비례식과 단위 환산Proportions & Unit Conversion

$4 \to 8$의 배율은 $2$이므로 $\square = 9 \times 2 = 18$.

검산: 외항의 곱 $4 \times 18 = 72$, 내항의 곱 $9 \times 8 = 72$ — 같다 ✓.

The scale factor $4 \to 8$ is $2$, so $\square = 9 \times 2 = 18$.

Check: extremes $4 \times 18 = 72$, means $9 \times 8 = 72$ — equal ✓.

외항의 곱 $6 \times 15 = 90$, 내항의 곱 $10 \times 9 = 90$. 두 곱이 같으므로 참인 비례식이다.

비의 값으로 봐도 $\frac6{10} = \frac35$, $\frac9{15} = \frac35$ — 같은 값이다 ✓.

Extremes: $6 \times 15 = 90$. Means: $10 \times 9 = 90$. Equal products, so the proportion is true.

By ratio values as well: $\frac6{10} = \frac35$ and $\frac9{15} = \frac35$ — the same ✓.

$1$ km $= 1000$ m이므로 $2.7 \times 1000 = 2{,}700$ m.

상식 검산: km에서 m로 — 더 작은 단위로 쟀으니 개수가 많아지는 게 맞다.

$1$ km $= 1000$ m, so $2.7 \times 1000 = 2{,}700$ m.

Sanity check: km to m means measuring with a smaller unit, so the count must grow.

$1$시간 $= 60$분이므로 $2.25 \times 60 = 135$분.

$225$분이 아니다 — 시간은 $60$ 기반이라 자릿수 감각으로 붙여 읽으면 틀린다. 검산: $135 \div 60 = 2.25$ ✓.

$1$ hour $= 60$ minutes, so $2.25 \times 60 = 135$ minutes.

Not $225$ — time runs on $60$s, so digit-instinct misleads. Check: $135 \div 60 = 2.25$ ✓.

$3 \to 12$의 배율을 써도 되고, 내항의 곱 = 외항의 곱을 써도 된다. 빈칸이 내항이라는 점에 주의.

Either use the scale factor $3 \to 12$, or means-times-extremes. Note that the blank is one of the means.

내항의 곱 = 외항의 곱:

검산: $3 : 7 = 12 : 28$ (양쪽에 $4$를 곱하면 일치) ✓.

Means multiply to what extremes multiply to:

Check: $3 : 7 = 12 : 28$ (multiply both parts by $4$) ✓.

실제 거리는 $6 \times 250{,}000 = 1{,}500{,}000$ cm. 단위를 올린다:

검산: $15$ km $= 1{,}500{,}000$ cm를 $250{,}000$으로 나누면 지도에서 $6$ cm ✓.

The real distance is $6 \times 250{,}000 = 1{,}500{,}000$ cm. Climb the units:

Check: $15$ km $= 1{,}500{,}000$ cm, divided by $250{,}000$, is $6$ cm on the map ✓.

(사과) $:$ (주스) 자리를 지켜 비례식을 세운다:

단위 비율로 봐도 같다 — 사과 한 개당 $900 \div 12 = 75$ mL이므로 $75 \times 20 = 1{,}500$ mL ✓.

Keep (apples) $:$ (juice) positions consistent:

The unit rate agrees: $900 \div 12 = 75$ mL per apple, and $75 \times 20 = 1{,}500$ mL ✓.

$1$ m$^2 = 100 \times 100 = 10{,}000$ cm$^2$이므로

$0.5 \times 100 = 50$ cm$^2$는 함정이다 — 넓이는 가로·세로가 함께 $100$배라 환산 인수가 $100^2$이다.

$1$ m$^2 = 100 \times 100 = 10{,}000$ cm$^2$, so

$0.5 \times 100 = 50$ cm$^2$ is the trap — area scales in both directions, so the factor is $100^2$.

비례식을 세우기 전에 할 일 — 두 그림자의 단위가 다르다.

One thing comes before the proportion — the two shadows are in different units.

단위부터 통일한다: $90$ cm $= 0.9$ m. 같은 시각이면 (높이) $:$ (그림자)의 비가 같으므로

나무의 높이는 $4$ m. 검산: $4 : 3$과 $1.2 : 0.9$는 둘 다 값이 $\frac43$ ✓. ($1.2 : 90$으로 세우면 단위가 뒤섞여 엉뚱한 답이 나온다.)

Unify units first: $90$ cm $= 0.9$ m. At the same moment, (height) $:$ (shadow) is the same ratio:

The tree is $4$ m tall. Check: $4 : 3$ and $1.2 : 0.9$ both have value $\frac43$ ✓. (Setting up $1.2 : 90$ mixes units and produces nonsense.)

$1$시간은 몇 초인가? 먼저 "한 시간 동안 몇 m를 가는지"부터.

How many seconds are in an hour? Find the meters covered in one hour first.

$1$시간 $= 60 \times 60 = 3600$초. 초마다 $5$ m씩이므로 한 시간에

시속 $18$ km다. 검산: $18{,}000 \div 3600 = 5$ ✓. (m/s에서 km/h로는 $\times 3.6$ — 이 문제로 그 이유가 보인다: $\frac{3600}{1000} = 3.6$.)

