분수의 곱셈과 나눗셈Multiplying & Dividing Fractions

$\frac15$짜리 조각 2개씩 세 묶음:

검산: 거듭 더하기로 — $\frac25 + \frac25 + \frac25 = \frac65$ ✓.

Three bundles of two $\frac15$-pieces:

Check by repeated addition: $\frac25 + \frac25 + \frac25 = \frac65$ ✓.

뜻으로 읽으면 "$\frac13$의 절반" — 3분의 1조각을 반으로 자른 것이니 전체를 6등분한 한 조각이 맞다.

Read as a phrase, it's "half of a third" — cut a third-piece in half and you hold one piece of a whole cut into sixths.

분자끼리, 분모끼리:

$6$과 $35$의 공약수는 $1$뿐이므로 기약분수다.

Tops times tops, bottoms times bottoms:

$6$ and $35$ share only the factor $1$, so this is simplest form.

역수는 곱해서 $1$이 되는 짝 — 분수를 뒤집으면 된다.

(a) $\frac38 \to \frac83$. (b) $5 = \frac51$이므로 역수는 $\frac15$. (c) 대분수는 가분수로 바꾼 뒤 뒤집는다: $1\tfrac34 = \frac74 \to \frac47$.

검산: $\frac38 \times \frac83 = 1$ ✓, $5 \times \frac15 = 1$ ✓, $\frac74 \times \frac47 = 1$ ✓.

A reciprocal is the partner that multiplies to $1$ — flip the fraction.

(a) $\frac38 \to \frac83$. (b) $5 = \frac51$, so its reciprocal is $\frac15$. (c) Convert a mixed number to an improper fraction first, then flip: $1\tfrac34 = \frac74 \to \frac47$.

Check: $\frac38 \times \frac83 = 1$ ✓, $5 \times \frac15 = 1$ ✓, $\frac74 \times \frac47 = 1$ ✓.

$4$와 $8$을 $4$로($1$과 $2$), $3$과 $9$를 $3$으로($1$과 $3$) 약분한다:

검산: 곧이곧대로 곱하면 $\frac{12}{72}$, $12$로 약분하면 $\frac16$ ✓.

Cancel $4$ with $8$ (leaving $1$ and $2$) and $3$ with $9$ (leaving $1$ and $3$):

Check: multiplying straight through gives $\frac{12}{72}$, which reduces by $12$ to $\frac16$ ✓.

나누는 수를 뒤집어 곱한다:

(약분을 먼저 하면 $3$과 $9$가 $3$으로, $10$과 $5$가 $5$로 접혀 $\frac{1 \times 2}{1 \times 3}$이 된다.)

검산: $\frac23 \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac35$ ✓ — 곱해서 되돌아온다.

Flip the divisor and multiply:

(Canceling first collapses $3$ with $9$ and $10$ with $5$, leaving $\frac{1 \times 2}{1 \times 3}$.)

Check: $\frac23 \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac35$ ✓ — the quotient multiplies back.

"$\frac{9}{10}$ 안에 $\frac{3}{20}$이 몇 번 들어가는가"를 묻는 나눗셈이다:

($9$와 $3$이 $3$으로, $20$과 $10$이 $10$으로 약분되어 $3 \times 2 = 6$.)

검산: $6 \times \frac{3}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ ✓ — 여섯 컵을 모으면 정확히 원래 양이다.

The question "how many $\frac{3}{20}$'s fit into $\frac{9}{10}$?" is a division:

(Cancel $9$ with $3$ and $20$ with $10$, leaving $3 \times 2 = 6$.)

Check: $6 \times \frac{3}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ ✓ — six cups reassemble the original amount.

검산: $\frac1{12} \times 10 = \frac{10}{12} = \frac56$ ✓.

Check: $\frac1{12} \times 10 = \frac{10}{12} = \frac56$ ✓.

곱셈과 나눗셈은 같은 계급 — 왼쪽부터 처리한다(1단원의 규칙 그대로다).

자기 자신으로 나누면 $1$ — 마지막 단계는 계산 없이도 알 수 있다.

검산: 전체를 한 번에 — $\frac56 \times \frac{3}{10} \times 4 = \frac{5 \times 3 \times 4}{6 \times 10} = \frac{60}{60} = 1$ ✓.

Multiplication and division share one rank — work left to right (Unit 1's rule, unchanged):

Anything divided by itself is $1$ — no computation needed for the last step.

Check in one sweep: $\frac56 \times \frac{3}{10} \times 4 = \frac{5 \times 3 \times 4}{6 \times 10} = \frac{60}{60} = 1$ ✓.

반례 하나면 충분하다:

$8$에 $\frac34$을 곱했더니 오히려 작아졌다. $\frac34$을 곱한다는 것은 "$8$의 $\frac34$만 취한다"는 뜻이므로 줄어드는 것이 당연하다.

정리하면, 양수에 양수를 곱할 때:

• $1$보다 큰 수를 곱하면 원래 수보다 커진다 (예: $8 \times \frac32 = 12$)
• $1$을 곱하면 그대로다
• $1$보다 작은 수를 곱하면 원래 수보다 작아진다 (예: $8 \times \frac34 = 6$)

"곱하면 커진다"는 곱하는 수가 늘 $2, 3, 4, \ldots$였던 자연수 시절의 경험일 뿐, 분수의 세계에서는 곱하는 수와 $1$의 대소가 방향을 정한다.

