규칙과 그래프Patterns & Graphs

Pre-AlgebraPre-Algebra · 7. 좌표평면 입문7. The Coordinate Plane

학습 목표

두 양 사이의 규칙을 표에서 찾아 식으로 적을 수 있다.
표의 각 열을 순서쌍으로 바꿔 좌표평면에 그래프로 옮길 수 있다.
정비례 관계( $y = ax$ )를 알아보고, 그래프가 원점을 지나는 직선임을 안다.
그래프에서 값을 읽고, 두 그래프의 가파름을 빠르기로 해석할 수 있다.
직선이 되지 않는 규칙도 있음을 안다.

표에서 규칙으로

물통에 $1$ 분마다 $2$ L씩 물을 받는다. 시간 $x$ (분)와 물의 양 $y$ (L)를 나란히 적으면:

$x$ (분)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$ (L)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$

어느 열이든 $y$ 가 $x$ 의 $2$ 배 — 규칙이 식 한 줄로 잡힌다:

y = 2x.

식은 표의 압축이다. 표에 없는 열( $x = 50$ 이면 $y = 100$ )까지 이 한 줄이 다 알고 있다.

표에서 그래프로

지난 차시에서 순서쌍 찍는 법을 배웠으니, 표의 각 열을 순서쌍으로 읽자 — $(0, 0)$ , $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ . 찍어 보면:

y = 2x의 표를 찍으면 원점을 지나는 한 직선 위에 늘어선다.

점들이 한 직선 위에 늘어선다. 표·식·그래프는 같은 규칙의 세 가지 옷이다 — 표는 값을 나열하고, 식은 압축하고, 그래프는 한눈에 보여 준다.

정비례: 배율이 그대로 전달되는 관계

$y = 2x$ 에서 $x$ 가 $2$ 배 되면 $y$ 도 $2$ 배, $x$ 가 $3$ 배 되면 $y$ 도 $3$ 배다. 이렇게 한쪽의 배율이 다른 쪽에 그대로 전달되는 관계를 정비례라 하고, 식으로는

y = ax \quad (a \neq 0)

꼴이다. 비율 단원의 배율 감각 그대로다 — 실제로 $\frac yx = a$ 로 비의 값이 일정한 관계가 정비례다. 그래서 그래프는 언제나 원점을 지나는 직선이고( $x = 0$ 이면 $y = 0$ ), $a$ 는 " $x$ 한 칸당 $y$ 의 증가량" — 단위 비율이 그래프의 가파름으로 나타난 것이다.

예제 1 · 식 찾고 써먹기

정비례 관계 $y = ax$ 의 그래프가 점 $(4, 10)$ 을 지난다. $a$ 를 구하고, $x = 10$ 일 때 $y$ 를 구하여라.

풀이. $(4, 10)$ 을 대입하면 $10 = 4a$ 이므로 $a = \frac{10}{4} = 2.5$ . 따라서 $y = 2.5x$ 이고,

x = 10 \implies y = 25.

검산: $y = 2.5x$ 가 $(4, 10)$ 을 지나는지 — $2.5 \times 4 = 10$ ✓.

그래프는 비교의 도구다

지호는 분당 $80$ m, 수아는 분당 $60$ m로 걷는다. 두 규칙 $y = 80x$ 와 $y = 60x$ 를 한 평면에 그리면:

분당 80 m와 60 m — 가파른 직선이 빠른 사람이다. 4분 뒤 두 점의 세로 간격이 거리 차.

가파른 쪽이 빠르다. 같은 $x$ (시간)에서 위에 있는 그래프가 더 멀리 간 것이고, 두 그래프의 세로 간격이 그 순간의 거리 차다. 수 표를 견주는 것보다 기울어진 정도 하나로 비교가 끝난다 — 이 "가파름"에 기울기라는 이름을 붙이고 본격적으로 다루는 것이 Algebra 1의 큰 줄기다.

