확률 계산의 노동은 결국 세기다. 동전 두 개를 던지면 몇 가지가 나오나 — "둘 다 앞, 둘 다 뒤, 하나씩. 세 가지!"라고 하기 쉽지만, 동전을 첫째·둘째로 구분해 순서를 정해 나열하면 다르게 보인다:
"하나씩"은 사실 앞뒤와 뒤앞, 두 경우다. 나열의 규칙 — 첫째 것부터, 사전 순서로 — 을 정해 두면 빠뜨리지도 겹치지도 않는다. 세기의 모든 기술은 이 규율 위에 선다.
티셔츠 벌(A, B, C)과 바지 벌(, )로 만들 수 있는 옷차림은? 나뭇가지로 그려 보면:
티셔츠 각각에 대해 바지가 가지씩 — 묶음 가지 가지다. 일반화하면:
곱셈 원리라 부르는 이 사실은 이미 만난 적이 있다 — 좌표평면에서 , 인 격자점을 으로 세던 그 계산이다. 선택이 세 번이면 세 수의 곱: 동전 세 개는 가지.
주사위 두 개를 던지면 곱셈 원리로 가지 — 표로 펼치면 확률 문제의 지도가 된다. 칸에 두 눈의 합을 적으면:
두 주사위의 합이 일 확률을 구하여라.
풀이. 표에서 을 찾으면 대각선으로 여섯 칸 — :
표를 보면 이 가장 많은 합임도 보인다 — 주사위 게임들이 을 특별 취급하는 이유다.
여기서도 순서 규율이 일한다 — 와 는 다른 칸이다. "합이 "를 의 두 가지로 세면 을 빠뜨린 것이다.
동전 세 개를 던져 적어도 하나 앞면일 확률은? 정공법은 앞면 개·개·개인 경우를 나눠 세는 것 — 되지만 번거롭다. 지난 차시의 여사건이 지름길을 낸다. "적어도 하나 앞면"의 반대는 딱 하나, 전부 뒷면이다:
"적어도"라는 말이 보이면 반대쪽부터 세어 보라 — 반대쪽은 대개 한 줌이다. 이 지름길은 동전이 열 개로 늘어도 똑같이 통한다() — 정공법의 수고는 열 배가 되지만 여사건은 그대로다.
빠짐없이·겹침 없이 세는 기술 — 나열, 곱셈 원리, 표, 여사건 — 은 여기서 끝나지 않는다. 순서를 따질 때와 안 따질 때, 겹치는 것을 빼는 법 등 세기의 본격적인 세계가 경시 과정(Competition I의 세기 단원)과 뒤 과정의 확률 단원에서 이어진다.
The labor behind probability is counting. Toss two coins — how many outcomes? "Both heads, both tails, one of each: three!" is the tempting answer. But distinguish the coins as first and second, and list in a fixed order:
"One of each" is really two outcomes: HT and TH. Fix a listing rule — first coin first, dictionary order — and nothing gets skipped or double-counted. Every counting technique stands on this discipline.
Three shirts (A, B, C) and two pairs of pants (, ): how many outfits? Draw the tree:
For each shirt there are pants — bundles of , making . In general:
This multiplication principle has appeared before — it's exactly how the lattice points with , got counted as . Three choices in a row multiply three numbers: three coins give outcomes.
Two dice give outcomes by the multiplication principle — spread them into a table and you have a map for every two-dice question. Fill each cell with the sum:
Find the probability that two dice sum to .
Solution. Hunting s in the table finds a diagonal of six cells — :
The table also reveals that is the most frequent sum — the reason dice games treat as special.
The ordering discipline works here too — and are different cells. Counting "sum of " as just and silently drops .
Three coins: the probability of at least one head? The direct route splits into cases — exactly , , or heads — workable but tedious. Last lesson's complement cuts straight through: the opposite of "at least one head" is a single outcome, all tails:
When the words "at least" appear, try counting the other side — the other side is usually a handful. And the shortcut scales: with ten coins it's still one line, , while the direct route's labor multiplies tenfold.
Counting without gaps or repeats — listing, the multiplication principle, tables, complements — doesn't end here. When order matters and when it doesn't, how to subtract overlaps: the deeper world of counting continues in the competition track (Competition I's counting unit) and in later probability courses.
동전 두 개를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우를 나열하고, 몇 가지인지 답하여라.
