거듭제곱Powers & Exponents

$3$이 $4$번 곱해졌으므로 $3^4$. 값은 $3 \times 3 = 9$, $9 \times 9 = 81$.

$3 \times 4 = 12$가 아니다 — 지수는 곱한 횟수다.

Four copies of $3$ multiplied: $3^4$. The value: $3 \times 3 = 9$ and $9 \times 9 = 81$.

Not $3 \times 4 = 12$ — the exponent counts the multiplications.

두 배씩 다섯 걸음: $2, 4, 8, 16, 32$.

Five doublings: $2, 4, 8, 16, 32$.

$2^3 = 8$, $3^2 = 9$이므로 $3^2$가 크다.

밑과 지수를 바꾸면 값이 달라진다 — 거듭제곱은 자리를 바꿔도 되는 곱셈($2 \times 3 = 3 \times 2$)과 다르다. (재미로: 밑·지수를 바꿔도 같아지는 짝이 딱 하나 있다 — $2^4 = 4^2 = 16$.)

$2^3 = 8$ and $3^2 = 9$, so $3^2$ wins.

Swapping base and exponent changes the value — unlike multiplication, where $2 \times 3 = 3 \times 2$. (Fun fact: exactly one pair survives the swap — $2^4 = 4^2 = 16$.)

$10$의 거듭제곱에서 지수는 $0$의 개수다: $10^6 = 1{,}000{,}000$, 백만이다.

For powers of ten the exponent counts the zeros: $10^6 = 1{,}000{,}000$, one million.

차례로 나눈다:

$2$가 세 번, $3$이 두 번, $5$가 한 번: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.

검산: $8 \times 9 \times 5 = 360$ ✓.

Divide in turn:

Three $2$s, two $3$s, one $5$: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.

Check: $8 \times 9 \times 5 = 360$ ✓.

제곱 두 개의 합이 다시 제곱이 되는 특별한 세 수다. $(3, 4, 5)$도 같은 성질을 가진다($9 + 16 = 25$) — 이런 세 쌍의 정체는 Geometry의 피타고라스 정리에서 밝혀진다.

A special triple where two squares sum to another square. $(3, 4, 5)$ does it too ($9 + 16 = 25$) — the identity of such triples is revealed by the Pythagorean theorem in Geometry.

넓이는 $30^2 = 900$ cm$^2$.

m$^2$로는 $1$ m$^2 = 100^2 = 10{,}000$ cm$^2$이므로 $900 \div 10{,}000 = 0.09$ m$^2$.

검산: $30$ cm $= 0.3$ m로 먼저 바꿔 제곱해도 $0.3^2 = 0.09$ ✓ — 두 길이 만난다.

The area is $30^2 = 900$ cm$^2$.

In m$^2$: since $1$ m$^2 = 100^2 = 10{,}000$ cm$^2$, we get $900 \div 10{,}000 = 0.09$ m$^2$.

Check: convert first ($30$ cm $= 0.3$ m), then square: $0.3^2 = 0.09$ ✓ — both roads agree.

$2^5 = 32$이므로

"대략 천"으로 기억해 둘 값이다 — 컴퓨터의 1 KB가 1,024바이트인 이유이기도 하다.

Since $2^5 = 32$,

Worth remembering as "about a thousand" — it's also why a kilobyte is $1{,}024$ bytes.

펼쳐 세면 $4$가 $3 + 2 = 5$개: $4^3 \times 4^2 = 4^5$. 값은

앞 문제와 같은 값이다 — $4 = 2^2$이므로 $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$. 같은 수가 다른 옷을 입고 나타났다.

Unfold and count: $3 + 2 = 5$ fours, so $4^3 \times 4^2 = 4^5$. Its value:

The same value as the previous problem — since $4 = 2^2$, we have $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$. One number, two outfits.

$n$일 뒤에 넣는 돈을 거듭제곱으로 나타내 보자. $2^{10}$의 값을 알고 있다.

Write the deposit $n$ days from now as a power. You know the value of $2^{10}$.

$n$일 뒤에 넣는 돈은 $2^n$원이다. $2^9 = 512$는 아직 $1{,}000$ 아래이고, $2^{10} = 1{,}024$가 처음으로 $1{,}000$을 넘는다. 그러므로 $10$일 뒤.

경계의 양쪽을 다 확인하는 것이 요령이다 — $2^{10}$이 넘는다는 것만으로는 "처음"인지 알 수 없고, $2^9$가 못 넘는다는 확인까지 있어야 답이 완성된다.

