평균·중앙값·최빈값Mean, Median & Mode

정렬부터: $3, 6, 8, 10, 15$. 다섯 개 중 가운데(세 번째)는 $8$.

주어진 순서의 가운데($10$)가 아니다 — 줄 세우기가 먼저다.

Sort first: $3, 6, 8, 10, 15$. The middle of five (the third) is $8$.

Not the middle as given ($10$) — lining up comes first.

세어 보면 $240$이 세 번, $235$가 두 번, 나머지는 한 번씩 — 최빈값은 $240$.

재고를 늘려야 할 사이즈를 알려 주는 것은 평균이 아니라 이 값이다.

Counting: $240$ appears three times, $235$ twice, the rest once — the mode is $240$.

The size to restock is told by this value, not by any average.

정렬: $7, 9, 12, 14$. 짝수 개라 가운데가 둘($9$와 $12$) — 그 평균이 중앙값이다:

Sort: $7, 9, 12, 14$. An even count leaves two middles ($9$ and $12$) — the median is their mean:

평균 문장은 언제나 합 문장으로 번역된다.

Every statement about a mean translates into one about a sum.

필요한 합은 $80 \times 4 = 320$점, 지금까지는 $72 + 80 + 85 = 237$점:

검산: $\frac{237 + 83}{4} = \frac{320}{4} = 80$ ✓.

The required sum is $80 \times 4 = 320$; so far it's $72 + 80 + 85 = 237$:

Check: $\frac{237 + 83}{4} = \frac{320}{4} = 80$ ✓.

평균: $\frac{6+7+7+8+42}{5} = \frac{70}{5} = 14$. 중앙값: 정렬돼 있고 가운데는 $7$.

네 값이 $6{\sim}8$에 모여 있는데 평균은 $14$ — 극단값 $42$가 끌어올린 결과라 "보통"의 대표로는 중앙값 $7$이 정직하다.

Mean: $\frac{6+7+7+8+42}{5} = \frac{70}{5} = 14$. Median: already sorted, middle is $7$.

Four values cluster at $6{\sim}8$, yet the mean says $14$ — dragged up by the extreme $42$. For "typical," the median $7$ is the honest choice.

합으로 번역한다: 남학생 합 $12 \times 70 = 840$, 여학생 합 $18 \times 75 = 1350$:

두 평균의 단순 평균 $72.5$가 아니다 — 여학생이 더 많아 $75$ 쪽으로 쏠린다. 인원이 다른 집단의 평균은 반드시 합을 거쳐 합쳐야 한다.

Translate to sums: boys total $12 \times 70 = 840$, girls total $18 \times 75 = 1350$:

Not the simple average $72.5$ of the two averages — the larger group pulls the result toward $75$. Averages of unequal groups must merge through their sums.

직접 계산: $\frac{15+19+23}{3} = \frac{57}{3} = 19$.

우연이 아니다 — 모든 자료에 $5$를 더하면 합이 $3 \times 5 = 15$ 커지고, 개수로 나누면 평균은 정확히 $5$ 커진다. 고르게 하기 그림으로는 모든 막대가 $5$칸씩 올라간 것이니 고른 높이도 $5$ 올라간다. "전원에게 같은 변화 → 평균에 그대로 전달"은 두고두고 쓰이는 성질이다.

Directly: $\frac{15+19+23}{3} = \frac{57}{3} = 19$.

No coincidence — adding $5$ to every value raises the sum by $3 \times 5 = 15$, and dividing by the count raises the mean by exactly $5$. In the leveling picture, every bar rose $5$ blocks, so the level rose $5$ too. "The same change for everyone passes straight into the mean" — a property with a long career ahead.

평균을 합으로 번역하면 뺄셈 문제가 된다.

Translate the mean into a sum, and it becomes a subtraction.

네 수의 합은 $15 \times 4 = 60$. 아는 세 수의 합은 $11 + 14 + 19 = 44$:

검산: $\frac{11+14+19+16}{4} = \frac{60}{4} = 15$ ✓.

The four must total $15 \times 4 = 60$. The known three total $11 + 14 + 19 = 44$:

Check: $\frac{11+14+19+16}{4} = \frac{60}{4} = 15$ ✓.

불가능하다. 평균은 "고르게 한 높이"다 — 모두의 점수를 모아 똑같이 나눈 값이므로, 전원이 그보다 높다면 모순이 생긴다.

식으로 보이면: 전원($n$명)의 점수가 평균 $m$보다 크다고 하자. 그러면 합은 $m$짜리 $n$개보다 크다 — $\text{합} > n \times m$. 그런데 평균의 정의에서 $\text{합} = n \times m$이다. "합이 자기 자신보다 크다"는 모순이므로, 전원이 평균 위일 수는 없다. (같은 이유로 전원이 평균 아래일 수도 없다. 전원이 같은 점수라면 전원이 평균과 "같을" 수는 있다.)

