둘레와 넓이Perimeter & Area

Pre-AlgebraPre-Algebra · 8. 도형 기초8. Geometry Basics

학습 목표

둘레와 넓이를 구분하고, 직사각형의 둘레·넓이를 구할 수 있다.
평행사변형·삼각형·사다리꼴의 넓이 공식을 "잘라 옮기기"와 "두 배로 복사하기"로 유도할 수 있다.
넓이를 잴 때 높이와 빗변을 혼동하지 않는다.
복합 도형을 나누거나 빼서 둘레·넓이를 구할 수 있다.
같은 둘레라도 넓이가 다를 수 있음을 안다.

둘레와 넓이: 다른 두 질문

도형에 대한 기본 질문이 둘 있다. 둘레는 "경계를 따라 걸으면 얼마인가"(길이), 넓이는 "안쪽을 덮는 데 얼마가 드는가"(면의 크기). 단위부터 다르다 — cm와 cm $^2$ (거듭제곱 차시에서 본 그 지수다).

직사각형은 둘 다 즉답이다. 가로 $a$ , 세로 $b$ 면 둘레는 $2(a + b)$ (문자와 식 차시에서 세운 그 식). 넓이는 한 변 $1$ 짜리 단위 정사각형이 몇 개 들어가는가로 정의되는데, 직사각형에는 가로 $a$ 개씩 $b$ 줄:

가로 5, 세로 3이면 단위 정사각형이 5 × 3 = 15개.

\text{직사각형의 넓이} = a \times b.

곱셈의 넓이 모델(분수 곱셈 차시)이 사실은 이 정의였다. 이제 이 한 공식에서 나머지 공식들을 전부 유도한다 — 새로 외울 것은 없고, 자를 줄만 알면 된다.

평행사변형: 잘라서 옮기면 직사각형

평행사변형은 기울어져 있어 단위 정사각형이 바로 안 맞는다. 그러면 반듯하게 고치자 — 한쪽 끝의 삼각형을 잘라 반대쪽에 붙이면 정확히 직사각형이 된다:

왼쪽 삼각형을 잘라 오른쪽에 붙이면 밑변 b, 높이 h의 직사각형.

잘라 옮겨도 넓이는 변하지 않으므로

\text{평행사변형의 넓이} = (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = bh.

주의

높이 $h$ 는 밑변에 수직으로 잰 거리다 — 기울어진 옆변(빗변)의 길이가 아니다. 평행사변형이 옆으로 심하게 누울수록 옆변은 길어지지만 높이는 오히려 줄어든다. 문제에 변의 길이와 높이가 함께 주어지면, 넓이에 쓰이는 것은 언제나 높이 쪽이다.

삼각형: 두 배로 복사하면 평행사변형

삼각형은 반대 전략을 쓴다 — 자르는 대신 복사해서 붙인다. 삼각형을 하나 더 복사해 $180°$ 돌려 붙이면 평행사변형이 된다:

같은 삼각형 두 장이 평행사변형을 이룬다 — 삼각형은 그 절반.

평행사변형(넓이 $bh$ )이 똑같은 삼각형 두 장으로 이루어졌으니

\text{삼각형의 넓이} = \frac{bh}{2}.

공식 속의 $\frac12$ 은 장식이 아니라 "두 장 중 한 장"이라는 뜻이다.

사다리꼴: 같은 수법이 또 통한다

평행한 두 변(윗변 $a$ , 아랫변 $b$ )을 가진 사다리꼴도 복사해 돌려 붙이면 — 밑변이 $a + b$ 인 평행사변형이 된다. 그러므로

\text{사다리꼴의 넓이} = \frac{(a + b)h}{2}.

유도를 알면 공식이 잊혀도 복원된다. 사다리꼴을 대각선으로 잘라 삼각형 둘( $\frac{ah}2 + \frac{bh}2$ )로 봐도 같은 결과 — 두 길이 만나는 것까지 확인하면 공식은 완전히 내 것이 된다.