모든 규칙이 직선은 아니다

정사각형의 한 변 $x$ 와 넓이 $y$ 의 규칙은 $y = x^2$ 이다(거듭제곱 차시). 표를 찍어 보면:

y = x²의 점들은 직선에서 벗어나 점점 가파르게 휜다.

$(1,1)$ , $(2,4)$ , $(3,9)$ — $y$ 의 증가폭이 $1, 3, 5, \ldots$ 로 점점 커져서(홀수 합이 제곱수였던 것과 같은 이유다) 점들이 직선을 벗어나 휘어 올라간다. 직선이 되는 규칙과 휘는 규칙을 구분하는 눈, 그리고 휘는 규칙들의 정체는 Algebra 1에서 "함수"라는 이름 아래 본격적으로 다룬다.

참고

그래프를 선으로 이을지 점으로 둘지는 규칙의 성격이 정한다. 물통의 $x$ 는 $1.5$ 분, $2.7$ 분도 가능하니 점 사이를 선으로 이어도 뜻이 있지만, 성냥개비 정사각형의 개수 $n$ 은 자연수뿐이라 점만 찍는 것이 정직하다. 그래프를 그리기 전에 "사이 값이 말이 되는가"를 한 번 묻자.

Goals

Find the rule linking two quantities from a table and write it as an equation.
Turn a table's columns into ordered pairs and graph them.
Recognize proportional relationships ( $y = ax$ ) and know their graphs are lines through the origin.
Read values off a graph, and interpret steepness as speed when comparing two graphs.
Know that not every rule graphs as a line.

From table to rule

A tank fills at $2$ L per minute. Tabulate time $x$ (minutes) against water $y$ (liters):

$x$ (min)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$ (L)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$

In every column, $y$ is twice $x$ — the rule collapses into one line:

y = 2x.

An equation is a compressed table. Columns the table never wrote down ( $x = 50$ gives $y = 100$ ) — the one line knows them all.

From table to graph

Last lesson taught plotting, so read each column as an ordered pair — $(0, 0)$ , $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ — and plot:

Plotting the y = 2x table lines the points up on one line through the origin.

The points fall on a single straight line. Table, equation, graph: three outfits for one rule — the table lists values, the equation compresses them, and the graph shows the whole rule at a glance.

Proportional: scaling passes straight through

In $y = 2x$ , doubling $x$ doubles $y$ ; tripling $x$ triples $y$ . A relationship that hands scale factors through unchanged is proportional, with equation

y = ax \quad (a \neq 0).

This is the ratio unit's scale-factor sense again — indeed $\frac yx = a$ means the ratio's value stays constant. Hence the graph is always a line through the origin ( $x = 0$ forces $y = 0$ ), and $a$ is "the rise in $y$ per one step of $x$ " — a unit rate, made visible as steepness.

Example 1 · Find the rule, then use it

The graph of a proportional relationship $y = ax$ passes through $(4, 10)$ . Find $a$ , then find $y$ when $x = 10$ .

Solution. Substituting $(4, 10)$ : $10 = 4a$ , so $a = \frac{10}{4} = 2.5$ . Thus $y = 2.5x$ , and

x = 10 \implies y = 25.

Check: does $y = 2.5x$ pass through $(4, 10)$ ? $2.5 \times 4 = 10$ ✓.

Graphs are comparison machines

Jiho walks $80$ m per minute, Sua $60$ . Draw both rules, $y = 80x$ and $y = 60x$ , on one plane:

80 m/min versus 60 — the steeper line is the faster walker; the vertical gap at 4 minutes is their distance apart.

Steeper means faster. At any time $x$ , the higher graph has gone farther, and the vertical gap between the graphs is the distance between the walkers at that instant. One glance at the slopes replaces a whole table comparison — and giving this "steepness" its proper name, slope, is a main storyline of Algebra 1.

Not every rule is a line

For a square of side $x$ , the area rule is $y = x^2$ (the powers lesson). Plot its table:

The points of y = x² pull away from any line, bending upward ever more steeply.

