제곱근 맛보기Square Roots, a First Look

$8^2 = 64$이므로 $\sqrt{64} = 8$.

$8^2 = 64$, so $\sqrt{64} = 8$.

한 변을 $s$라 하면 $s^2 = 144$이고, $12^2 = 144$이므로 $s = \sqrt{144} = 12$ cm.

If the side is $s$, then $s^2 = 144$, and $12^2 = 144$ gives $s = \sqrt{144} = 12$ cm.

$11^2 = 121$이므로 $\sqrt{121} = 11$. ($10^2 = 100$과 $12^2 = 144$ 사이 — 제곱표에서 바로 나온다.)

$11^2 = 121$, so $\sqrt{121} = 11$. (It sits between $10^2 = 100$ and $12^2 = 144$ — straight from the table.)

이므로 $8 < \sqrt{70} < 9$.

so $8 < \sqrt{70} < 9$.

$14^2 = 196$이므로 $\sqrt{196} = 14$.

소인수분해로도 보인다: $196 = 2^2 \times 7^2 = (2 \times 7)^2 = 14^2$ — 지수가 모두 짝수인 수의 제곱근은 지수를 절반으로 줄여 얻는다.

$14^2 = 196$, so $\sqrt{196} = 14$.

Prime factorization shows it too: $196 = 2^2 \times 7^2 = (2 \times 7)^2 = 14^2$ — halve the (all-even) exponents to read off the root.

$1.5^2 = 1.5 \times 1.5 = 2.25$이므로 답은 $1.5$, 즉 $\sqrt{2.25} = 1.5$.

분수로 봐도 된다: $2.25 = \frac94$이고 $\left(\frac32\right)^2 = \frac94$ ✓. 제곱근은 자연수 전용이 아니다.

$1.5^2 = 1.5 \times 1.5 = 2.25$, so the answer is $1.5$ — that is, $\sqrt{2.25} = 1.5$.

In fractions: $2.25 = \frac94$ and $\left(\frac32\right)^2 = \frac94$ ✓. Square roots are not reserved for whole numbers.

한 변은 $\sqrt{625} = 25$ m ($25^2 = 625$). 울타리는 둘레이므로

넓이에서 변으로 건너가는 다리가 제곱근이다.

The side is $\sqrt{625} = 25$ m (since $25^2 = 625$). The fence is the perimeter:

The square root is the bridge from area to side.

$7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$이므로 $7 < \sqrt{50} < 8$. 어느 쪽에 가까운가 — $7.5^2 = 56.25$인데 $50 < 56.25$이므로 $\sqrt{50}$은 $7.5$보다 왼쪽, 즉 $7$ 쪽이다.

가장 가까운 자연수는 $7$. (실제로 $\sqrt{50} \approx 7.07$.)

$7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ gives $7 < \sqrt{50} < 8$. Which side is closer? $7.5^2 = 56.25$ and $50 < 56.25$, so $\sqrt{50}$ lies left of $7.5$ — on the $7$ side.

The closest whole number is $7$. (In fact $\sqrt{50} \approx 7.07$.)

셋 다 제곱해서 견준다: $30$, $5.5^2 = 30.25$, $35$. 양수는 제곱의 순서가 원래 순서와 같으므로

$5.5$를 $\sqrt{30.25}$로 바꿔 근호 안끼리 비교한 셈이다.

Square all three and compare: $30$, $5.5^2 = 30.25$, $35$. For positive numbers the order of squares matches the original order, so

In effect, $5.5$ was rewritten as $\sqrt{30.25}$ so everything could be compared under the sign.

$1.41$과 $1.42$를 각각 제곱해서 $2$가 그 사이에 갇히는지 확인하자.

Square $1.41$ and $1.42$, and check that $2$ is trapped between the results.

울타리 양쪽을 제곱으로 확인한다:

따라서 $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ — 소수 둘째 자리까지의 어림은 $1.41$이다.

경계 양쪽을 모두 확인해야 완성이다. $1.41^2 < 2$만으로는 $\sqrt2$가 $1.42$를 넘는지 알 수 없다.

