1)(x^2 - 1) + 1$).

세 경우가 "끝 거동 $=$ 몫" 한 문장의 세 얼굴이다.

The degree gaps are $0, 1, 2$:

$(1)$ constant quotient — leading ratio $\frac31 = 3$: horizontal asymptote $y = 3$.

$(2)$ linear quotient — a slant asymptote (division gives it: $y = x$).

$(3)$ quadratic quotient — an asymptotic curve ($y = x^2 - 1$, since $x^4 = (x^2+1)(x^2 - 1) + 1$).

Three faces of the one sentence, "end behavior $=$ quotient."

간격은 정확히 진분수 부분이다:

$\deg R < \deg B$이므로, 분자·분모를 $x^{\deg B}$로 나누면 분자의 모든 항은 $\dfrac{1}{x^{\text{양수}}}$ 꼴이 되어 $0$으로 가고, 분모는 $B$의 최고차 계수로 간다 — 몫 전체가

곧 곡선은 $y = Q(x)$에 한없이 가까워진다: $Q$가 상수면 수평 점근선, 일차면 사선 점근선, 그 이상이면 점근 곡선 — 전부 이 한 계산의 따름이다. $\blacksquare$

("진분수는 끝에서 사그라든다" — 유리함수 단원에서 수평 점근선에 쓰던 논증이 그대로 일반화됐다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 간격 $= R/B$ 식별 (1점)
• $x^{\deg B}$ 나누기 논증 (1점)
• 세 경우로의 결론 (1점)

The gap is exactly the proper fraction:

Since $\deg R < \deg B$, divide top and bottom by $x^{\deg B}$: every numerator term becomes a $\dfrac{1}{x^{\text{positive}}}$ and heads to $0$, while the denominator heads to $B$'s leading coefficient — so the whole quotient

The curve thus hugs $y = Q(x)$ ever closer: a horizontal asymptote when $Q$ is constant, slant when linear, an asymptotic curve beyond — all corollaries of this one computation. $\blacksquare$

("Proper fractions dwindle at the ends" — the horizontal-asymptote argument from the rational functions unit, generalized intact.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Identifying the gap as $R/B$ (1 pt)
• The divide-by-$x^{\deg B}$ argument (1 pt)
• Concluding the three cases (1 pt)

점근선: 수직 $x = 0$, 사선 $y = x$.

$x > 0$에서 산술-기하 평균으로

등호는 $x = \dfrac4x$, 곧 $x = 2$ — 극솟값 $4$가 $(2, 4)$에서. 홀함수이므로 $x < 0$에서는 극댓값 $-4$가 $(-2, -4)$에서.

검산: $f(2) = 2 + 2 = 4$ ✓, $f(1) = 5 > 4$ ✓. 일반화하면 $x + \dfrac kx$ ($k > 0$)의 극값은 $\pm 2\sqrt k$ (at $x = \pm\sqrt k$)다.

Asymptotes: vertical $x = 0$, slant $y = x$.

For $x > 0$, AM–GM gives

with equality at $x = \dfrac4x$, i.e. $x = 2$ — minimum $4$ at $(2, 4)$. By oddness, the maximum $-4$ sits at $(-2, -4)$.

Check: $f(2) = 4$ ✓, $f(1) = 5 > 4$ ✓. In general $x + \dfrac kx$ ($k > 0$) has extremes $\pm 2\sqrt k$ at $x = \pm\sqrt k$.

나눗셈: $2x^2 + 3x - 1 = (x + 1)(2x + 1) - 2$이므로

• 사선 점근선 $y = 2x + 1$ (기울기 $2$ — 최고차 비 $\frac{2x^2}{x}$의 예고와 일치하되, 절편 $+1$은 나눗셈만이 준다)
• 수직 점근선 $x = -1$
• $y$절편: $x = 0$에서 $y = \dfrac{-1}{1} = -1$

검산: $(x+1)(2x+1) - 2 = 2x^2 + 3x + 1 - 2 = 2x^2 + 3x - 1$ ✓.

Division: $2x^2 + 3x - 1 = (x + 1)(2x + 1) - 2$, so

• slant asymptote $y = 2x + 1$ (slope $2$ agrees with the leading-ratio forecast $\frac{2x^2}{x}$; the intercept $+1$ only division supplies)
• vertical asymptote $x = -1$
• $y$-intercept: at $x = 0$, $y = \dfrac{-1}{1} = -1$

Check: $(x+1)(2x+1) - 2 = 2x^2 + 3x - 1$ ✓.

홀함수:

두 가지의 주소: $x > 0$이면 $x$도 $\frac1x$도 양수 — $f(x) > 0$: 오른쪽 가지는 1사분면. 그 가지는 $x \to 0^+$에서 수직 점근선을 타고 $+\infty$로, $x \to \infty$에서 사선 $y = x$를 타고 오르며, 둘 사이 골짜기의 바닥이 극솟값 $(1, 2)$다.