채점 기준. "불가능" 판정(1점), 모순 논증 — 합 $> nm$과 합 $= nm$의 충돌, 또는 "고르게 하기에서 모두가 고른 높이보다 높을 수 없다"는 그림 논증(2점). 구체적 수치 예로 시작해도 일반 논거가 담기면 만점.

Impossible. The average is the "leveled height" — everyone's scores pooled and shared equally — so everyone exceeding it creates a contradiction.

In symbols: suppose all $n$ students score above the mean $m$. Then the total exceeds $n$ copies of $m$: $\text{sum} > n \times m$. But the definition of the mean says $\text{sum} = n \times m$. A sum greater than itself is absurd, so not everyone can sit above the mean. (By the same token, not everyone can sit below it. Everyone can equal it — if all scores are identical.)

Grading notes. The verdict (1 pt); the contradiction argument — $\text{sum} > nm$ colliding with $\text{sum} = nm$ — or the leveling picture ("no one can all be above the level line") (2 pts). Starting from a numeric example is fine if a general reason follows.

정렬해 $a \le b \le c \le d \le e$로 놓자. 중앙값과 최빈값 조건이 $c$와 $d$를 거의 정해 준다. 큰 수를 키우려면 나머지를 어떻게 해야 하나?

Sort them as $a \le b \le c \le d \le e$. The median and mode conditions nearly fix $c$ and $d$. To maximize the largest, what must the rest do?

정렬해 $a \le b \le c \le d \le e$라 하자. 합은 $10 \times 5 = 50$이다.

• 중앙값 $12$ → $c = 12$.
• 최빈값이 $12$뿐 → $12$가 두 번 이상. $c = 12$에 더해 $d = 12$로 잡는 것이 $e$를 키우는 데 유리하다($b$를 $12$로 쓰면 $b + c$가 $24$를 차지해 손해).
• $e$를 최대로 하려면 $a, b$를 최소로: 자연수이므로 $a = 1$이 최소인데, $b = 1$이면 $1$도 두 번 나와 최빈값이 $12$뿐이라는 조건이 깨진다. 그래서 $a = 1$, $b = 2$.

확인: $1, 2, 12, 12, 23$ — 합 $50$(평균 $10$) ✓, 가운데 $12$ ✓, $12$만 두 번(유일한 최빈값) ✓. 최댓값은 $23$이다.

Sort: $a \le b \le c \le d \le e$, with total $10 \times 5 = 50$.

• Median $12$ → $c = 12$.
• Unique mode $12$ → $12$ appears at least twice. Taking $d = 12$ (rather than $b = 12$) spends less of the total before $e$.
• To maximize $e$, minimize $a$ and $b$: naturals allow $a = 1$, but $b = 1$ would make $1$ appear twice and break the unique mode. So $a = 1$, $b = 2$.

Verify: $1, 2, 12, 12, 23$ — total $50$ (mean $10$) ✓, middle $12$ ✓, only $12$ repeats (unique mode) ✓. The maximum is $23$.

평균 속력은 (두 속력의 평균)이 아니라 (총거리) ÷ (총시간)이다. 각 방향에 걸린 시간부터.

Average speed is not the average of the two speeds — it is total distance ÷ total time. Start with the time each way.

평균 속력의 정의는 총거리 나누기 총시간이다. 시간부터 구하면 —

갈 때 $120 \div 60 = 2$시간, 올 때 $120 \div 40 = 3$시간. 총거리 $240$ km, 총시간 $5$시간:

단순 평균 $\frac{60+40}{2} = 50$이 아닌 이유: 느린 시속 $40$ 구간에서 더 오래($3$시간 $>$ $2$시간) 달렸기 때문에, 시간으로 가중하면 느린 쪽이 더 무겁게 반영된다. 두 반 평균 문제(p08)와 같은 구조 — 크기가 다른 것의 평균은 단순 평균이 아니다 — 가 속력의 옷을 입고 나타난 것이다.

By definition, average speed is total distance over total time. Times first —

going: $120 \div 60 = 2$ hours; returning: $120 \div 40 = 3$ hours. Total distance $240$ km, total time $5$ hours:

Why not the simple average $\frac{60+40}{2} = 50$: the slow $40$ km/h leg lasted longer ($3$ h $>$ $2$ h), so weighting by time tips the result toward the slow side. The same structure as the two-group average (p08) — unequal weights forbid simple averaging — wearing a speedometer.