$1$ hour $= 60 \times 60 = 3600$ seconds. At $5$ m each second, one hour covers

so $18$ km/h. Check: $18{,}000 \div 3600 = 5$ ✓. (The shortcut m/s $\to$ km/h is $\times 3.6$, and this problem shows why: $\frac{3600}{1000} = 3.6$.)

틀렸다. 한 변이 $1$ m인 정사각형을 떠올리자. 각 변이 $100$ cm이므로 이 정사각형은 한 변 $1$ cm짜리 칸으로 가로 $100$칸, 세로 $100$줄 — 모두

으로 덮인다. 즉 $1$ m$^2 = 10{,}000$ cm$^2$이다. 길이는 한 방향의 양이라 환산 인수가 $100$이지만, 넓이는 가로·세로 두 방향이 함께 $100$배가 되므로 인수가 $100^2$이 된다. $100$ cm$^2$는 겨우 $10$ cm $\times$ $10$ cm — 손바닥만 한 넓이로, $1$ m$^2$(책상 상판쯤)와는 비교가 안 된다.

채점 기준. 옳은 값 $10{,}000$ cm$^2$(1점), 두 방향이 함께 늘어난다는 근거 — 격자 세기, $100 \times 100$ 계산, 또는 그림(2점). 상식 크기 비교(손바닥 vs 책상)만으로 반박했다면 근거 절반으로 1점.

It's wrong. Picture a square with side $1$ m. Each side is $100$ cm, so the square is tiled by $1$ cm squares in $100$ columns and $100$ rows —

So $1$ m$^2 = 10{,}000$ cm$^2$. Length is a one-direction quantity, so its conversion factor is $100$; area grows in two directions at once, so the factor becomes $100^2$. And $100$ cm$^2$ is just $10$ cm $\times 10$ cm — palm-sized, nowhere near a square meter (roughly a desktop).

Grading notes. Correct value $10{,}000$ cm$^2$ (1 pt); the two-directions argument — tile counting, the $100 \times 100$ computation, or a picture (2 pts). A size-plausibility argument alone (palm vs. desktop) earns partial credit (1 pt).

$a$와 $b$를 몫으로 나타내 보자 — 몫 하나의 크기를 $k$라 하면 $a$와 $b$는 각각 얼마인가?

Express $a$ and $b$ in shares — if one share is $k$, what are $a$ and $b$?

$a : b = 3 : 4$이므로 몫 하나를 $k$라 하면 $a = 3k$, $b = 4k$다. 대입하면

따라서 $(2a+b) : (a+2b) = 10k : 11k = 10 : 11$.

몫 $k$가 지워지는 것이 핵심이다 — 실제 크기를 몰라도 비는 정해진다. 검산: $a = 3$, $b = 4$로 직접 넣으면 $10 : 11$ ✓, $a = 6$, $b = 8$로 넣어도 $20 : 22 = 10 : 11$ ✓.

From $a : b = 3 : 4$, let one share be $k$, so $a = 3k$ and $b = 4k$. Then

so $(2a+b) : (a+2b) = 10k : 11k = 10 : 11$.

The point is that $k$ cancels — the ratio is fixed even though the actual sizes aren't. Check: $a = 3$, $b = 4$ gives $10 : 11$ ✓; $a = 6$, $b = 8$ gives $20 : 22 = 10 : 11$ ✓.

맞물려 도는 두 바퀴는 같은 시간 동안 지나간 톱니 수가 같다. 그렇다면 회전수의 비는 톱니 수의 비와 어떤 관계인가?

Meshed gears pass the same number of teeth in the same time. So how does the ratio of turn counts relate to the ratio of teeth counts?

맞물린 두 바퀴는 지나간 톱니 수가 항상 같다. 큰 바퀴가 $x$바퀴, 작은 바퀴가 $y$바퀴 돌았다면

즉 $x : y = 24 : 36 = 2 : 3$ — 회전수의 비는 톱니 수의 비를 뒤집은 것이다(톱니가 적을수록 많이 돈다).

몫으로 읽으면 큰 바퀴 $2$몫, 작은 바퀴 $3$몫, 차이는 $1$몫. 그 차이가 $20$바퀴라 했으므로 $1$몫 $= 20$, 큰 바퀴는 $2$몫 $= 40$바퀴다(작은 바퀴는 $60$바퀴).

검산: 지나간 톱니 수 — 큰 바퀴 $36 \times 40 = 1440$, 작은 바퀴 $24 \times 60 = 1440$ — 일치 ✓, 회전수 차 $60 - 40 = 20$ ✓.

Meshed gears always pass equal numbers of teeth. If the large gear makes $x$ turns and the small one $y$,

so $x : y = 24 : 36 = 2 : 3$ — turn counts are in the ratio of the teeth counts flipped (fewer teeth, more turns).

In shares: large $= 2$ shares, small $= 3$ shares, difference $= 1$ share. That difference is $20$ turns, so one share is $20$, and the large gear made $2$ shares $= 40$ turns (the small one $60$).

Check: teeth passed — $36 \times 40 = 1440$ and $24 \times 60 = 1440$, equal ✓; the turn difference is $60 - 40 = 20$ ✓.