원점 대칭(홀함수)으로 왼쪽 가지는 이 그림을 $180°$ 돌린 것 — 3사분면에서 천장 $(-1, -2)$를 갖는다.

곡선 전체가 "점근선 두 개가 만든 골짜기 + 대칭" 세 마디로 재구성된다 — 그릴 때도 이 순서(점근선 → 극값 → 대칭)가 제일 빠르다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $f(-x) = -f(x)$ 계산 (1점)
• 오른쪽 가지의 위치·거동 (1점)
• 대칭으로 왼쪽 가지 (1점)

Odd:

The branches' addresses: for $x > 0$ both $x$ and $\frac1x$ are positive — $f(x) > 0$: the right branch lives in quadrant I. It climbs the vertical asymptote as $x \to 0^+$, rides the slant $y = x$ as $x \to \infty$, and bottoms out between them at the minimum $(1, 2)$.

Origin symmetry (oddness) turns this picture $180°$ for the left branch — quadrant III, ceiling at $(-1, -2)$.

The whole curve reassembles from three phrases: "the valley two asymptotes make, plus symmetry" — and that order (asymptotes → extremes → symmetry) is also the fastest way to sketch it.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The computation $f(-x) = -f(x)$ (1 pt)
• The right branch's location and behavior (1 pt)
• The left branch by symmetry (1 pt)

차수 차가 $1$이라 사선 점근선을 기대하기 쉽지만, 약분이 먼저다:

그래프는 직선 $y = x$에서 두 점 $(1, 1)$, $(-1, -1)$이 빠진 것 — 점근선("한없이 다가감")이 아니라 직선 그 자체이고, 빠진 두 점은 수직 점근선이 아니라 구멍이다(분자도 함께 $0$).

차수만 세는 반사신경의 해독제 — 인수분해·약분이 모든 해부의 0단계다.

The degree gap of $1$ tempts a slant-asymptote call, but reduction comes first:

The graph is the line $y = x$ minus the points $(1, 1)$ and $(-1, -1)$ — not an asymptote ("approached forever") but the line itself, and the missing points are holes, not vertical asymptotes (the numerator vanishes with the denominator).

An antidote to degree-counting reflexes — factoring and reducing is step zero of every dissection.

$x > 0$에서 $\sqrt x$가 정의되므로

— 제곱은 음이 아니므로 $x + \frac1x \ge 2$. 등호는 $\sqrt x = \dfrac1{\sqrt x}$, 곧 $x = 1$에서만. $\blacksquare$

(산술-기하 평균 부등식의 2변수 경우가 이 제곱 완성 그 자체다.)

치역: $x > 0$ 가지는 $[2, \infty)$의 모든 값을 갖는다 — 최솟값 $2$를 찍고 양쪽 점근선($x \to 0^+$와 $x \to \infty$)으로 한없이 오르므로. 홀대칭으로 $x < 0$ 가지는 $(-\infty, -2]$. 합치면

— 구간 $(-2, 2)$가 비는 함수다. 판별식으로도 같다: $x + \frac1x = t \iff x^2 - tx + 1 = 0$이 실근을 가지려면 $t^2 \ge 4$ ✓ (p12에서 재등판).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 제곱 완성 (1점)
• 등호 조건 (1점)
• 치역 서술 (1점)

For $x > 0$, $\sqrt x$ exists, and

— a square is nonnegative, so $x + \frac1x \ge 2$, with equality only at $\sqrt x = \dfrac1{\sqrt x}$, i.e. $x = 1$. $\blacksquare$

(The two-variable AM–GM inequality is precisely this completed square.)

Range: the $x > 0$ branch attains all of $[2, \infty)$ — it touches the minimum $2$ and climbs without bound along both asymptotes ($x \to 0^+$ and $x \to \infty$). Odd symmetry gives $(-\infty, -2]$ for $x < 0$. Together:

— a function whose range skips $(-2, 2)$. The discriminant agrees: $x + \frac1x = t \iff x^2 - tx + 1 = 0$ needs $t^2 \ge 4$ for real roots ✓ (returning in p12).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The completed square (1 pt)
• The equality condition (1 pt)
• The range statement (1 pt)

세로는 $\dfrac{100}x$이므로

$x + \dfrac{100}x$은 $x + \dfrac kx$ 꼴 — 산술-기하 평균으로 $\ge 2\sqrt{100} = 20$, 등호는 $x = \dfrac{100}x$, 곧 $x = 10$:

검산: $x = 20$이면 $P = 2(20 + 5) = 50 > 40$ ✓. "곱이 고정되면 합은 같을 때 최소" — 이 차시의 곡선 $x + \frac kx$가 실전 최적화의 표준 부품임을 보여 주는 예다(타원 단원의 "합 고정 → 곱 최대"와 쌍대).