예제 1 · 세 공식 한 바퀴

(1) 밑변 $7$ , 높이 $4$ 인 평행사변형 (2) 밑변 $10$ , 높이 $6$ 인 삼각형 (3) 윗변 $5$ , 아랫변 $9$ , 높이 $4$ 인 사다리꼴 — 각각의 넓이는?

풀이. (1) $7 \times 4 = 28$ . (2) $\frac{10 \times 6}{2} = 30$ . (3) $\frac{(5 + 9) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ .

(3)의 검산: 삼각형 둘로 갈라 $\frac{5 \cdot 4}2 + \frac{9 \cdot 4}2 = 10 + 18 = 28$ ✓.

복합 도형: 나누거나, 빼거나

공식이 없는 모양은 공식이 있는 조각으로 나누거나, 큰 도형에서 빼면 된다.

L자 도형 — 큰 직사각형 14 × 12에서 6 × 6을 뺀 모양.

이 L자의 넓이는 큰 직사각형에서 모서리를 빼서 $14 \times 12 - 6 \times 6 = 132$ . 두 직사각형( $8 \times 12$ 와 $6 \times 6$ )로 나눠 더해도 $96 + 36 = 132$ ✓.

둘레에는 예쁜 지름길이 있다 — 안으로 꺾인 두 변을 바깥으로 밀어내면 큰 직사각형의 둘레와 정확히 같아진다(밀어도 가로 성분·세로 성분의 총량이 안 변하므로). 그래서 둘레는 $2(14 + 12) = 52$ 다. 하나하나 더한 값 $14 + 6 + 6 + 6 + 8 + 12 = 52$ ✓.

둘레와 넓이는 따로 논다

마지막 경고 하나. 둘레가 같다고 넓이가 같은 것이 아니다. 둘레 $20$ 인 직사각형들을 보자:

가로 $\times$ 세로	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
넓이	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

같은 울타리 $20$ 으로 감쌀 수 있는 넓이가 $9$ 부터 $25$ 까지 다르다 — 정사각형에 가까울수록 넓다. 이 "울타리 최적화"는 Algebra 1의 이차함수에서 최댓값 문제로 다시 만난다.

Goals

Tell perimeter from area, and compute both for rectangles.
Derive the area formulas for parallelograms, triangles, and trapezoids by cutting-and-sliding and by doubling.
Never confuse the height with a slanted side.
Handle composite shapes by splitting or subtracting.
Know that equal perimeters do not mean equal areas.

Perimeter and area: two different questions

Two basic questions about any shape. Perimeter: "how far is the walk around the boundary?" (a length). Area: "how much does it take to cover the inside?" (an amount of surface). Even the units differ — cm versus cm $^2$ , the exponent from the powers lesson.

For a rectangle both answers are immediate. With width $a$ and height $b$ , the perimeter is $2(a + b)$ (the expression built back in the variables lesson). Area is defined by counting unit squares — squares of side $1$ — and a rectangle holds $a$ per row, $b$ rows:

Width 5 and height 3 hold 5 × 3 = 15 unit squares.

\text{area of a rectangle} = a \times b.

The area model of multiplication (from fraction multiplication) was really this definition all along. Now every other formula gets derived from this one — nothing new to memorize, if you know where to cut.

Parallelogram: cut, slide, rectangle

A parallelogram leans, so unit squares don't fit directly. Straighten it: slice the triangle off one end and reattach it at the other — a perfect rectangle appears:

Cut the left triangle and attach it on the right: a rectangle with base b and height h.

Cutting and sliding never changes area, so

\text{area of a parallelogram} = (\text{base}) \times (\text{height}) = bh.

Watch out

The height $h$ is measured perpendicular to the base — it is not the length of the slanted side. The more a parallelogram leans, the longer its slanted side gets while its height shrinks. When a problem hands you both a side length and a height, the area always wants the height.

Triangle: double it into a parallelogram

Triangles use the opposite trick — instead of cutting, copy and attach. A second copy of the triangle, rotated $180°$ , completes a parallelogram:

Two copies of one triangle form a parallelogram — the triangle is half of it.

