고차·유리 부등식 종합Polynomial & Rational Inequalities

근 $1, 4$ — 부호는 $+, -, +$이므로 양수 구간은 바깥쪽 둘이다.

포물선 그림("위로 열린 이차가 근 바깥에서 양수")과 같은 답 — 부호도표는 그 그림의 표 버전이다.

Roots $1, 4$ — signs run $+, -, +$, so the positive stretches are the two outer ones.

Same answer as the parabola picture ("an upward quadratic is positive outside its roots") — the sign chart is that picture, tabulated.

근 $-1, 2, 5$; 맨 오른쪽이 $+$이고 홀수 중복도뿐이라 한 칸씩 교대: $-, +, -, +$.

$\ge 0$이므로 $+$ 구간에 경계(근)를 포함해

검산: $x = 0$에서 $(1)(-2)(-5) = 10 \ge 0$ ✓, $x = 3$에서 $(4)(1)(-2) = -8$ ✓ 제외.

Roots $-1, 2, 5$; the far right is $+$ and all multiplicities are odd, so signs alternate: $-, +, -, +$.

With $\ge 0$, take the $+$ intervals, boundaries included:

Check: $x = 0$ gives $(1)(-2)(-5) = 10 \ge 0$ ✓; $x = 3$ gives $-8$ ✓ excluded.

분수가 양수 $\iff$ 분자·분모가 같은 부호:

• 둘 다 양수: $x > 3$
• 둘 다 음수: $x < -2$

부호도표($-2$, $3$에서 $+, -, +$)로도 같다. 분모의 근 $-2$는 어차피 정의역 밖이다.

A fraction is positive $\iff$ numerator and denominator share a sign:

• both positive: $x > 3$
• both negative: $x < -2$

The sign chart ($+, -, +$ across $-2$ and $3$) agrees. The denominator root $-2$ was never in the domain anyway.

근: $-2$(중복도 $2$), $1$, $3$. 부호는 오른쪽부터 $+$로 시작해 $3$과 $1$에서 뒤집히고 $-2$에서는 유지된다(짝수 중복도):

$\le 0$: 음수 구간 $[1, 3]$(경계 포함)에, 값이 정확히 $0$인 고립점 $x = -2$를 더한다.

검산: $x = -2$에서 $0 \le 0$ ✓, $x = 0$에서 $4 \cdot (-1)(-3) = 12 > 0$ ✓ 제외. 짝수 중복도 근이 만드는 고립점 — 이 유형 최다 실수(빠뜨리기)다.

Roots: $-2$ (multiplicity $2$), $1$, $3$. Starting $+$ at the far right, the sign flips at $3$ and $1$ but holds at $-2$ (even multiplicity):

For $\le 0$: the negative interval $[1, 3]$ (boundaries in), plus the isolated point $x = -2$ where the value is exactly $0$:

Check: at $x = -2$, $0 \le 0$ ✓; at $x = 0$, $4 \cdot (-1)(-3) = 12 > 0$ ✓ excluded. The isolated point an even root creates — this type's most-missed piece.

반례: $x = -1$을 원래 부등식에 넣으면 $\dfrac1{-1} = -1 < 1$ — 성립한다. 그러나 "$1 < x$"는 $-1$을 해에서 빠뜨린다.

무엇이 잘못됐나: $x$의 부호를 모른 채 곱했다 — $x < 0$이면 곱하는 순간 부등호가 뒤집혀야 하는데 그대로 두었다. 방정식은 분모를 곱해도 (무연근만 거르면) 되지만, 부등식은 부호 정보가 방향을 정하므로 변수 곱하기 자체가 두 갈래(양/음)로 갈라진다.

옳은 풀이 — 이항·통분·부호도표:

근 $1$(분자), $0$(분모)로 부호도표: $x<0$: $\frac{+}{-} = -$ ✓, $(0,1)$: $\frac{+}{+} = +$, $x>1$: $\frac{-}{+} = -$ ✓.

(갈라서 풀어도 된다 — $x>0$일 때 $1<x$, $x<0$일 때 $1>x$ 자동 성립 — 같은 답. 부호도표는 이 경우 나누기를 표 하나로 압축한 것이다.)

Counterexample: $x = -1$ in the original: $\dfrac1{-1} = -1 < 1$ — true. Yet "$1 < x$" omits $-1$ from the solutions.

What went wrong: we multiplied by $x$ without knowing its sign — for $x < 0$ the inequality must flip at that moment, and it wasn't flipped. Equations tolerate multiplying by denominators (filter the extraneous afterward), but inequalities let sign decide direction, so multiplying by a variable forks into two cases (positive/negative).

