부피와 겉넓이Volume & Surface Area

층으로 세면: 한 층 $7 \times 4 = 28$개짜리가 $2$층.

By layers: $7 \times 4 = 28$ cubes per layer, two layers.

부피 $4^3 = 64$, 겉넓이는 $4 \times 4$짜리 면 여섯 장: $6 \times 16 = 96$.

Volume $4^3 = 64$; surface is six $4 \times 4$ faces: $6 \times 16 = 96$.

마주 보는 세 쌍:

Three matching pairs of faces:

$1$ L $= 1000$ mL $= 1000$ cm$^3$ — 한 변 $10$ cm인 정육면체($10^3 = 1000$)가 꼭 $1$ L다.

$1$ L $= 1000$ mL $= 1000$ cm$^3$ — a cube of edge $10$ cm ($10^3 = 1000$) holds exactly one liter.

밑넓이 $\times$ 높이:

Base area times height:

원 두 장과 펼친 옆면:

옆면의 가로가 $2\pi r$(밑면 둘레)라는 것이 계산의 심장이다.

Two circles plus the unrolled side:

The heart of it: the side's width is $2\pi r$, the base circumference.

세제곱해서 $125$가 되는 수를 찾는다: $5^3 = 125$이므로 한 변은 $5$.

제곱근의 세제곱 버전인 셈이다 — 정육면체의 부피에서 변을 되찾는 거꾸로 질문.

Find the number whose cube is $125$: since $5^3 = 125$, the edge is $5$.

The cubed cousin of the square root — recovering the edge from a cube's volume is the same backwards question.

물의 높이는 $7.5$ cm이므로

(전체 부피 $3000$ cm$^3$의 절반으로 봐도 같다 ✓.)

The water stands $7.5$ cm deep, so

(Half of the full $3000$ cm$^3$ — same answer ✓.)

$1$ m$^3 = 100^3 = 1{,}000{,}000$ cm$^3$이므로 $2$ m$^3 = 2{,}000{,}000$ cm$^3$.

길이 $\times 100$, 넓이 $\times 100^2$, 부피 $\times 100^3$ — 지수 사다리의 마지막 칸이다.

$1$ m$^3 = 100^3 = 1{,}000{,}000$ cm$^3$, so $2$ m$^3 = 2{,}000{,}000$ cm$^3$.

Length $\times 100$, area $\times 100^2$, volume $\times 100^3$ — the last rung of the exponent ladder.

기둥이면 밑면 모양과 상관없이 "밑넓이 × 높이"다.

For any prism, whatever the base's shape: base area × height.

밑넓이는 $\frac{6 \times 4}{2} = 12$. 층 쌓기 논리로

직육면체가 아니어도 기둥이면 같은 공식 — 밑면 한 층의 양에 층수를 곱한다.

The base area is $\frac{6 \times 4}{2} = 12$. By the stacking argument,

No box required — any prism obeys the same formula: one layer's content times the number of layers.

한 변 $a$의 정육면체($S = 6a^2$, $V = a^3$)와 한 변 $2a$의 정육면체를 비교한다:

겉넓이는 $4$배, 부피는 $8$배다.

이유는 차원이다 — 겉넓이는 길이 두 방향의 곱이라 배율이 $2^2 = 4$로, 부피는 세 방향의 곱이라 $2^3 = 8$로 들어간다. 피자 문제(지름 $2$배 = 넓이 $4$배)의 3차원 완성판이다. 단위 정육면체로도 보인다: 한 변 $2$짜리 정육면체는 한 변 $1$짜리 $8$개로 채워진다.

채점 기준. 두 배율($4$배·$8$배)의 정확한 계산(1점), 지수 $2^2$·$2^3$이 각각 두 방향·세 방향의 곱에서 온다는 설명(2점). 단위 정육면체 세기($8$개)나 구체 수치 대입으로 설명해도 만점.

Compare cubes of edge $a$ ($S = 6a^2$, $V = a^3$) and edge $2a$:

Surface area: $4$ times. Volume: $8$ times.

The reason is dimension — surface area multiplies lengths in two directions, so the factor enters as $2^2 = 4$; volume multiplies three, so it enters as $2^3 = 8$. The 3-D completion of the pizza problem (double diameter, quadruple area). Unit cubes show it too: a cube of edge $2$ is filled by exactly $8$ cubes of edge $1$.

Grading notes. Both factors computed correctly (1 pt); the two-directions/three-directions account of $2^2$ and $2^3$ (2 pts). Counting unit cubes ($8$) or substituting concrete numbers also earns full credit.

작은 정육면체의 위치(꼭짓점·모서리·면 가운데·정중앙)에 따라 칠해진 면의 수가 정해진다.

A small cube's position — corner, edge, face center, or dead center — determines how many of its faces get paint.

위치별로 나눈다.

• 꼭짓점 자리: $8$개 — 세 면이 칠해진다.
• 모서리 가운데: 모서리 $12$개 × $1$개 — 두 면.
• 각 면의 정중앙: 면 $6$개 × $1$개 — 한 면.
• 정중앙: $1$개 — 아무 면도 안 칠해진다.

따라서 한 면도 안 묻은 것은 $1$개, 한 면만 묻은 것은 $6$개.

검산 — 전부 세면 $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ ✓: 빠뜨린 위치가 없다. 위치로 분류하고 전체 개수로 검산하는 이 틀은 $4 \times 4 \times 4$($8 + 24 + 24 + 8 = 64$)로도 그대로 확장된다.

Classify by position.

• Corners: $8$ cubes — three faces painted.
• Edge centers: $12$ edges × $1$ — two faces.
• Face centers: $6$ faces × $1$ — exactly one face.
• Dead center: $1$ cube — untouched.

So $1$ cube has no paint and $6$ have exactly one painted face.

Check — the count closes: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ ✓, no position forgotten. The same classify-then-total frame scales straight up to $4 \times 4 \times 4$ ($8 + 24 + 24 + 8 = 64$).

옮겨 부어도 변하지 않는 것은 부피다. 원기둥의 부피 식을 높이에 대해 거꾸로 풀자.

Pouring preserves one thing: the volume. Solve the cylinder's volume formula backwards for the height.

불변량은 물의 부피다:

원기둥에서 높이를 $h$라 하면 $\pi \times 5^2 \times h = 1000$, 즉 $25\pi h = 1000$:

검산: $25\pi \times \frac{40}{\pi} = 1000$ ✓ — $\pi$가 약분되어 되돌아온다. 답이 $\pi$를 분모에 품는 것이 어색해 보여도, 그것이 정확한 값이다 — 소수는 어디까지나 어림이다.

The invariant is the water's volume:

In the cylinder, with height $h$: $\pi \times 5^2 \times h = 1000$, that is $25\pi h = 1000$:

Check: $25\pi \times \frac{40}{\pi} = 1000$ ✓ — the $\pi$ cancels on the way back. A $\pi$ in the denominator may look odd, but it is the exact value — the decimal is only an estimate.