The parallelogram (area $bh$ ) is made of two identical triangles, so

\text{area of a triangle} = \frac{bh}{2}.

The $\frac12$ in the formula is not decoration — it means "one of the two copies."

Trapezoid: the same trick strikes again

A trapezoid (parallel sides $a$ on top, $b$ on the bottom) also doubles up: copy, rotate, attach — and a parallelogram with base $a + b$ appears. Hence

\text{area of a trapezoid} = \frac{(a + b)h}{2}.

Knowing the derivation means the formula can always be rebuilt if forgotten. Splitting the trapezoid along a diagonal into two triangles ( $\frac{ah}2 + \frac{bh}2$ ) gives the same result — checking that the two roads meet makes the formula fully yours.

Example 1 · One lap through the three formulas

(1) A parallelogram with base $7$ , height $4$ (2) a triangle with base $10$ , height $6$ (3) a trapezoid with parallel sides $5$ and $9$ , height $4$ — find each area.

Solution. (1) $7 \times 4 = 28$ . (2) $\frac{10 \times 6}{2} = 30$ . (3) $\frac{(5 + 9) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ .

Check for (3): split into two triangles — $\frac{5 \cdot 4}2 + \frac{9 \cdot 4}2 = 10 + 18 = 28$ ✓.

Composite shapes: split it, or subtract it

A shape without a formula gets split into pieces that have one — or subtracted from a bigger shape that does.

An L-shape — a 14 × 12 rectangle with a 6 × 6 corner removed.

This L has area $14 \times 12 - 6 \times 6 = 132$ . Splitting instead into two rectangles ( $8 \times 12$ and $6 \times 6$ ) gives $96 + 36 = 132$ ✓.

For the perimeter there's an elegant shortcut: push the two indented sides outward, and the boundary becomes exactly the big rectangle's (pushing changes neither the total horizontal nor vertical run). So the perimeter is $2(14 + 12) = 52$ . Adding the six sides one by one — $14 + 6 + 6 + 6 + 8 + 12 = 52$ ✓.

Perimeter and area lead separate lives

One closing warning: equal perimeters do not force equal areas. Rectangles with perimeter $20$ :

width $\times$ height	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
area	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

The same $20$ units of fence enclose anywhere from $9$ to $25$ — the closer to a square, the more area. This "fence optimization" returns as a maximum problem in Algebra 1's quadratics.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

가로 $8$ cm, 세로 $5$ cm인 직사각형의 둘레와 넓이를 구하여라.

Find the perimeter and area of a rectangle $8$ cm by $5$ cm.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 둘레

26

cm, 넓이

40

^2

Answer · Perimeter

26

cm; area

40

^2

둘레: $2(8 + 5) = 26$ cm. 넓이: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ .

단위가 다른 것까지 챙기자 — 둘레는 길이(cm), 넓이는 면(cm $^2$ ).

Perimeter: $2(8 + 5) = 26$ cm. Area: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ .

Mind the units too — perimeter is a length (cm), area a surface (cm $^2$ ).

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

둘레가 $36$ cm인 정사각형의 넓이를 구하여라.

A square has perimeter $36$ cm. Find its area.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

81

^2

Answer ·

81

^2

한 변은 $36 \div 4 = 9$ cm, 넓이는 $9^2 = 81$ cm $^2$ .

Each side is $36 \div 4 = 9$ cm, so the area is $9^2 = 81$ cm $^2$ .

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

밑변이 $9$ , 높이가 $5$ 인 평행사변형의 넓이를 구하여라.

Find the area of a parallelogram with base $9$ and height $5$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

45

Answer ·

45

9 \times 5 = 45.

잘라 옮기면 $9 \times 5$ 직사각형이 되기 때문이다.

9 \times 5 = 45,

because cut-and-slide turns it into a $9 \times 5$ rectangle.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

밑변이 $12$ , 높이가 $7$ 인 삼각형의 넓이를 구하여라.

