주하는 구슬을 개, 동생은 개 가지고 있다. 두 사람을 비교하는 말은 두 갈래다.
지금까지의 산수는 주로 첫 번째 언어를 썼다. 이번 단원의 주인공은 두 번째 언어다. 레시피를 두 배로 늘릴 때, 지도의 축척을 읽을 때, 할인율을 따질 때 — 세상이 "몇 개 더"가 아니라 "몇 배"로 움직이는 곳마다 이 언어가 나온다. 그 표기가 비다.
두 양 , 를 곱셈적으로 비교하는 표기 (" 대 "라고 읽는다). 앞의 양을 뒤의 양과 견주며, 순서가 뜻을 바꾼다 — 은 주하 대 동생, 는 동생 대 주하다.
에서 앞 양이 뒤 양의 몇 배인지 따지면 — 지난 단원에서 다진 분수가 그대로 나온다. 이 를 비 의 비의 값이라 한다. 의 비의 값은 , 아까의 "1.5배"다.
빨간 구슬과 파란 구슬이 이라 하자. 그럼 빨간 구슬은 전체의 인가? 아니다. 은 빨강을 파랑과 견준 부분 대 부분의 비다. 전체는 몫이므로 빨강은 전체의 다. "무엇 대 무엇인지"를 묻지 않고 분수부터 쓰는 것이 이 단원에서 가장 잦은 실수다.
구슬이 빨강 개, 파랑 개면 . 두 개씩 봉지에 담아 세면 봉지 수는 , 네 개씩 담으면 . 세 표기가 가리키는 비교는 전부 같다 — 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눠도 비는 변하지 않는다. 근거는 새로울 것이 없다. 비의 값이 으로 전부 같기 때문이다. 크기가 같은 분수의 성질이 옷만 갈아입고 다시 나온 것이다.
그래서 분수를 약분하듯 비도 가장 간단한 자연수의 비로 정리한다. 더 나눌 공약수가 없을 때까지 나누면 된다.
다음 비를 가장 간단한 자연수의 비로 고쳐라.
(1) (2)
풀이. (1) 최대공약수 으로 나눈다: .
(2) 소수가 끼어 있으면 먼저 자연수로 만든다. 양쪽에 을 곱하면 , 다시 로 나누면 . 지난 차시의 소수가 여기서도 일한다 — 이니 배가 자연수를 만든다.
팬케이크 반죽이 우유 컵에 밀가루 컵이라 하자. 양을 늘려도 맛이 같으려면 비를 유지한 채 늘려야 한다:
| 우유(컵) | ||||
|---|---|---|---|---|
| 밀가루(컵) |
각 열은 에 같은 수를 곱한 것 — 왼쪽 열의 배, 배, 배다. 이렇게 곱하는 수를 배율이라 부르자. 표의 어느 열에서 출발하든, 원하는 열까지 배율 하나로 건너갈 수 있다.
우유 컵 : 밀가루 컵의 반죽을 우유 컵으로 만들면 밀가루는 몇 컵 필요한가?
풀이. 우유가 이 됐으니 배율은 . 밀가루도 같은 배율로:
검산: 의 양쪽에 를 곱하면 , 로 나누면 ✓. 배율이 자연수가 아니어도 겁낼 것 없다 — 분수·소수 곱셈은 이미 우리 것이다.
여기까지의 비는 컵 대 컵, 구슬 대 구슬 — 같은 종류끼리였다. 그런데 km를 시간에 달린 기차처럼 단위가 다른 두 양을 견주는 일이 훨씬 많다. 이런 비를 비율(rate)이라 하고, 특히 뒤 양을 로 만든 비율을 단위 비율이라 한다.
"시간당 km" — 이것이 속력이고, 표기 km/h의 빗금은 "시간마다"라는 뜻이다. 값으로는 , 나눗셈 한 번이다. 단가(원/개), 연비(km/L), 타율까지 — 일상의 "~당 얼마"는 전부 단위 비율이다.
같은 주스가 캔에 원, 캔에 원으로 팔린다. 어느 묶음이 유리한가?
