한 단계·두 단계 방정식One- & Two-Step Equations

Pre-AlgebraPre-Algebra · 6. 일차식과 간단한 방정식6. Expressions & Simple Equations

학습 목표

방정식·미지수·해의 뜻을 알고, 어떤 수가 해인지 대입으로 판정할 수 있다.
등식의 성질(양변에 같은 연산)을 저울 그림으로 설명할 수 있다.
한 단계 방정식을 네 연산 모두에 대해 풀 수 있다.
두 단계 방정식을 "만든 순서의 역순으로 벗기기"로 풀 수 있다.
푼 해를 반드시 원래 식에 대입해 검산한다.

방정식: 참이 되는 값을 찾는 문제

$x + 3 = 8$ 은 그 자체로 참도 거짓도 아니다 — $x$ 가 $5$ 면 참, 다른 수면 거짓이다. 이렇게 문자의 값에 따라 참·거짓이 갈리는 등식을 방정식이라 하고, 그 문자를 미지수, 등식을 참으로 만드는 값을 해라 한다.

해인지 아닌지는 물어볼 것도 없이 대입으로 판정된다. $x = 5$ 를 넣으면 $5 + 3 = 8$ ✓ — 해다. $x = 4$ 를 넣으면 $7 = 8$ ✗ — 해가 아니다. 방정식을 "푼다"는 것은 이 판정을 통과하는 값을 찾아내는 일이다.

저울: 등식을 다루는 유일한 규칙

등식은 양팔저울이다. 왼쪽 접시와 오른쪽 접시가 균형을 이루고 있을 때, 양쪽에 똑같은 짓을 하면 균형은 유지된다 — 같은 것을 덜어도, 얹어도, 양쪽을 같은 배수로 불리거나 줄여도.

양쪽 접시에서 똑같이 3을 덜어내면 균형이 유지된 채 x만 남는다.

x + 3 = 8 \;\xrightarrow{\;\text{양변에서 } 3 \text{ 빼기}\;}\; x = 5.

이것이 등식의 성질이다: 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 ( $0$ 이 아닌 수로) 나누어도 등식은 성립한다. 방정식 풀이의 도구는 이 네 가지가 전부다 — 목표는 미지수를 한쪽에 홀로 남기는 것.

참고

나눗셈에만 " $0$ 이 아닌"이 붙는 이유: $0$ 으로 나누기는 애초에 정의되지 않기 때문이다(분수 차시에서 $\div 0$ 이 불가능한 이유를 보았다). 또 하나 — 양변에 $0$ 을 곱하면 $0 = 0$ 이 되어 등식은 성립하지만 미지수의 정보가 몽땅 지워진다. 성립한다고 다 유용한 것은 아니다.

한 단계 방정식: 연산 하나 벗기기

미지수에 붙은 연산이 하나면, 그 반대 연산을 양변에 하면 끝난다.

예제 1 · 네 가지 한 단계

(1) $x + 9 = 4$ (2) $x - 6 = -2$ (3) $5x = -35$ (4) $\dfrac{x}{4} = 7$

풀이. (1) 양변에서 $9$ 를 뺀다: $x = -5$ . 검산: $-5 + 9 = 4$ ✓.

(2) 양변에 $6$ 을 더한다: $x = 4$ . 검산: $4 - 6 = -2$ ✓.

(3) 양변을 $5$ 로 나눈다: $x = -7$ . 검산: $5 \times (-7) = -35$ ✓.

(4) 양변에 $4$ 를 곱한다: $x = 28$ . 검산: $28 \div 4 = 7$ ✓.

해가 음수인 것에 겁먹지 말자 — (1)에서 "더했는데 작아졌다"는 것 자체가 해가 음수라는 예고다.

두 단계: 입힌 순서의 역순으로 벗긴다

$2x - 5 = 11$ 에서 $x$ 는 옷을 두 벌 입고 있다 — 먼저 $\times 2$ , 그 위에 $-5$ . 옷은 나중에 입은 것부터 벗는 법이다:

2x - 5 = 11 \;\xrightarrow{+5}\; 2x = 16 \;\xrightarrow{\div 2}\; x = 8.

검산: $2 \times 8 - 5 = 11$ ✓. 문자와 식 차시의 탁자 문제에서 "거꾸로 벗기기"라 부르던 것이 바로 이 절차였다 — $2n + 2 = 38$ 을 $-2$ , $\div 2$ 순서로 벗겨 $n = 18$ 을 얻었던 것.

주의

순서를 바꿔 $2x - 5 = 11$ 의 양변을 먼저 $2$ 로 나누면 $x - \frac52 = \frac{11}2$ — 틀리지는 않지만 분수가 쏟아진다. 마지막에 입힌 옷(여기서는 $-5$ )부터 벗기는 것이 계산을 깨끗하게 유지하는 요령이다.

예제 2 · 문장제로

어떤 수의 $3$ 배에 $4$ 를 더했더니 $19$ 가 되었다. 어떤 수를 구하여라.