Find the area of a triangle with base $12$ and height $7$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

42

Answer ·

42

\frac{12 \times 7}{2} = 42.

복사해 붙인 평행사변형( $84$ )의 절반이다.

\frac{12 \times 7}{2} = 42

— half of the doubled-up parallelogram ( $84$ ).

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

윗변이 $6$ , 아랫변이 $10$ , 높이가 $5$ 인 사다리꼴의 넓이를 구하여라.

Find the area of a trapezoid with parallel sides $6$ and $10$ and height $5$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

40

Answer ·

40

\frac{(6 + 10) \times 5}{2} = \frac{80}{2} = 40.

검산: 대각선으로 갈라 삼각형 둘 — $\frac{6 \cdot 5}2 + \frac{10 \cdot 5}2 = 15 + 25 = 40$ ✓.

\frac{(6 + 10) \times 5}{2} = \frac{80}{2} = 40.

Check: split along a diagonal into two triangles — $\frac{6 \cdot 5}2 + \frac{10 \cdot 5}2 = 15 + 25 = 40$ ✓.

문제Problem 6 핵심Core

어느 평행사변형은 두 변의 길이가 $8$ 과 $6$ 이고, 길이 $8$ 인 변을 밑변으로 할 때의 높이가 $5$ 다. 이 평행사변형의 넓이를 구하여라.

A parallelogram has sides of length $8$ and $6$ , and the height measured to the side of length $8$ is $5$ . Find its area.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

40

Answer ·

40

넓이에 쓰는 것은 밑변과 높이다:

8 \times 5 = 40.

옆변 $6$ 은 미끼다 — $8 \times 6 = 48$ 은 기울어진 변을 높이로 착각한 오답. 높이는 언제나 밑변에 수직으로 잰 거리이고, 기울어진 변( $6$ )은 수직 거리( $5$ )보다 길 수밖에 없다.

Area uses base and height:

8 \times 5 = 40.

The side of length $6$ is bait — $8 \times 6 = 48$ mistakes the slanted side for the height. The height is always the perpendicular distance, and a slanted side ( $6$ ) must exceed it ( $5$ ).

문제Problem 7 핵심Core

가로 $15$ m, 세로 $10$ m인 직사각형 마당 안에 가로 $3$ m, 세로 $4$ m인 직사각형 화단이 있다. 화단을 제외한 마당의 넓이를 구하여라.

A rectangular yard $15$ m by $10$ m contains a rectangular flower bed $3$ m by $4$ m. Find the area of the yard outside the bed.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

138

^2

Answer ·

138

^2

빼기 전략:

15 \times 10 - 3 \times 4 = 150 - 12 = 138 \text{ m}^2.

공식 없는 모양도 "있는 모양 빼기"로 잡힌다.

The subtraction strategy:

15 \times 10 - 3 \times 4 = 150 - 12 = 138 \text{ m}^2.

Shapes without formulas yield to "shape with one, minus shape with one."

문제Problem 8 핵심Core

넓이가 $27$ 이고 밑변이 $9$ 인 삼각형의 높이를 구하여라.

A triangle has area $27$ and base $9$ . Find its height.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

6

Answer ·

6

공식을 거꾸로 탄다:

\frac{9 \times h}{2} = 27 \implies 9h = 54 \implies h = 6.

검산: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ✓ — 방정식 벗기기가 도형 공식에도 통한다.

Run the formula backwards:

\frac{9 \times h}{2} = 27 \implies 9h = 54 \implies h = 6.

Check: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ✓ — equation unwrapping works on geometry formulas too.

문제Problem 9 핵심Core

넓이 $3.5$ m $^2$ 는 몇 cm $^2$ 인가?

How many cm $^2$ is $3.5$ m $^2$ ?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

35{,}000

^2

Answer ·

35{,}000

^2

$1$ m $^2 = 100^2 = 10{,}000$ cm $^2$ 이므로

3.5 \times 10{,}000 = 35{,}000 \text{ cm}^2.

