분수의 덧셈과 뺄셈Adding & Subtracting Fractions

$\frac19$짜리 조각이 $2 + 5 = 7$개:

$7$과 $9$의 공약수는 $1$뿐이므로 기약분수다.

Count the $\frac19$-pieces: $2 + 5 = 7$ of them:

$7$ and $9$ share only the factor $1$, so this is simplest form.

마지막 약분($\div 2$)까지 해야 끝난 답이다.

검산: $\frac25 + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ ✓.

The final reduction ($\div 2$) is part of the job.

Check: $\frac25 + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ ✓.

공통분모 $6$으로 통분한다:

검산: 크기 감각으로 — 절반에 그보다 작은 양을 더했으니 답은 $\frac12$과 $1$ 사이여야 하는데, $\frac56$이 맞다 ✓.

Use the common denominator $6$:

Check by size: half plus something smaller than half should land between $\frac12$ and $1$ — and $\frac56$ does ✓.

검산: $\frac13 + \frac12 = \frac26 + \frac36 = \frac56$ ✓.

Check: $\frac13 + \frac12 = \frac26 + \frac36 = \frac56$ ✓.

$4$와 $6$의 최소공배수는 $12$:

검산: 크기 감각 — 두 수 모두 $\frac12$보다 크므로 합은 $1$을 넘어야 하고, 실제로 넘는다 ✓. $19$와 $12$의 공약수는 $1$뿐 ✓.

The least common multiple of $4$ and $6$ is $12$:

Check by size: both addends exceed $\frac12$, so the sum must pass $1$ — and it does ✓. Also $19$ and $12$ share no factor but $1$ ✓.

$6$과 $8$의 최소공배수는 $24$:

검산: $\frac{11}{24} + \frac38 = \frac{11}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20}{24} = \frac56$ ✓.

The least common multiple of $6$ and $8$ is $24$:

Check: $\frac{11}{24} + \frac38 = \frac{11}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20}{24} = \frac56$ ✓.

정수끼리, 분수끼리:

합치면 $3\tfrac56$이다.

검산: 가분수 길로 — $\frac73 + \frac32 = \frac{14}{6} + \frac96 = \frac{23}{6} = 3\tfrac56$ ✓.

Wholes together, fractions together:

Combined: $3\tfrac56$.

Check by the improper road: $\frac73 + \frac32 = \frac{14}{6} + \frac96 = \frac{23}{6} = 3\tfrac56$ ✓.

(a) 공통분모 $15$: $\frac23 = \frac{10}{15}$, $\frac35 = \frac{9}{15}$. $10 > 9$이므로 $\frac23 > \frac35$.

(b) $8$과 $12$의 최소공배수 $24$: $\frac58 = \frac{15}{24}$, $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$. $15 > 14$이므로 $\frac58 > \frac{7}{12}$.

둘 다 $\frac12$ 잣대로는 판정이 안 되는 쌍(모두 $\frac12$보다 크다)이라 통분이 필요했다.

(a) Common denominator $15$: $\frac23 = \frac{10}{15}$ and $\frac35 = \frac{9}{15}$. Since $10 > 9$, $\frac23 > \frac35$.

(b) The least common multiple of $8$ and $12$ is $24$: $\frac58 = \frac{15}{24}$ and $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$. Since $15 > 14$, $\frac58 > \frac{7}{12}$.

Both pairs sit above $\frac12$, so the benchmark couldn't separate them — hence the common denominators.

더한 것을 되돌리면 된다 — $\frac56$에서 $\frac14$을 뺀다:

검산: $\frac{7}{12} + \frac14 = \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac56$ ✓.

Undo the addition — subtract $\frac14$ from $\frac56$:

Check: $\frac{7}{12} + \frac14 = \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac56$ ✓.

분수 부분끼리는 $\frac14 - \frac34$이 안 되므로, $3\tfrac14$의 정수에서 $1$을 헐어 온다:

이제 정수끼리, 분수끼리 뺄 수 있다:

검산: 가분수 길로 — $\frac{13}{4} - \frac74 = \frac64 = \frac32 = 1\tfrac12$ ✓. 그리고 $1\tfrac12 + 1\tfrac34 = 2 + \frac54 = 3\tfrac14$ ✓.