The height is $\dfrac{100}x$, so

Here $x + \dfrac{100}x$ is the $x + \dfrac kx$ shape — AM–GM gives $\ge 2\sqrt{100} = 20$, equality at $x = \dfrac{100}x$, i.e. $x = 10$:

Check: $x = 20$ gives $P = 2(25) = 50 > 40$ ✓. "Fixed product, minimal sum at equality" — this lesson's curve $x + \frac kx$ as a standard part in real optimization (dual to the ellipse unit's "fixed sum, maximal product").

차수 차가 $2$ — 몫이 이차식 $x^2$이고, 간격 $\dfrac1x \to 0$이므로 곡선은 끝에서 포물선 $y = x^2$에 달라붙는다. 수직 점근선은 $x = 0$.

$x \to 0^+$에서는 $+\infty$, $x \to 0^-$에서는 $-\infty$ — 왼쪽 가지는 포물선 아래에서($\frac1x < 0$), 오른쪽 가지는 위에서 다가간다. 직선만 점근의 대상이 아니라는 것 — "끝 거동 = 몫"의 문장이 차수 차 $2$에서도 그대로 작동한다.

Degree gap $2$ — the quotient is the quadratic $x^2$, and the gap $\dfrac1x \to 0$, so at the ends the curve clings to the parabola $y = x^2$. The vertical asymptote is $x = 0$.

As $x \to 0^+$ it blows up to $+\infty$; as $x \to 0^-$, down to $-\infty$ — the left branch approaches from below the parabola ($\frac1x < 0$), the right from above. Lines are not the only things approached — "end behavior = quotient" runs unchanged at degree gap $2$.

$x + \frac1x = t$의 양변에 $x$를 곱하면 이차방정식이 된다.

Multiply $x + \frac1x = t$ through by $x$ — a quadratic appears.

$x + \dfrac1x = t$에서 $x \ne 0$이므로 양변에 $x$를 곱해도 동치다:

$t$가 치역에 속한다 $\iff$ 이 방정식이 $0$ 아닌 실근을 갖는다. 판별식으로

($x = 0$은 대입 시 $1 = 0$이라 애초에 근이 아니므로 별도 제외 불필요).

p09의 결과 $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$와 정확히 일치 ✓ — 부등식(AM-GM)의 길과 방정식(판별식)의 길이 같은 치역에 닿는다. 유리함수의 치역을 "가로선 $y = t$가 곡선과 만나는가"로 바꿔 읽는 이 판별식 기법은 치환 없이 치역을 재는 표준 도구다.

In $x + \dfrac1x = t$ we have $x \ne 0$, so multiplying by $x$ is an equivalence:

$t$ lies in the range $\iff$ this has a nonzero real root. By the discriminant,

(no separate exclusion needed: $x = 0$ gives $1 = 0$, never a root).

Exactly p09's $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ ✓ — the inequality road (AM–GM) and the equation road (discriminant) reach one range. Reading a range as "does the horizontal line $y = t$ meet the curve?" makes this discriminant technique the standard range-finder for rational functions.

나눗셈: $x^3 + 2x - 1 = x(x^2 + 1) + (x - 1)$이므로

— 사선 점근선은 $y = x$ (간격 $\frac{x-1}{x^2+1} \to 0$: 차수 차 $1$).

교점: 간격이 $0$이 되는 곳 — $x - 1 = 0$, 곧 $x = 1$에서 곡선이 점근선 위에 선다:

모순이 아닌 이유: 점근선의 약속은 "$|x| \to \infty$에서 간격이 $0$으로 간다"는 것뿐이다 — 중간에서 간격이 $0$을 지나는 것(교차)을 금지하지 않는다. 실제로 이 곡선은 $x < 1$에서 점근선 아래($x - 1 < 0$), $x > 1$에서 위 — $x = 1$에서 점근선을 가로지른다. "점근선 = 닿지 않는 선"이라는 통념의 반례이자, 정의("끝에서의 약속")로 돌아가면 아무 긴장도 없는 장면이다.

Division: $x^3 + 2x - 1 = x(x^2 + 1) + (x - 1)$, so

— slant asymptote $y = x$ (the gap $\frac{x-1}{x^2+1} \to 0$: degree gap $1$).

The meeting: where the gap vanishes — $x - 1 = 0$, i.e. $x = 1$, the curve stands on its asymptote:

Why no contradiction: an asymptote promises only that the gap tends to $0$ as $|x| \to \infty$ — it never forbids the gap passing through $0$ midway (a crossing). Indeed this curve runs below the line for $x < 1$ ($x - 1 < 0$) and above for $x > 1$ — it crosses at $x = 1$. A counterexample to the folklore "asymptotes are never touched," and a scene with no tension at all once the definition ("a promise about the ends") is recalled.