넓이 단위의 $100^2$ 함정(단위 환산 차시)을 잊지 말자.

$1$ m $^2 = 100^2 = 10{,}000$ cm $^2$ , so

3.5 \times 10{,}000 = 35{,}000 \text{ cm}^2.

The $100^2$ trap from the unit-conversion lesson, still armed.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

둘레가 $28$ 이고 가로와 세로가 서로 다른 자연수인 직사각형 중, 넓이가 가장 큰 것의 넓이를 구하여라.

Among rectangles with perimeter $28$ whose width and height are different whole numbers, find the largest possible area.

힌트Hint

가로 + 세로부터 확정하고, 가능한 짝을 전부 나열해 보자.

Pin down width + height first, then list every possible pair.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

48

(

6 \times 8

)

Answer ·

48

6 \times 8

rectangle)

둘레 $28$ 이면 가로 $+$ 세로 $= 14$ . 서로 다른 자연수 짝을 나열한다:

짝	$1 \times 13$	$2 \times 12$	$3 \times 11$	$4 \times 10$	$5 \times 9$	$6 \times 8$
넓이	$13$	$24$	$33$	$40$	$45$	$48$

가장 큰 것은 $6 \times 8 = 48$ . 정사각형 $7 \times 7 = 49$ 가 최대지만 "서로 다른"이라는 조건이 그것을 금지한다 — 그래서 정사각형에 가장 가까운 짝이 남은 것 중 최대가 된다.

Perimeter $28$ means width $+$ height $= 14$ . List the pairs of distinct whole numbers:

pair	$1 \times 13$	$2 \times 12$	$3 \times 11$	$4 \times 10$	$5 \times 9$	$6 \times 8$
area	$13$	$24$	$33$	$40$	$45$	$48$

The winner is $6 \times 8 = 48$ . The square $7 \times 7 = 49$ would beat it, but "different" outlaws the square — so the pair closest to a square takes the crown among those left.

문제Problem 11 도전Challenge 서술형written response

수민이는 "둘레가 더 긴 직사각형이 넓이도 더 넓다"고 주장한다. 옳은지 판정하고, 옳지 않다면 반례를 들어 설명하여라.

Sumin claims: "A rectangle with a longer perimeter also has a larger area." Decide whether this is right; if not, refute it with a counterexample.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

옳지 않다. 반례 하나면 충분하다:

$1 \times 12$ 직사각형 — 둘레 $2(1+12) = 26$ , 넓이 $12$ .
$5 \times 5$ 정사각형 — 둘레 $20$ , 넓이 $25$ .

앞의 것이 둘레는 더 길지만( $26 > 20$ ) 넓이는 오히려 작다( $12 < 25$ ). 둘레는 경계의 길이, 넓이는 안을 채우는 양 — 길고 홀쭉한 도형은 울타리를 많이 쓰면서도 안는 좁다. 두 양은 서로 다른 것을 재므로 한쪽이 다른 쪽을 결정하지 않는다.

채점 기준. "옳지 않다" 판정(1점), 둘레·넓이가 실제로 역전되는 구체적 반례 한 쌍(계산 포함)(2점). 다른 수치의 반례도 조건(둘레는 크고 넓이는 작음)을 만족하면 만점.

It is wrong. One counterexample suffices:

A $1 \times 12$ rectangle — perimeter $2(1+12) = 26$ , area $12$ .
A $5 \times 5$ square — perimeter $20$ , area $25$ .

The first has the longer perimeter ( $26 > 20$ ) yet the smaller area ( $12 < 25$ ). Perimeter measures boundary; area measures filling — a long skinny shape spends lots of fence while enclosing little. The two quantities measure different things, so neither determines the other.

Grading notes. The verdict (1 pt); a concrete pair with both computations showing the reversal (2 pts). Any numbers satisfying the reversal earn full credit.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

좌표평면 위의 세 점 $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ , $C(2, 5)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하여라.

Find the area of the triangle with vertices $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ , $C(2, 5)$ .