채점 기준. ① 구체적 반례 하나(계산 포함): 기본 점수. ② $1$과의 대소로 세 경우를 정리: 만점. "전체의 일부만 취하니까 줄어든다"는 뜻풀이가 곁들여지면 더 좋다. 논리가 맞는 다른 설명도 만점.

One counterexample settles it:

Multiplying $8$ by $\frac34$ made it smaller — as it should, since multiplying by $\frac34$ means taking only $\frac34$ of the $8$.

The full picture, for positive numbers:

• multiplying by a number greater than $1$ enlarges (e.g. $8 \times \frac32 = 12$)
• multiplying by $1$ changes nothing
• multiplying by a number less than $1$ shrinks (e.g. $8 \times \frac34 = 6$)

"Multiplying makes bigger" was an artifact of the whole-number years, when every multiplier was $2, 3, 4, \ldots$ In the world of fractions, what decides the direction is whether the multiplier is above or below $1$.

Grading guide. ① One concrete counterexample, computed: base credit. ② The three-case summary organized around $1$: full credit. The interpretive sentence ("you're taking only part of the whole") is a welcome bonus. Any other sound explanation earns full credit.

대분수는 곱하기 전에 가분수로 바꾼다:

정수끼리·분수끼리 곱해서 $2 \times 1 + \frac23 \times \frac12 = 2\tfrac13$으로 쓰면 틀린다 — 덧셈에서 통하던 "정수끼리, 분수끼리"가 곱셈에서는 성립하지 않는다. $2\tfrac23 = 2 + \frac23$이므로 곱셈을 제대로 펼치면 네 조각이 나오는데($2 \times 1$, $2 \times \frac12$, $\frac23 \times 1$, $\frac23 \times \frac12$ — 분배법칙), 두 조각을 빠뜨린 셈이기 때문이다.

검산: 네 조각을 다 더하면 $2 + 1 + \frac23 + \frac13 = 4$ ✓ — 가분수 곱과 일치한다.

Convert mixed numbers to improper fractions before multiplying:

Multiplying "wholes with wholes, fractions with fractions" — $2 \times 1 + \frac23 \times \frac12 = 2\tfrac13$ — is wrong: that shortcut belongs to addition, not multiplication. Since $2\tfrac23 = 2 + \frac23$, expanding the product properly produces four pieces ($2 \times 1$, $2 \times \frac12$, $\frac23 \times 1$, $\frac23 \times \frac12$ — the distributive property), and the shortcut dropped two of them.

Check: adding all four pieces gives $2 + 1 + \frac23 + \frac13 = 4$ ✓ — matching the improper-fraction product.

거꾸로 추적한다. 어떤 수를 $x$라 하면 잘못된 계산은 $x \div \frac34 = 16$이므로, 나눗셈을 되돌리면

바른 계산은 곱셈이다:

검산: $12 \div \frac34 = 12 \times \frac43 = 16$ ✓ — 잘못된 계산 결과와 일치한다.

Trace backwards. Call the number $x$. The mistaken computation says $x \div \frac34 = 16$, so undoing the division gives

The correct computation is the multiplication:

Check: $12 \div \frac34 = 12 \times \frac43 = 16$ ✓ — matching the mistaken result.

각 괄호부터 계산한다. $1 - \frac1k = \frac{k-1}{k}$이므로:

이제 곱 전체를 하나의 분수로 본다 — 분자는 $1 \times 2 \times \cdots \times 9$, 분모는 $2 \times 3 \times \cdots \times 10$. 앞 분수의 분모 $2$는 다음 분수의 분자 $2$와 약분되고, $3$은 $3$끼리, … 가운데가 전부 접히고 나면

만 남는다. 처음 분자 $1$과 마지막 분모 $10$만 살아남는 구조다.

검산: 작은 경우 — $\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right) = \frac12 \times \frac23 = \frac{2}{6} = \frac13$, 규칙대로면 "마지막 분모"인 $\frac13$ ✓.

지난 차시의 도미노 덧셈처럼, 이번엔 곱셈이 사슬로 접히는 구조다. 괄호가 100개여도 답은 $\frac1{100}$ — 구조를 본 사람에게는 한 줄짜리 문제다.

Evaluate each bracket first. Since $1 - \frac1k = \frac{k-1}{k}$, the product is

Now view the whole thing as a single fraction: the numerator is $1 \times 2 \times \cdots \times 9$ and the denominator is $2 \times 3 \times \cdots \times 10$. Each denominator $2$ cancels the next numerator $2$, each $3$ cancels a $3$, and so on — the entire middle folds away, leaving

Only the first numerator, $1$, and the last denominator, $10$, survive.

Check on a small case: $\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right) = \frac12 \times \frac23 = \frac26 = \frac13$ — the "last denominator," as predicted ✓.

Like last lesson's collapsing sum, this is a chain that folds — in multiplication this time. With a hundred brackets the answer would be $\frac1{100}$: one line of work for whoever sees the structure.