The deposit $n$ days out is $2^n$ won. $2^9 = 512$ is still below $1{,}000$, and $2^{10} = 1{,}024$ crosses it first. So: $10$ days.

Checking both sides of the boundary is the key move — knowing $2^{10}$ crosses isn't enough to claim "first"; you also need $2^9$ falling short.

소인수분해하면

모든 소인수의 지수가 짝수이므로 절반씩 나눠 두 묶음으로 똑같이 가를 수 있다:

그러므로 $196 = 14^2$, 완전제곱수다. 일반화하면 — 어떤 수의 제곱 $n^2$은 $n$의 소인수분해를 두 벌 겹친 것이라 지수가 전부 짝수이고, 거꾸로 지수가 전부 짝수면 절반씩 갈라 제곱으로 쓸 수 있다. 지수의 홀짝이 완전제곱 판정기가 되는 셈이다.

채점 기준. 올바른 소인수분해 $2^2 \times 7^2$(1점), 지수가 모두 짝수라는 관찰과 $14^2$ 결론(1점), "왜 짝수 지수면 제곱인가"의 근거 — 두 묶음으로 가르기 또는 $14 \times 14$ 재구성(1점). $14^2 = 196$ 직접 검산만 제시해도 결론은 인정하되 근거 점수는 소인수분해 논증에 준다.

Factor it:

Every prime's exponent is even, so the parts split evenly into two identical bundles:

So $196 = 14^2$: a perfect square. In general, $n^2$ is two copies of $n$'s parts list stacked together, so all its exponents are even — and conversely, all-even exponents split in half into a square root. The parity of the exponents is a perfect-square detector.

Grading notes. Correct factorization $2^2 \times 7^2$ (1 pt); the all-even observation and the conclusion $14^2$ (1 pt); a reason why even exponents make a square — the two-bundle split or the explicit $14 \times 14$ (1 pt). Verifying $14^2 = 196$ directly earns the conclusion, but the reasoning point belongs to the factorization argument.

$3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots$의 일의 자리만 차례로 적어 보자. 패턴이 보이는가?

Write down just the units digits of $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots$ See a pattern?

일의 자리만 따라가면

— $3^4$에서 $1$이 된 뒤 똑같은 네 개 묶음 $(3, 9, 7, 1)$이 되풀이된다. 일의 자리는 직전 일의 자리에만 의존하기 때문에($\times 3$의 일의 자리), 한 번 $1$로 돌아오면 영원히 같은 주기를 돈다.

$100 = 4 \times 25$로 주기 $4$의 배수이므로, $3^{100}$의 일의 자리는 묶음의 마지막인 $3^4$과 같은 $\mathbf{1}$이다.

작은 확인: $3^8 = 6561$ — 지수가 $4$의 배수일 때 일의 자리 $1$ ✓.

Track only the units digits:

— after $3^4$ lands on $1$, the block $(3, 9, 7, 1)$ repeats forever. The units digit depends only on the previous units digit (times $3$), so once it returns to $1$ the cycle locks in.

Since $100 = 4 \times 25$ is a multiple of the cycle length $4$, the units digit of $3^{100}$ matches $3^4$: it is $\mathbf{1}$.

Small confirmation: $3^8 = 6561$ — exponent a multiple of $4$, units digit $1$ ✓.

$2^{20}$을 $2^{10}$ 두 개의 곱으로 써 보자.

Write $2^{20}$ as a product of two copies of $2^{10}$.

지수를 가르면

그런데 $1024 > 1000$이고, 양수는 큰 쪽의 제곱이 더 크므로

따라서 $2^{20}$은 백만보다 크다. $1024$와 $1000$의 작은 차이가 지렛대가 되는 풀이다 — 실제 값 $2^{20} = 1{,}048{,}576$을 계산하지 않고도 결론이 난다. 이 지렛대($2^{10} > 10^3$)는 경시에서 $2^{100}$ 같은 거대한 수를 어림할 때 반복해서 등장한다.

Split the exponent:

Now $1024 > 1000$, and for positive numbers the larger one has the larger square, so

Hence $2^{20}$ exceeds a million. The tiny gap between $1024$ and $1000$ does all the work — no need to compute $2^{20} = 1{,}048{,}576$. This lever ($2^{10} > 10^3$) reappears constantly in contests for taming giants like $2^{100}$.