힌트Hint

변 $AB$ 가 $x$ 축 위에 놓여 있다 — 그것을 밑변으로 삼으면 높이는 무엇인가?

Side $AB$ lies along the $x$ -axis — take it as the base. Then what is the height?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

15

Answer ·

15

$A$ 와 $B$ 가 모두 $x$ 축 위에 있으므로 $AB$ 를 밑변으로 잡으면 길이는 $|6 - 0| = 6$ .

높이는 $C$ 에서 $x$ 축까지의 수직 거리 — $C$ 의 $y$ 좌표인 $5$ 다. ( $C$ 의 $x$ 좌표 $2$ 는 넓이와 무관하다: 높이는 수직 거리이므로 $C$ 가 좌우 어디에 있든 같다.)

\text{넓이} = \frac{6 \times 5}{2} = 15.

좌표평면(U7)과 넓이 공식이 만나는 지점이다 — 좌표기하의 첫걸음.

$A$ and $B$ both sit on the $x$ -axis, so take $AB$ as the base: length $|6 - 0| = 6$ .

The height is the perpendicular distance from $C$ to the $x$ -axis — the $y$ -coordinate of $C$ , namely $5$ . ( $C$ 's $x$ -coordinate $2$ is irrelevant: height is perpendicular distance, the same wherever $C$ slides left or right.)

\text{Area} = \frac{6 \times 5}{2} = 15.

The coordinate plane (Unit 7) meets the area formulas — a first step into coordinate geometry.

문제Problem 13 경시Contest

가로 $12$ , 세로 $8$ 인 직사각형 내부의 한 점 $P$ 에서 네 꼭짓점에 선분을 그어 삼각형 네 개를 만들었다. 위쪽 삼각형과 아래쪽 삼각형(가로 변을 밑변으로 하는 두 삼각형)의 넓이의 합을 구하여라. $P$ 의 위치에 따라 답이 달라지는가?

From a point $P$ inside a $12$ -by- $8$ rectangle, segments to the four corners cut it into four triangles. Find the combined area of the top and bottom triangles (the two whose bases are the horizontal sides). Does the answer depend on where $P$ is?

힌트Hint

두 삼각형은 밑변이 같다(길이 12). 두 높이를 더하면 얼마인가?

The two triangles share the same base length ( $12$ ). What do their two heights add up to?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

48

—

P

가 어디에 있든 변하지 않는다

Answer ·

48

— independent of where

P

sits

위 삼각형과 아래 삼각형은 둘 다 밑변이 가로 변(길이 $12$ )이다. $P$ 에서 위 변까지의 거리를 $h_1$ , 아래 변까지의 거리를 $h_2$ 라 하면 — $P$ 가 어디 있든

h_1 + h_2 = 8 \quad (\text{직사각형의 세로}).

두 넓이의 합은

\frac{12 h_1}{2} + \frac{12 h_2}{2} = \frac{12(h_1 + h_2)}{2} = \frac{12 \times 8}{2} = 48

— 전체 넓이 $96$ 의 정확히 절반이고, $P$ 와 무관하다. (남은 좌우 두 삼각형의 합도 자동으로 $48$ 이다.)

$P$ 를 움직여도 변하지 않는 양을 찾는 것 — 소금물의 소금, 톱니바퀴의 이동 톱니 수와 같은 불변량 사고가 도형에서도 통한다.

The top and bottom triangles both stand on horizontal sides of length $12$ . Let $h_1$ be the distance from $P$ up to the top side and $h_2$ down to the bottom. Wherever $P$ sits,

h_1 + h_2 = 8 \quad (\text{the rectangle's height}).

So the combined area is

\frac{12 h_1}{2} + \frac{12 h_2}{2} = \frac{12(h_1 + h_2)}{2} = \frac{12 \times 8}{2} = 48

— exactly half the rectangle's $96$ , regardless of $P$ . (The left-right pair automatically claims the other $48$ .)

Hunting for what doesn't change as $P$ moves — the salt in the salt water, the teeth passed by meshed gears — invariant thinking, now working in geometry.