Correct route — move, combine, chart:

Chart with roots $1$ (numerator), $0$ (denominator): $x<0$: $\frac{+}{-} = -$ ✓; $(0,1)$: $+$; $x>1$: $-$ ✓.

(Case-splitting works too — $x>0$ gives $1<x$; $x<0$ holds automatically — same answer. The sign chart compresses that case split into one table.)

이항해 통분:

근: 분자 $\frac72$, 분모 $2$. 부호: $x < 2$: $\frac{+}{-} = -$ ✓; $\left(2, \frac72\right)$: $\frac{+}{+} = +$; $x > \frac72$: $\frac{-}{+} = -$ ✓.

— $\frac72$는 분자 $0$(값 $0 \le 0$)이라 포함, $2$는 분모 $0$이라 제외.

검산: $x = 0$: $\frac{1}{-2} = -0.5 \le 3$ ✓; $x = 3$: $\frac43 \cdot 3 = 4 > 3$ ✓ 제외.

Move and combine:

Roots: numerator $\frac72$, denominator $2$. Signs: $x < 2$: $-$ ✓; $\left(2, \frac72\right)$: $+$; $x > \frac72$: $-$ ✓.

— $\frac72$ included (numerator zero, value $0 \le 0$), $2$ excluded (denominator zero).

Check: $x = 0$: $-0.5 \le 3$ ✓; $x = 3$: $4 > 3$ ✓ excluded.

이항해 인수분해:

근 $-2, 0, 2$, 부호 $-, +, -, +$:

$x$로 나눠 $x^2 \le 4$($-2 \le x \le 2$)로 만들면 — $x = -3$ 검산: $(-27) \le (-12)$ ✓ 원래 부등식의 해인데 잃었고, $(-1)$: $-1 \le -4$? 거짓인데 포함했다 — 이중으로 틀린다. 변수로 나누는 순간 부호 갈래가 뭉개지기 때문이다.

Move and factor:

Roots $-2, 0, 2$; signs $-, +, -, +$:

Dividing by $x$ into $x^2 \le 4$ ($-2 \le x \le 2$) fails twice over — check $x = -3$: $-27 \le -12$ ✓, a true solution lost; and $x = -1$: $-1 \le -4$ is false, yet included. Dividing by a variable flattens the sign fork.

근호 안이 $0$ 이상이어야 하고 분모는 $0$이 아니어야 한다:

부호도표(근 $1$, 극 $-3$): $+, -, +$ —

($1$은 분자 $0$이라 포함 — 근호 안이 $0$이어도 $\sqrt0 = 0$ 정의됨; $-3$은 제외).

무리함수의 정의역 관문이 유리 부등식으로 열리는 표준 합성 — 두 단원의 도구가 한 문제에서 맞물린다.

The radicand must be nonnegative and the denominator nonzero:

Sign chart (root $1$, pole $-3$): $+, -, +$ —

($1$ included — the radicand may be $0$, as $\sqrt0 = 0$ exists; $-3$ excluded).

A radical function's domain gate opened by a rational inequality — two units' tools interlocking in one problem.

인수분해: $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}$. 근 $\pm2$(분자), 극 $\pm3$(분모) — 네 점이 다섯 구간을 만들고 전부 홀수 중복도라 교대한다. 맨 오른쪽 $+$에서:

$< 0$: 두 번째와 네 번째 —

검산: $x = 0$에서 $\frac{-4}{-9} > 0$ ✓ 제외, $x = 2.5$에서 $\frac{2.25}{-2.75} < 0$ ✓.

풀이의 대칭(짝함수!)도 답을 검산해 준다 — 해집합이 원점 대칭이다.

Factor: $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}$. Roots $\pm2$ (numerator), poles $\pm3$ (denominator) — four points, five intervals, all odd multiplicities, so signs alternate from $+$ at the far right:

For $< 0$: the second and fourth —

Check: $x = 0$ gives $\frac{-4}{-9} > 0$ ✓ excluded; $x = 2.5$ gives $\frac{2.25}{-2.75} < 0$ ✓.

The function's symmetry (even!) audits the answer too — the solution set is symmetric about the origin.

위로 열린 포물선이 항상 양수 $\iff$ $x$축과 만나지 않음 $\iff$ 판별식 음수:

$k$에 대한 부등식이 다시 이차 — 부호도표가 한 번 더 돈다. 검산: $k = 2$면 $x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$ ✓; $k = 0$이면 $x^2 > 0$이 $x = 0$에서 무너진다 ✓ 경계 제외.

An upward parabola is always positive $\iff$ it misses the $x$-axis $\iff$ negative discriminant:

The condition on $k$ is itself quadratic — the sign chart spins once more. Check: $k = 2$ gives $(x+1)^2 + 1 > 0$ ✓; $k = 0$ gives $x^2 > 0$, failing at $x = 0$ ✓ boundary excluded.