The fraction parts won't subtract ($\frac14 - \frac34$ comes up short), so borrow a $1$ from the whole part:

Now wholes and fractions subtract cleanly:

Check by the improper road: $\frac{13}{4} - \frac74 = \frac64 = \frac32 = 1\tfrac12$ ✓. And $1\tfrac12 + 1\tfrac34 = 2 + \frac54 = 3\tfrac14$ ✓.

(a) 공통분모 $8$:

(b) $2 = \frac{16}{8}$이므로

검산: $\frac{11}{8} + \frac58 = \frac{16}{8} = 2$ ✓ — 모자란 만큼 보태면 정확히 $2$ m가 된다.

(a) Common denominator $8$:

(b) Since $2 = \frac{16}{8}$,

Check: $\frac{11}{8} + \frac58 = \frac{16}{8} = 2$ ✓ — adding the shortfall lands exactly on $2$ m.

크기만 봐도 틀렸다는 것이 드러난다. $\frac25$는 $\frac12$보다 작다($\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$). 그런데 $\frac12$에 양수 $\frac13$을 더한 결과가 $\frac12$보다 작아질 수는 없다. 계산 과정을 보기 전에 답의 크기가 이미 모순이다.

틀린 원인: 분모는 조각의 크기를 나타내는 라벨이라 더하는 양이 아닌데, 분자처럼 더해 버렸다.

옳은 계산은 통분으로:

채점 기준. ① 크기 논증(더했는데 한쪽보다 작아짐 — 모순)으로 반박하면 기본 점수. ② 옳은 값 $\frac56$: 추가 점수. ③ 분모를 더하면 안 되는 이유(분모 = 조각 크기 라벨)까지 설명하면 만점. 다른 타당한 반박(예: $\frac13 = \frac{2}{6}$인데 답 $\frac25 = \frac{2.4}{6}$보다… 등 논리가 맞는 것)도 만점.

Size alone gives it away. $\frac25$ is less than $\frac12$ (since $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$). But adding the positive amount $\frac13$ to $\frac12$ cannot produce something smaller than $\frac12$. The answer contradicts itself before you check a single step.

The root cause: a denominator is a label for the piece size, not a quantity to combine — and it got added as if it were a numerator.

The correct computation, via a common denominator:

Grading guide. ① The size argument (a sum can't be smaller than one of its addends): base credit. ② The correct value $\frac56$: more credit. ③ Explaining why denominators must not be added (they label piece size): full credit. Any other sound refutation earns full credit as well.

$\frac12 - \frac13$을 통분해서 계산해 보라. 결과가 낯익지 않은가? $\frac13 - \frac14$도.

Compute $\frac12 - \frac13$ with a common denominator. Recognize the result? Now try $\frac13 - \frac14$.

앞에서부터 더하며 부분합을 관찰한다.

부분합이 $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45$ — 규칙이 선명하다. 답은 $\frac45$이다.

왜 이런 규칙이 나올까. 더해지는 분수들이 특별하다:

(각각 통분해서 확인해 보라 — 예: $\frac12 - \frac13 = \frac36 - \frac26 = \frac16$ ✓). 그래서 전체 합은

이고, $-\frac13$과 $+\frac13$, $-\frac14$과 $+\frac14$이 짝지어 사라진다. 남는 것은 $\frac12 + \frac12 - \frac15 = 1 - \frac15 = \frac45$. 가운데가 도미노처럼 무너지는 이런 합은 경시의 단골손님이다 — 항이 100개라도 같은 원리로 한 줄에 끝난다.

Add from the left and watch the partial sums:

The running totals read $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45$ — an unmistakable pattern. The answer is $\frac45$.

Why the pattern appears. These summands are special:

(verify each with a common denominator — e.g. $\frac12 - \frac13 = \frac36 - \frac26 = \frac16$ ✓). So the whole sum is

and the $-\frac13$ cancels the $+\frac13$, the $-\frac14$ cancels the $+\frac14$. What survives is $\frac12 + \frac12 - \frac15 = 1 - \frac15 = \frac45$. Sums whose middles collapse like dominoes are contest regulars — with a hundred terms the same idea still finishes in one line.