풀이. 어떤 수를 $x$ 라 하면(번역은 지난 차시의 기술):

3x + 4 = 19 \;\xrightarrow{-4}\; 3x = 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; x = 5.

검산은 문장으로 돌아가서: $5$ 의 $3$ 배는 $15$ , 거기에 $4$ 를 더하면 $19$ ✓.

검산은 선택이 아니다

방정식 풀이의 마지막 줄은 언제나 검산이다 — 해 후보를 원래 방정식에 대입해 참인지 확인한다. 중간에 정리한 식이 아니라 원래 식에 넣어야 하는 이유는, 잘못이 있었다면 대개 중간 어딘가에서 생겼기 때문이다. 대입 한 줄이면 풀이 전체가 보증된다 — 이렇게 싼 보험이 없다.

양변에 문자가 있는 방정식( $5x - 3 = 2x + 9$ ), 괄호와 분수가 얽힌 방정식은 Algebra 1의 첫 단원에서 이 도구들 그대로로 정복한다. 저울과 역순 벗기기, 그리고 검산 — 오늘 챙긴 세 가지가 거기서도 전부다.

Goals

Know what equations, unknowns, and solutions are, and test a candidate solution by substitution.
Explain the properties of equality with the balance-scale picture.
Solve one-step equations across all four operations.
Solve two-step equations by "unwrapping in reverse order."
Always check a solution in the original equation.

An equation: find the value that makes it true

$x + 3 = 8$ is neither true nor false on its own — true if $x$ is $5$ , false otherwise. An equality whose truth depends on the value of a letter is an equation; the letter is the unknown, and a value making it true is a solution.

Whether a value is a solution is settled by substitution, no debate required. Put in $x = 5$ : $5 + 3 = 8$ ✓ — a solution. Put in $x = 4$ : $7 = 8$ ✗ — not. To "solve" an equation is to hunt down the values that pass this test.

The balance: the one rule for handling equations

An equation is a two-pan balance. With the pans level, doing the same thing to both sides keeps them level — remove equal amounts, add equal amounts, scale both by the same factor.

Take 3 off both pans and the balance holds — leaving x alone.

x + 3 = 8 \;\xrightarrow{\;\text{subtract } 3 \text{ from both sides}\;}\; x = 5.

These are the properties of equality: adding, subtracting, multiplying, or dividing both sides by the same number (nonzero, for division) preserves the equality. Equation solving uses these four tools and nothing else — the goal being to leave the unknown alone on one side.

Note

Why "nonzero" only for division: dividing by $0$ was never defined in the first place (the fractions unit showed why $\div 0$ cannot work). One more caution — multiplying both sides by $0$ yields $0 = 0$ : still a true equality, but every trace of the unknown is erased. Valid is not the same as useful.

One-step equations: remove one layer

If one operation clings to the unknown, apply its opposite to both sides and you're done.

Example 1 · All four one-steps

(1) $x + 9 = 4$ (2) $x - 6 = -2$ (3) $5x = -35$ (4) $\dfrac{x}{4} = 7$

Solution. (1) Subtract $9$ from both sides: $x = -5$ . Check: $-5 + 9 = 4$ ✓.

(2) Add $6$ : $x = 4$ . Check: $4 - 6 = -2$ ✓.

(3) Divide by $5$ : $x = -7$ . Check: $5 \times (-7) = -35$ ✓.

(4) Multiply by $4$ : $x = 28$ . Check: $28 \div 4 = 7$ ✓.

Don't flinch at negative solutions — in (1), "adding made it smaller" is itself the announcement that the solution is negative.

Two steps: unwrap in the reverse order

In $2x - 5 = 11$ , the unknown wears two layers — first $\times 2$ , then $-5$ on top. Layers come off last one first:

2x - 5 = 11 \;\xrightarrow{+5}\; 2x = 16 \;\xrightarrow{\div 2}\; x = 8.

Check: $2 \times 8 - 5 = 11$ ✓. This is precisely the "walking backwards" from the variables lesson's table problem — peeling $2n + 2 = 38$ by $-2$ then $\div 2$ to reach $n = 18$ .

Watch out

Reversing the order — dividing $2x - 5 = 11$ by $2$ first — gives $x - \frac52 = \frac{11}2$ : not wrong, but fractions pour out. Removing the outermost layer first (here the $-5$ ) keeps the arithmetic clean.

Example 2 · As a word problem

Three times a number, plus $4$ , equals $19$ . Find the number.

Solution. Let the number be $x$ (translation is last lesson's skill):

3x + 4 = 19 \;\xrightarrow{-4}\; 3x = 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; x = 5.

Check against the words: three times $5$ is $15$ , plus $4$ is $19$ ✓.

Checking is not optional

The last line of every solution is the check — substitute the candidate into the original equation and confirm it's true. The original, not some midway version: if a mistake happened, it happened somewhere in the middle. One line of substitution certifies the entire solution — insurance has never been cheaper.

Equations with the unknown on both sides ( $5x - 3 = 2x + 9$ ), with parentheses, with fractions — Algebra 1's opening unit conquers them all with exactly these tools. The balance, reverse unwrapping, and the check: today's three take you the whole way there.