Check both fence posts by squaring:

Hence $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ — to two decimal places, $\sqrt2 \approx 1.41$.

Both sides of the boundary are required: $1.41^2 < 2$ alone doesn't rule out $\sqrt2$ reaching past $1.42$.

옳지 않다. 값을 직접 계산하면

로 서로 다르다. 근호는 덧셈 위로 그냥 지나갈 수 없다.

넓이로 보면 이유가 선명하다. $\sqrt9 + \sqrt{16}$은 넓이 $9$인 정사각형의 변($3$)과 넓이 $16$인 정사각형의 변($4$)을 이어 붙인 길이다. 그 길이 $7$을 변으로 하는 정사각형의 넓이는 $49$ — 두 넓이의 합 $25$보다 훨씬 크다. 변을 더하면 넓이는 "합"이 아니라 훌쩍 커지기 때문에($7^2 = 49 \neq 25$), 넓이의 합의 제곱근과 변의 합은 다른 수다.

채점 기준. "옳지 않다" 판정과 두 값($7$과 $5$)의 계산(1점), 근호가 덧셈과 섞이지 않는 이유의 설명 — 넓이 논증 또는 "$7^2 = 49 \neq 25$" 역검산(2점). 반례 하나로 규칙이 무너짐을 명확히 서술했으면 방법과 무관하게 만점.

It's wrong. Direct values:

— different numbers. The root sign does not pass through a plus.

The area picture makes the reason vivid. $\sqrt9 + \sqrt{16}$ is the side of a $9$-area square ($3$) laid end to end with the side of a $16$-area square ($4$): length $7$. A square with side $7$ has area $49$ — far more than the combined area $25$. Adding sides inflates area well beyond the sum ($7^2 = 49 \neq 25$), which is exactly why the sum of roots differs from the root of the sum.

Grading notes. The verdict with both values computed ($7$ vs. $5$) (1 pt); a reason the root and the plus don't mix — the area argument or the reverse check $7^2 = 49 \neq 25$ (2 pts). A single clear counterexample fully refutes the rule — full credit by any sound route.

세 수가 모두 양수이니 부등식 전체를 제곱해도 순서가 유지된다.

All three quantities are positive, so squaring the whole inequality preserves the order.

모두 양수이므로 제곱해도 부등호가 보존된다:

양 끝을 제외한 자연수는 $145, 146, \ldots, 168$로

개수 셈 검산: $144$부터 $169$까지는 $26$개이고 양 끝 두 개를 빼면 $24$개 ✓.

Everything is positive, so squaring preserves the inequalities:

The whole numbers strictly between are $145, 146, \ldots, 168$:

Count check: $144$ through $169$ is $26$ numbers; dropping both endpoints leaves $24$ ✓.

양 끝부터 짝을 지어 더해 보자. 그리고 더한 홀수가 모두 몇 개인지 세어 보자.

Pair the numbers from both ends. Then count how many odd numbers you added.

양 끝 짝짓기로 합부터 구한다:

그런데 우연이 아니다 — 더한 홀수는 정확히 $10$개이고, 합은 $10^2$이다. 작은 경우로 실험하면 같은 무늬가 반복된다:

처음 $k$개 홀수의 합은 언제나 $k^2$이다. 이유는 그림 하나로 보인다: $k \times k$ 정사각형 점판에 ㄱ자(기역자) 테두리를 한 겹씩 두르면 점이 $1, 3, 5, \ldots$개씩 늘어나며 다음 정사각형이 완성된다. 홀수를 차곡차곡 더하는 일이 곧 정사각형을 키우는 일이다.

Pair from both ends to get the sum:

And it's no accident — exactly $10$ odd numbers were added, and the sum is $10^2$. Small cases repeat the pattern:

The sum of the first $k$ odd numbers is always $k^2$. One picture explains it: around a $k \times k$ square of dots, each successive L-shaped border adds $1, 3, 5, \ldots$ dots and completes the next square. Adding odd numbers one by one is growing a square.