풀이. 캔 하나당 가격(단위 비율)으로 나란히 세운다:
캔 묶음이 캔당 원 싸다. 묶음의 크기가 달라 총액으로는 견줄 수 없던 것이, 캔 기준으로 맞추는 순간 비교가 된다 — 단위 비율은 비교의 공통 잣대다.
단위 비율은 어느 쪽을 로 만드느냐에 따라 둘이다. 캔에 원은 "캔당 원"이기도 하고 "원당 약 캔"이기도 하다. 보통은 묻는 말("얼마인가?")의 단위를 앞에 세운 쪽이 편하다.
이번엔 거꾸로, 전체가 먼저 주어진다. 형과 동생이 원을 으로 나눠 가지려면 각각 얼마씩인가?
비 은 전체가 몫이라는 뜻이다. 그러니 몫 하나의 크기부터 구한다:
형은 몫 원, 동생은 몫 원. 검산 둘 — 합치면 원이고, 비는 (으로 나누기) ✓. 절차보다 그림 하나가 기억에 오래 남는다: 전체를 몫의 개수로 자르고, 자른 조각을 비대로 묶는다.
Juha has marbles and her little brother has . There are two different sentences that compare them:
Arithmetic so far has mostly spoken the first language. This unit belongs to the second. Doubling a recipe, reading a map scale, judging a discount — wherever the world works in "times as much" rather than "more than," this is the language you need. Its notation is the ratio.
A multiplicative comparison of two quantities and , written (read " to "). It measures the first against the second, and order changes the meaning: compares Juha to her brother; compares him to her.
Asking how many times the first quantity is of the second gives — the fractions of the last unit, back on stage. This is the value of the ratio . For the value is : the "1.5 times" from before.
Say red and blue marbles are in the ratio . Is red of the marbles? No. compares red against blue — part to part. The whole is shares, so red is of the whole. Writing a fraction before asking "compared to what?" is the single most common mistake in this unit.
With red and blue marbles the ratio is . Bag them in twos and count bags: . In fours: . All three name the same comparison — multiplying or dividing both parts by the same number leaves a ratio unchanged. Nothing here is new: the ratio's value stays throughout. It's the equivalent-fractions property in a different outfit.
So, just as fractions get reduced, ratios get written in simplest whole-number form: divide until no common factor is left.
Write each ratio in simplest whole-number form.
(1) (2)
Solution. (1) Divide both parts by the GCF : .
(2) Clear the decimal first. Multiplying both parts by gives ; dividing by gives . Last lesson's decimals earn their keep — , so a factor of makes it whole.
Pancake batter takes cups of milk to cups of flour. To make more batter that tastes the same, the amounts must grow keeping the ratio:
| Milk (cups) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Flour (cups) |
Every column is times some number — the first column scaled by , , . Call that multiplier the scale factor. From any column you can reach any other with a single scale factor.
The batter uses milk : flour . With cups of milk, how much flour?
Solution. Milk went , so the scale factor is . Flour scales the same way:
Check: doubling gives , and dividing by gives ✓. A non-whole scale factor is no cause for alarm — fraction and decimal multiplication belong to us now.
So far the comparisons were cups to cups, marbles to marbles — like with like. But much of the time the two quantities carry different units, like a train covering km in hours. Such a ratio is called a rate, and a rate rewritten so that the second quantity is is a unit rate:
" km per hour" — that's speed, and the slash in km/h means "for each hour." Numerically it's one division: . Price per item, fuel economy per liter, points per game — every everyday "per" is a unit rate.
The same juice sells as cans for won or cans for won. Which pack is the better buy?
Solution. Put both on the same footing — price per can:
The -can pack is won per can cheaper. The totals couldn't be compared directly because the packs differ in size; the moment both are measured per single can, the comparison snaps into focus. A unit rate is a common yardstick.
Every rate has two unit rates, depending on which side you set to . Six cans for won is " won per can" and also "about cans per won." Usually the convenient one puts the unit of the question — "how much?" — up front.
Now run it backwards: the whole comes first. Two brothers want to split won in the ratio . How much does each get?