$(1,1)$ , $(2,4)$ , $(3,9)$ — the jumps in $y$ grow as $1, 3, 5, \ldots$ (the same odd numbers that built perfect squares), so the points bend away from any straight line, curving upward. Telling line-making rules from curving ones — and the identities of the curves — is Algebra 1's business, under the name functions.

Note

Whether to connect the dots depends on the rule. The tank's $x$ can be $1.5$ or $2.7$ minutes, so joining the points with a line means something; but the number of matchstick squares $n$ takes only whole values, so honest graphing leaves separate dots. Before drawing, ask once: "do in-between values make sense?"

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

규칙 $y = 3x$ 의 표에서 $x = 5$ 일 때 $y$ 의 값을 구하여라.

For the rule $y = 3x$ , find $y$ when $x = 5$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

15

Answer ·

15

대입 한 번: $y = 3 \times 5 = 15$ .

One substitution: $y = 3 \times 5 = 15$ .

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

어떤 규칙의 표가 다음과 같다. 규칙을 식으로 나타내어라.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$8$	$12$	$16$

A rule produces this table. Write the rule as an equation.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$8$	$12$	$16$

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = 4x

Answer ·

y = 4x

어느 열에서든 $y \div x = 4$ 로 일정하다 — $y = 4x$ .

검사: $x = 3$ 이면 $4 \times 3 = 12$ ✓.

In every column $y \div x = 4$ , a constant — so $y = 4x$ .

Test: $x = 3$ gives $4 \times 3 = 12$ ✓.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$y$ 가 $x$ 에 정비례할 때, $x$ 가 $2$ 배가 되면 $y$ 는 어떻게 되는가?

If $y$ is proportional to $x$ , what happens to $y$ when $x$ doubles?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

2

배가 된다

Answer · It doubles

정비례 $y = ax$ 에서 $x$ 대신 $2x$ 를 넣으면 $a(2x) = 2(ax)$ — $y$ 도 정확히 $2$ 배다. 배율이 그대로 전달되는 것이 정비례의 정의적 성질이다.

In $y = ax$ , replacing $x$ by $2x$ gives $a(2x) = 2(ax)$ — exactly double. Passing scale factors through unchanged is the defining behavior of proportionality.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

그래프가 $y = 2x$ 인 직선 위의 점 중 $x$ 좌표가 $7$ 인 점의 좌표를 구하여라.

On the line $y = 2x$ , find the point whose $x$ -coordinate is $7$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

(7, 14)

Answer ·

(7, 14)

$x = 7$ 을 대입하면 $y = 14$ — 점 $(7, 14)$ 다. 직선 위의 점 = 규칙을 만족하는 순서쌍.

Substitute $x = 7$ : $y = 14$ , giving $(7, 14)$ . A point on the graph is exactly an ordered pair satisfying the rule.

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

연필 한 자루는 $700$ 원이다. 연필 $x$ 자루의 값 $y$ 원을 식으로 나타내고, $6$ 자루의 값을 구하여라.

Pencils cost $700$ won each. Write the cost $y$ of $x$ pencils as an equation, and find the cost of $6$ pencils.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = 700x

6

자루는

4{,}200

원

Answer ·

y = 700x

; six pencils cost

4{,}200

won

자루당 $700$ 원이므로 $y = 700x$ — 정비례이고, $700$ 이 단위 비율(자루당 가격)이다.

$x = 6$ : $y = 4{,}200$ 원.

At $700$ per pencil, $y = 700x$ — proportional, with $700$ as the unit rate.

At $x = 6$ : $y = 4{,}200$ won.

문제Problem 6 핵심Core

두 표 중 $y$ 가 $x$ 에 정비례하는 쪽을 골라 그 이유를 밝혀라.

표 A: $(1, 3), (2, 6), (3, 9)$ 표 B: $(1, 2), (2, 3), (3, 4)$

One of these tables shows $y$ proportional to $x$ . Pick it and justify.