근 $1$(중복도 $2$), $-3$; 극 $2$. 부호는 오른쪽 $+$에서 왼쪽으로 — $2$에서 뒤집히고, $1$에서 유지(짝수), $-3$에서 뒤집힌다:

$\ge 0$: 양수 구간에 경계 처리를 얹는다 — $-3$ 포함(분자 근), $2$ 제외(극), 그리고 음수 구간 한가운데의 $x = 1$은 값이 $0$이라 고립점으로 포함:

검산: $x = 1$에서 $0 \ge 0$ ✓; $x = 0$에서 $\frac{1 \cdot 3}{-2} < 0$ ✓ 제외.

짝수 중복도의 고립점 + 극의 무조건 제외 — 이 차시의 두 규칙이 한 문제에 모였다.

Roots $1$ (multiplicity $2$) and $-3$; pole $2$. From $+$ at the right: flip at $2$, hold at $1$ (even), flip at $-3$:

For $\ge 0$: the positive intervals with boundary care — $-3$ in (numerator root), $2$ out (pole) — plus the mid-negative isolated point $x = 1$, where the value is $0$:

Check: $x = 1$ gives $0 \ge 0$ ✓; $x = 0$ gives $\frac{3}{-2} < 0$ ✓ excluded.

The even root's isolated point plus the pole's unconditional exclusion — this lesson's two rules, gathered in one problem.

복이차 — $x^2$을 치환하라.

Biquadratic — substitute for $x^2$.

$u = x^2$으로 치환하면

$x^2 > 1$은 $|x| > 1$, $x^2 < 4$는 $|x| < 2$ — 곧 $1 < |x| < 2$:

두 열린구간 $(1,2)$, $(-2,-1)$ 안에 정수는 없다 — 정수해 $0$개.

검산: $x = 1.5$에서 $5.0625 - 11.25 + 4 = -2.1875 < 0$ ✓; $x = 0$에서 $4 > 0$ ✓ 제외. 복이차 치환(짝수 차 대칭) → 절댓값 부등식 — 두 오랜 기술의 합작이다.

With $u = x^2$:

$x^2 > 1$ means $|x| > 1$; $x^2 < 4$ means $|x| < 2$ — so $1 < |x| < 2$:

The open intervals $(1,2)$ and $(-2,-1)$ contain no integers — zero integer solutions.

Check: $x = 1.5$ gives $-2.1875 < 0$ ✓; $x = 0$ gives $4 > 0$ ✓ excluded. Biquadratic substitution (even symmetry) meeting absolute-value inequalities — two old techniques in concert.

$a$를 분리하면 우변에 낯익은 곡선($x + \frac kx$ 꼴)이 나타난다.

Separate $a$ — a familiar curve (the $x + \frac kx$ shape) appears on the other side.

$[1, 3]$에서 $x > 0$이므로 $a$를 분리할 수 있다:

모든 $x \in [1, 3]$에서 성립하려면 $a$가 $g$의 최솟값보다 작아야 한다. $x + \dfrac4x$의 극소는 $x = 2$에서 값 $4$ (지난 차시의 AM-GM) — $x = 2$가 구간 $[1, 3]$ 안에 있으므로

경계 확인: $a = 2$면 $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$이 $x = 2$에서 $0$ — "$> 0$"이 무너지므로 등호 제외 ✓. 끝점 값 $g(1) = 2.5$, $g(3) = \frac{13}6 \approx 2.17$은 모두 $2$보다 크다 — 최솟값이 내부 극소임을 재확인 ✓.

매개변수 분리 → 낯익은 곡선의 최솟값 — 삼각방정식 단원의 그 조립에, 사선 점근선 차시의 $x + \frac kx$ 극값이 부품으로 끼워졌다. 도구 상자가 단원을 넘어 맞물리는 장면이다.

On $[1, 3]$ we have $x > 0$, so $a$ separates:

To hold for all $x \in [1, 3]$, $a$ must undercut $g$'s minimum. The minimum of $x + \dfrac4x$ is $4$ at $x = 2$ (last lesson's AM–GM) — and $x = 2$ lies inside $[1, 3]$, so

Boundary check: $a = 2$ gives $(x - 2)^2$, which is $0$ at $x = 2$ — "$> 0$" fails, so the equality is excluded ✓. Endpoints $g(1) = 2.5$ and $g(3) = \frac{13}6 \approx 2.17$ both exceed $2$ — confirming the interior minimum ✓.

Separate the parameter → minimize a familiar curve — the trig equations unit's assembly, now fitted with the slant-asymptote lesson's $x + \frac kx$ extreme as a part. The toolbox interlocking across units.