List every outcome of tossing two coins, and state how many there are.
첫째 동전부터 순서를 정해 나열한다: 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤. 앞뒤와 뒤앞은 다른 경우다 — 그래서 가지가 아니라 가지.
List in a fixed order, first coin first: HH, HT, TH, TT. HT and TH are different outcomes — hence , not .
아이스크림 가게에 맛이 가지, 콘 종류가 가지 있다. 맛 하나와 콘 하나를 고르는 방법은 모두 몇 가지인가?
An ice-cream shop offers flavors and kinds of cone. How many flavor-and-cone combinations are there?
곱셈 원리 — 맛 각각에 대해 콘이 가지씩:
The multiplication principle — for each flavor, cones:
두 주사위의 합이 일 확률을 구하여라.
Find the probability that two dice sum to .
합이 인 칸은 — 세 가지(을 빠뜨리기 쉽다):
The cells summing to : — three of them (the easy one to drop is ):
동전 두 개를 던질 때 둘 다 앞면일 확률을 구하여라.
Two coins are tossed. Find the probability both show heads.
네 경우(앞앞·앞뒤·뒤앞·뒤뒤) 중 하나:
One of the four outcomes (HH, HT, TH, TT):
두 주사위를 던질 때 두 눈이 같을 확률을 구하여라.
Two dice are rolled. Find the probability of doubles.
같은 눈은 표의 대각선 — 여섯 칸:
Doubles form the table's diagonal — six cells:
티셔츠 벌, 바지 벌, 모자 개로 만들 수 있는 옷차림(각 하나씩)은 모두 몇 가지인가?
With shirts, pants, and hats (one of each), how many outfits are possible?
선택이 세 번이면 세 수의 곱:
Three choices in a row multiply three numbers:
두 주사위를 던질 때 적어도 하나가 일 확률을 구하여라.
Two dice are rolled. Find the probability that at least one shows a .
반대쪽 — 둘 다 이 아닐 경우 — 를 곱셈 원리로 세어 보자.
Count the other side — no sixes at all — with the multiplication principle.
여사건으로 간다. 이 하나도 없으려면 두 주사위 모두 — 곱셈 원리로 가지:
직접 세어 검산: 첫째가 인 경우 가지 둘째만 인 경우 가지 가지 ✓.
Take the complement. No sixes means both dice land — ways:
Direct-count check: first die gives cells, second-only- gives more — cells ✓.
가 적힌 카드 넉 장 중 두 장을 뽑아 나란히 놓아 두 자리 수를 만든다. 만들 수 있는 두 자리 수는 모두 몇 가지인가?
Two of the cards are drawn and placed side by side to form a two-digit number. How many such numbers are possible?
십의 자리에 가지, 그 각각에 대해 일의 자리는 남은 장 중 하나:
두 번째 선택의 가짓수가 가 아니라 인 것이 요점이다 — 이미 쓴 카드는 다시 못 쓴다.
Four choices for the tens digit, and for each, the units digit comes from the remaining cards:
The point: the second choice offers , not — a used card can't be reused.
두 주사위의 합이 이상일 확률을 구하여라.
Find the probability that two dice sum to or more.
합이 인 칸을 표에서 센다: 와 와 — 모두 칸:
표의 오른쪽 아래 구석 삼각형이 그대로 답이다.
Count the cells with sums : , then , then — six cells:
It's exactly the table's lower-right corner triangle.
카드 두 장으로 만든 두 자리 수(문제 8) 중 하나를 무작위로 만들 때, 짝수가 될 확률을 구하여라.
One of the two-digit numbers from problem 8 is formed at random. Find the probability it is even.
짝수인지는 일의 자리가 정한다 — 일의 자리부터 고르며 세어 보자.
Evenness is decided by the units digit — count by choosing that digit first.
짝수가 되려면 일의 자리가 또는 여야 한다. 조건이 있는 자리부터 센다: 일의 자리 가지, 그 각각에 십의 자리는 남은 장 —
전체 가지 중 가지이므로 .
까다로운 조건이 걸린 자리부터 고르는 것 — 세기의 중요한 요령이다.
Even requires the units digit to be or . Count from the constrained position: choices for the units digit, and for each, remaining cards for the tens —
Out of in all: .
Choosing the constrained slot first — a counting habit worth keeping.
