연산의 성질Properties of Operations

(a) 두 수의 자리가 바뀌었다 — 교환법칙(덧셈).

(b) 세 수는 그 자리에 그대로 있고 묶음만 바뀌었다 — 결합법칙(곱셈).

(c) 괄호 안의 두 항에 곱셈이 골고루 퍼졌다 — 분배법칙.

(a) The two numbers swapped places — commutative (addition).

(b) The three numbers stayed put; only the grouping changed — associative (multiplication).

(c) The multiplication spread onto both terms in the parentheses — distributive.

$6$과 $4$부터 더하면 $10$이 된다:

$39$와 $4$의 자리를 바꾸고(교환법칙) 새로 묶었다(결합법칙). 덧셈만으로 이어진 식이라 이 재배열이 허용된다.

검산: 왼쪽부터 곧이곧대로 $45 + 4 = 49$ ✓.

Let $6$ meet $4$ first to make $10$:

We swapped $39$ and $4$ (commutative) and regrouped (associative). Since the chain is additions only, the reshuffle is legal.

Check: straight left to right, $45 + 4 = 49$ ✓.

$2 \times 5 = 10$부터 묶는다:

검산: 왼쪽부터 해도 $18 \times 5 = 90$ ✓.

Group $2 \times 5 = 10$ first:

Check: left to right also works — $18 \times 5 = 90$ ✓.

$102 = 100 + 2$로 쪼갠다:

자투리 $2$에도 반드시 $7$을 곱한다 — $700 + 2 = 702$가 흔한 실수다.

Split $102 = 100 + 2$:

The leftover $2$ must be multiplied by $7$ too — $700 + 2 = 702$ is the classic slip.

$25$는 $4$를 만나면 $100$이 된다. $36 = 4 \times 9$로 쪼개서 결합법칙으로 다시 묶는다:

검산: 분배법칙으로도 해 보면 $25 \times 36 = 25 \times (40 - 4) = 1000 - 100 = 900$ ✓ — 같은 답에 이르는 길이 여럿이다.

$25$ turns into $100$ the moment it meets a $4$. Split $36 = 4 \times 9$ and regroup:

Check via a different road — distribution: $25 \times 36 = 25 \times (40 - 4) = 1000 - 100 = 900$ ✓. Several routes, one answer.

공통 인수 $9$를 거꾸로 분배(묶기)한다:

검산: $783 + 117 = 900$ ✓.

Run distribution in reverse — pull out the common factor $9$:

Check: $783 + 117 = 900$ ✓.

성립하지 않는다. 반례 하나면 충분하다. $16,\ 4,\ 2$를 잡으면

$2 \neq 8$이므로 묶는 방법에 따라 값이 달라진다 — 나눗셈은 결합법칙이 없다. 그래서 $16 \div 4 \div 2$ 같은 식은 "왼쪽부터"라는 약속으로 읽는 것이다.

채점 기준. ① "성립하지 않는다"는 판단이 기본. ② 구체적인 세 수로 두 묶음의 값을 모두 계산해 다름을 보이면 만점. 다른 반례(예: $8 \div 4 \div 2$)도 두 값이 실제로 다르면 모두 만점. "예를 몇 개 확인했더니 되던데요"는 성립의 근거가 될 수 없지만, 반례 하나는 불성립의 완전한 근거가 된다는 점을 함께 언급하면 더 좋다.

It is not, and one counterexample settles it. Take $16,\ 4,\ 2$:

Since $2 \neq 8$, the value depends on the grouping — division has no associative property. That is exactly why an expression like $16 \div 4 \div 2$ must be read with the "left to right" agreement.

Grading guide. ① The verdict "not associative": base credit. ② Computing both groupings of one concrete triple and showing they differ: full credit. Any other valid counterexample (say $8 \div 4 \div 2$) earns full credit too. Bonus insight worth mentioning: a few confirming examples could never prove a property, but a single counterexample fully disproves one.

$17 = 20 - 3$으로 쪼갠다:

검산: 더하기 방향으로도 $8 \times (10 + 7) = 80 + 56 = 136$ ✓.

Split $17 = 20 - 3$:

Check via the addition form: $8 \times (10 + 7) = 80 + 56 = 136$ ✓.

$999 = 1000 - 1$이다:

검산: 일의 자리 확인 — $9 \times 7 = 63$이므로 끝자리는 $3$이어야 하고, 실제로 $6993$의 끝자리는 $3$ ✓.