Table A: $(1, 3), (2, 6), (3, 9)$ Table B: $(1, 2), (2, 3), (3, 4)$

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 표 A (

\frac yx = 3

으로 일정; B는 비의 값이

2, 1.5, \frac43

으로 변한다)

Answer · Table A (

\frac yx = 3

throughout; in B the ratio drifts:

2, 1.5, \frac43

)

정비례의 판정 기준은 $\frac yx$ 가 일정한가다.

표 A: $\frac31 = \frac62 = \frac93 = 3$ — 일정. $y = 3x$ 의 정비례다.
표 B: $\frac21 = 2$ , $\frac32 = 1.5$ — 벌써 다르다. 정비례가 아니다.

B도 규칙은 있다( $y = x + 1$ — 매번 $1$ 씩 커짐). 하지만 "일정한 차"와 "일정한 비"는 다른 성질이고, 정비례는 후자다. B의 그래프는 직선이지만 원점을 지나지 않는다 — 이런 직선들의 이야기가 Algebra 1의 일차함수다.

The test for proportionality: is $\frac yx$ constant?

Table A: $\frac31 = \frac62 = \frac93 = 3$ — constant. Proportional, with $y = 3x$ .
Table B: $\frac21 = 2$ but $\frac32 = 1.5$ — already different. Not proportional.

B still has a rule ( $y = x + 1$ , climbing by $1$ ), but "constant difference" and "constant ratio" are different properties, and proportionality is the latter. B's graph is a line that misses the origin — the story of such lines is Algebra 1's linear functions.

문제Problem 7 핵심Core

지호는 분당 $80$ m, 수아는 분당 $60$ m의 빠르기로 같은 곳에서 동시에 출발했다. 출발 $4$ 분 뒤 두 사람 사이의 거리를 구하여라.

Jiho walks at $80$ m per minute and Sua at $60$ , starting together from the same spot. How far apart are they after $4$ minutes?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

80

Answer ·

80

$4$ 분 뒤 지호는 $80 \times 4 = 320$ m, 수아는 $60 \times 4 = 240$ m 지점에 있다:

320 - 240 = 80 \text{ m}.

그래프로 보면 $x = 4$ 에서 두 직선의 세로 간격이다. 분당 $20$ m씩 벌어지니 $4$ 분이면 $80$ m — 차이의 규칙 $y = 20x$ 로 봐도 같다.

After $4$ minutes Jiho is at $80 \times 4 = 320$ m and Sua at $60 \times 4 = 240$ m:

320 - 240 = 80 \text{ m}.

On the graph this is the vertical gap between the lines at $x = 4$ . They separate at $20$ m per minute, so $4$ minutes gives $80$ — the gap follows its own rule, $y = 20x$ .

문제Problem 8 핵심Core

$1$ 분에 $2$ L씩 물이 차는 물통이 있다( $y = 2x$ ). 물이 $18$ L가 되는 것은 몇 분 뒤인가?

A tank fills at $2$ L per minute ( $y = 2x$ ). After how many minutes does it hold $18$ L?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

9

분 뒤

Answer ·

9

minutes

$y = 18$ 을 놓고 $x$ 를 찾는다 — 방정식이다:

2x = 18 \implies x = 9.

그래프로는 높이 $18$ 에서 가로로 가다 직선과 만나는 점의 $x$ 좌표다. 식·그래프 어느 옷으로도 같은 답.

Set $y = 18$ and solve for $x$ — an equation:

2x = 18 \implies x = 9.

Graphically: run across at height $18$ until you hit the line, and read the $x$ -coordinate. Equation or graph — same answer in either outfit.

문제Problem 9 핵심Core

점 $(6, 40)$ 은 직선 $y = 7x$ 위에 있는가?

Is the point $(6, 40)$ on the line $y = 7x$ ?

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 없다 (

7 \times 6 = 42 \neq 40

)

Answer · No (

7 \times 6 = 42 \neq 40

)

그래프 위에 있다는 것은 규칙을 만족한다는 뜻 — 대입으로 판정한다:

x = 6 \implies y = 7 \times 6 = 42 \neq 40.