지안이는 "동전 두 개를 던지면 '모두 앞', '하나씩', '모두 뒤'의 세 경우이므로, 하나씩 나올 확률은 "이라고 주장한다. 무엇이 틀렸는지 설명하고 옳은 확률을 구하여라.
Jian argues: "Two coins give three cases — both heads, one of each, both tails — so the chance of one-of-each is ." Explain the flaw and find the correct probability.
경우를 세 갈래로 나눈 것 자체는 되지만, 세 갈래의 가능성이 같지 않다 — 확률 공식은 "모든 경우의 가능성이 같을 때"만 쓸 수 있다는 전제(지난 차시)를 어긴 것이다.
동전을 첫째·둘째로 구분해 대등한 경우로 펼치면 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤의 가지이고, "하나씩"은 그중 앞뒤와 뒤앞 두 경우를 합친 묶음이다:
실험으로도 확인된다 — 동전 두 개를 여러 번 던지면 "하나씩"이 대략 절반으로 나온다. 묶음을 경우로 착각하면 가능성이 배인 묶음과 배인 묶음을 같은 무게로 세게 된다.
채점 기준. 전제 위반("세 갈래는 대등하지 않다") 지적(1점), 가지 대등한 경우로 펼쳐 옳은 확률 도출(2점). 나뭇가지 그림이나 표로 설명해도 만점.
Splitting into three groups is allowed — but the three groups are not equally likely, and the probability formula's premise (last lesson) demands equally likely cases.
Distinguish the coins and unfold into truly equal cases: HH, HT, TH, TT — four. "One of each" is a bundle of two of them, HT and TH:
Experiment agrees — toss two coins many times and "one of each" lands about half the time. Mistaking bundles for cases weighs a double-likelihood bundle the same as a single one.
Grading notes. Naming the violated premise ("the three groups aren't equal") (1 pt); unfolding into the four equal cases and reaching (2 pts). A tree diagram or table earns full credit.
두 사람이 가위바위보를 한 번 한다. 비길 확률을 구하여라.
Two people play one round of rock-paper-scissors. Find the probability of a tie.
두 사람의 선택을 순서쌍으로 나열하면 전체가 몇 가지인가?
List the two choices as ordered pairs — how many in all?
두 사람이 각각 가지를 내므로, 곱셈 원리로 전체는 가지 — 모두 대등하다.
비기는 것은 둘이 같은 것을 내는 경우: (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보) — 가지:
덤으로, 이기는 경우와 지는 경우도 각 가지씩 — 가지가 으로 공평하게 갈린다. 가위바위보가 공정한 게임인 이유가 이 표에 있다.
Each player has choices, so the multiplication principle gives equally likely pairs.
Ties are the matching pairs: (rock, rock), (paper, paper), (scissors, scissors) — three:
As a bonus, wins and losses also number each — the outcomes split . That table is precisely why rock-paper-scissors is a fair game.
격자 도로에서 어느 교차로부터 오른쪽으로 칸, 위로 칸 떨어진 교차로까지 최단 경로로 가려 한다. 서로 다른 최단 경로는 모두 몇 가지인가?
On a street grid, you walk from one intersection to another that is blocks right and blocks up, by a shortest route. How many different shortest routes are there?
최단 경로는 오른쪽(→) 2번과 위(↑) 2번을 어떤 순서로 섞느냐로 정해진다 — 순서를 정해 나열해 보자.
A shortest route is decided by how the two rights (→) and two ups (↑) interleave — list the arrangements in a fixed order.
최단 경로는 →를 번, ↑를 번, 총 걸음을 섞은 배열과 일대일이다. 사전 순서로 빠짐없이 나열하면:
— 가지다.
검산은 다른 길로: 각 교차로에 "그곳까지 오는 경로 수"를 적어 가면(왼쪽 수 + 아래 수), 으로 쌓여 도착점에 이 적힌다 ✓. 이 두 방법 — 배열 나열과 격자 덧셈 — 이 만나는 지점에서 경시 세기의 본격적인 이야기가 시작된다.
Shortest routes correspond exactly to arrangements of two →'s and two ↑'s — four steps in some order. Listing in dictionary order, no gaps:
— six routes.
Check by another road: label each intersection with the number of ways to reach it (left neighbor lower neighbor); the labels build up , stamping on the destination ✓. Where these two methods meet — arrangement-listing and grid-addition — is where competition counting begins in earnest.