Use $999 = 1000 - 1$:

Check the last digit: $9 \times 7 = 63$, so the product must end in $3$ — and $6993$ does ✓.

곱셈만으로 이어진 식이므로 마음대로 재배열할 수 있다. $100$과 $1000$을 만드는 짝을 찾는다:

$4 \times 25 = 100$, $8 \times 125 = 1000$은 암산에서 두고두고 쓰는 짝이니 외워 둘 가치가 있다 — 외우더라도 근거는 분명하다. 직접 곱해 보면 된다.

검산: 순서대로 계산하면 $32 \times 25 = 800$, $800 \times 125 = 100{,}000$ ✓.

A multiplication-only chain can be reshuffled freely. Hunt for pairs that make $100$ and $1000$:

The pairs $4 \times 25 = 100$ and $8 \times 125 = 1000$ come up so often in mental math that they're worth remembering — and the justification is one direct multiplication away, so nothing is taken on faith.

Check, computing in order: $32 \times 25 = 800$, then $800 \times 125 = 100{,}000$ ✓.

같은 세 수, 같은 순서인데 묶음만 바꿨더니 값이 달라졌다. 뺄셈에는 결합법칙이 없다는 반례다. 괄호 없는 $12 - 7 - 3$을 "왼쪽부터"로 읽기로 약속한 이유가 바로 이것이다 — 약속이 없으면 이 식은 $2$인지 $8$인지 정해지지 않는다.

Same three numbers in the same order; only the grouping moved, and the value changed. That's a counterexample: subtraction has no associative property. It is exactly why the parentheses-free $12 - 7 - 3$ needs the "left to right" agreement — without it, the expression wouldn't have a definite value at all.

정의에 그대로 대입한다.

$15 \neq 16$이므로 $\star$는 교환법칙을 만족하지 않는다 — 반례 하나로 충분하다.

곱 부분 $3 \times 4 = 4 \times 3$은 양쪽이 같다. 차이는 뒤에 더하는 "앞의 수"에서 생긴다: 앞자리가 $3$이냐 $4$냐에 따라 덧붙는 양이 달라진다. 같은 이유로 $a \star b$와 $b \star a$가 같아지는 것은 $a = b$일 때뿐이다.

경시에서는 이렇게 낯선 연산을 정의해 주고 성질을 묻는 문제가 단골이다. 요령은 하나 — 정의를 문자 그대로, 기계처럼 대입하는 것.

Substitute straight into the definition:

Since $15 \neq 16$, the operation $\star$ is not commutative — one counterexample is all it takes.

The product part is symmetric ($3 \times 4 = 4 \times 3$); the difference comes from the tacked-on "first number": whether the front slot holds $3$ or $4$ changes what gets added. For the same reason, $a \star b = b \star a$ happens only when $a = b$.

Contests love inventing operations like this and asking about their properties. The one skill required: substitute into the definition literally, like a machine.

덧셈만으로 이어진 식이므로 교환·결합법칙이 마음대로 재배열할 권리를 준다. 양 끝에서 하나씩 짝을 지어 보자:

모든 짝의 합이 $21$로 같다! $1$부터 $20$까지 스무 개의 수가 두 개씩 묶였으니 짝은 $10$개이고,

검산: 작은 경우로 방법을 점검 — $1 + 2 + 3 + 4$를 짝짓기로 하면 $(1+4) + (2+3) = 5 \times 2 = 10$, 직접 더해도 $10$ ✓.

수학자 가우스가 어린 시절 $1$부터 $100$까지의 합을 이 방법으로 순식간에 구했다는 이야기가 전해진다. 재배열이라는 "당연해 보이는 자유"가 사실은 교환·결합법칙이 보증하는 권리라는 것 — 그게 오늘 차시의 핵심이고, 이 문제는 그 권리가 얼마나 강력한지 보여준다.

An addition-only chain comes with the right to rearrange freely, courtesy of the commutative and associative properties. Pair the numbers from the two ends:

Every pair sums to $21$! Twenty numbers grouped in twos make $10$ pairs, so the total is

Check the method on a small case: $1 + 2 + 3 + 4$ paired is $(1+4) + (2+3) = 5 \times 2 = 10$, and adding directly also gives $10$ ✓.

The story goes that the mathematician Gauss, as a schoolboy, summed $1$ through $100$ this way in seconds. The "obvious-looking" freedom to rearrange is really a right guaranteed by the commutative and associative properties — that's the heart of this lesson, and this problem shows how much that right is worth.