$(6, 40)$ 은 직선보다 $2$ 만큼 아래에 있다.

Being on the graph means satisfying the rule — judge by substitution:

x = 6 \implies y = 7 \times 6 = 42 \neq 40.

The point $(6, 40)$ sits $2$ below the line.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

정비례 관계 $y = ax$ 의 그래프가 점 $(6, 9)$ 를 지난다. $x = 20$ 일 때 $y$ 의 값을 구하여라.

The graph of $y = ax$ passes through $(6, 9)$ . Find $y$ when $x = 20$ .

힌트Hint

먼저 $(6, 9)$ 로 $a$ 를 결정하자.

Determine $a$ from $(6, 9)$ first.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

30

Answer ·

30

$(6, 9)$ 를 대입하면 $9 = 6a$ , $a = \frac96 = 1.5$ . 그러므로 $y = 1.5x$ 이고

x = 20 \implies y = 30.

배율로도 갈 수 있다: $x$ 가 $6 \to 20$ 으로 $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ 배 되면 $y$ 도 같은 배율 — $9 \times \frac{10}{3} = 30$ ✓. 두 길이 만난다.

Substituting $(6, 9)$ : $9 = 6a$ , so $a = \frac96 = 1.5$ and $y = 1.5x$ . Then

x = 20 \implies y = 30.

The scale-factor road agrees: $x$ scales by $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ , so $y$ scales the same — $9 \times \frac{10}{3} = 30$ ✓.

문제Problem 11 도전Challenge 서술형written response

다음 두 상황을 그래프로 그리려 한다. 한쪽은 점들을 선으로 이어도 되고, 다른 쪽은 점만 찍어야 한다. 어느 쪽이 어느 쪽인지 판정하고 이유를 설명하여라.

(가) 달리는 자전거의 시간 $x$ 초와 이동 거리 $y$ m (나) 공책 $x$ 권의 값 $y$ 원

Two situations are to be graphed. For one, the dots may be joined into a line; for the other, only separate dots are honest. Decide which is which, and explain.

(a) Time $x$ seconds versus distance $y$ m for a moving bicycle (b) The cost $y$ won of $x$ notebooks

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

(가)는 선, (나)는 점이다. 기준은 "사이 값이 말이 되는가"이다.

(가) 시간은 끊김 없이 흐른다 — $x = 2.5$ 초, $3.14$ 초에도 자전거는 어딘가에 있다. 사이의 모든 $x$ 가 뜻을 가지므로 점 사이를 선으로 이어야 규칙 전체가 표현된다.
(나) 공책은 $2.5$ 권을 살 수 없다 — $x$ 는 $0, 1, 2, \ldots$ 의 자연수(와 0)뿐이다. 이었다가는 " $2.5$ 권에 얼마"라는 있지도 않은 상황까지 그래프가 주장하게 되므로, 점만 찍는 것이 정직하다.

채점 기준. 올바른 배정(1점), "사이 값의 의미 유무"라는 기준의 명시(1점), 각 상황에 기준을 적용한 설명(1점). 연속/이산이라는 용어 없이도 논리가 맞으면 만점.

(a) gets the line; (b) gets the dots. The criterion: "do in-between values make sense?"

(a) Time flows without gaps — at $x = 2.5$ s or $3.14$ s the bicycle is somewhere. Every in-between $x$ is meaningful, so joining the dots is what expresses the whole rule.
(b) Nobody buys $2.5$ notebooks — $x$ takes only the values $0, 1, 2, \ldots$ Joining the dots would make the graph assert a price for " $2.5$ notebooks," a situation that doesn't exist; separate dots are the honest picture.

Grading notes. Correct assignment (1 pt); stating the in-between-values criterion (1 pt); applying it to both situations (1 pt). The words "continuous/discrete" are not required — sound reasoning earns full credit.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

어떤 규칙의 표가 $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$ 다. 규칙을 식으로 쓰고, $x = 7$ 일 때의 $y$ 를 구하고, 이 규칙의 그래프 위 점들이 한 직선에 놓이는지 판정하여라.

A rule's table reads $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$ . Write the rule, find $y$ at $x = 7$ , and decide whether the graph's points lie on one straight line.

힌트Hint

$y$ 의 값 $1, 4, 9$ 가 낯익지 않은가? 그리고 직선이라면 $x$ 가 $1$ 씩 늘 때 $y$ 의 증가폭이 일정해야 한다.

Do $1, 4, 9$ look familiar? And on a line, each step of $1$ in $x$ must raise $y$ by a constant amount.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = x^2

\;y = 49

, 한 직선에 놓이지 않는다

Answer ·

y = x^2

;

\;y = 49

; they do not lie on a line

$1, 4, 9$ 는 제곱수 — 규칙은 $y = x^2$ 이고, $x = 7$ 이면 $y = 49$ .

직선 판정: 직선 위 점들은 $x$ 가 $1$ 씩 늘 때 $y$ 가 일정하게 늘어야 한다. 그런데 증가폭이

4 - 1 = 3, \qquad 9 - 4 = 5

로 이미 다르다( $3 \neq 5$ ). 그러므로 세 점부터가 한 직선에 놓이지 않는다 — 그래프는 점점 가파르게 휘는 곡선이다. (증가폭 $1, 3, 5, \ldots$ — 홀수의 합이 제곱수를 만들던 바로 그 구조다.)

$1, 4, 9$ are the perfect squares — the rule is $y = x^2$ , and $x = 7$ gives $y = 49$ .

Line test: on a straight line, each unit step in $x$ raises $y$ by the same amount. Here the jumps are

4 - 1 = 3, \qquad 9 - 4 = 5

— already unequal ( $3 \neq 5$ ). So even these three points refuse to line up: the graph is a curve bending ever steeper. (Jumps of $1, 3, 5, \ldots$ — the very structure by which odd numbers build the squares.)

문제Problem 13 경시Contest

수아가 지호보다 $240$ m 앞에서 동시에 출발한다. 지호는 분당 $80$ m, 수아는 분당 $60$ m로 같은 방향으로 걷는다. 지호가 수아를 따라잡는 것은 출발 몇 분 뒤인가?

Sua starts $240$ m ahead of Jiho, and both set off at once in the same direction — Jiho at $80$ m per minute, Sua at $60$ . After how many minutes does Jiho catch up?

힌트Hint

두 사람 사이의 거리가 매분 얼마씩 줄어드는지부터 구해 보자.

First find how much the gap between them shrinks each minute.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

12

분 뒤

Answer ·

12

minutes

간격에 주목한다. 처음 간격은 $240$ m이고, 매분 지호가 $80 - 60 = 20$ m씩 좁힌다. 간격이 $0$ 이 되는 데 걸리는 시간은

240 \div 20 = 12\text{분}.

검산: $12$ 분 뒤 지호는 $80 \times 12 = 960$ m, 수아는 $240 + 60 \times 12 = 960$ m — 같은 지점 ✓.

식으로 쓰면 $80x = 240 + 60x$ — 양변에 문자가 있는 방정식이다. 간격 관점은 이 방정식을 "차이의 정비례 $20x = 240$ "으로 접어 푼 셈이고, 이런 만남 문제의 정식 도구(연립방정식)는 Algebra 1에서 갖춘다.

Watch the gap. It starts at $240$ m and shrinks by $80 - 60 = 20$ m each minute, so it closes in

240 \div 20 = 12 \text{ minutes}.

Check: after $12$ minutes Jiho has walked $80 \times 12 = 960$ m, and Sua stands at $240 + 60 \times 12 = 960$ m — same spot ✓.

As an equation this is $80x = 240 + 60x$ — an unknown on both sides. The gap viewpoint quietly folds it into the proportional rule $20x = 240$ ; the full machinery for meeting problems (systems of equations) arrives in Algebra 1.