The ratio says the whole consists of shares. So find one share first:
The older brother takes shares won, the younger shares won. Two checks: the amounts rebuild the total, , and their ratio is (divide by ) ✓. Better than memorizing steps, keep the picture: cut the whole into shares, then group the shares by the ratio.
비 를 가장 간단한 자연수의 비로 고쳐라.
Write the ratio in simplest whole-number form.
양쪽을 최대공약수 으로 나눈다:
검산: 의 양쪽에 을 곱하면 로 되돌아온다 ✓.
Divide both parts by the GCF :
Check: multiplying back up by returns ✓.
어느 학급에 남학생이 명, 여학생이 명 있다. 남학생 수와 여학생 수의 비, 그리고 남학생 수와 학급 전체 학생 수의 비를 각각 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.
A class has boys and girls. Write, in simplest whole-number form, the ratio of boys to girls, and the ratio of boys to the whole class.
부분 대 부분: (양쪽 ).
전체는 명이므로 부분 대 전체는 (양쪽 ).
같은 남학생 수라도 무엇과 견주는지에 따라 비가 달라진다 — 이 구분이 이 문제의 전부다.
Part to part: (divide by ).
The whole class has students, so part to whole is .
The same count of boys gives two different ratios — what matters is what you compare against.
공책 권이 원이다. 공책 한 권의 값은 얼마인가?
Four notebooks cost won. What is the price of one notebook?
단위 비율로 만든다: 원/권.
검산: ✓.
Make it a unit rate: won per notebook.
Check: ✓.
와 크기가 같은 비 에서 에 들어갈 수는?
The ratio is equal to . What number goes in the box?
뒤 양이 이 됐으니 배율은 . 앞 양도 같은 배율로 .
검산: 을 로 나누면 ✓.
The second part went , a scale factor of . Scale the first part the same way: .
Check: dividing by gives ✓.
주스 원액과 물을 로 섞어 주스를 만들었다. 완성된 주스에서 원액이 차지하는 부분은 전체의 몇 분의 몇인가?
Juice concentrate and water are mixed in the ratio . What fraction of the finished drink is concentrate?
는 원액 대 물, 부분 대 부분의 비다. 전체는 몫이고 그중 원액이 몫이므로 원액은 전체의 이다.
이라고 답했다면 원액을 물하고만 견준 것 — 마신 것은 물이 아니라 전체다.
compares concentrate to water — part to part. The whole drink is shares, and concentrate is of them: of the whole.
Answering measures the concentrate against the water only — but what you drink is the whole mixture.
같은 우유가 팩에 원, 팩에 원으로 팔린다. 어느 묶음이 유리한지 답하고, 팩당 가격을 각각 밝혀라.
The same milk sells as cartons for won or cartons for won. Which pack is the better buy? Give the price per carton for both.
팩당 가격으로 맞춰 세운다:
팩 묶음이 팩당 원 싸다. 총액 만 보고 "비싸니까 손해"라고 하면 안 된다 — 묶음의 크기가 다르므로 팩 기준으로 견줘야 한다.
Line them up per carton:
The -pack is won per carton cheaper. Judging by totals alone () is meaningless — the packs differ in size, so the fair comparison is per single carton.
기차가 km를 시간 분에 달렸다. 이 기차의 속력은 시속 몇 km인가?
A train covers km in hours minutes. What is its speed in km per hour?
시간 분 시간. 단위 비율(1시간당 거리)로:
시속 km다. 검산: ✓. (분을 시간으로 쓰는 실수를 조심 — 분은 시간, 즉 시간이다.)
h min hours. The unit rate (distance per one hour) is
so km/h. Check: ✓. (Watch the classic slip of writing minutes as hours — half an hour is .)
원을 언니와 동생이 로 나눠 가지려 한다. 각각 얼마씩 갖게 되는가?
Two sisters split won in the ratio . How much does each receive?
전체는 몫. 한 몫은
언니는 몫 원, 동생은 몫 원.
검산: ✓, (으로 나누기) ✓.
The whole is shares, so one share is
The elder gets shares won; the younger gets shares won.
Check: ✓ and (divide by ) ✓.
쌀과 물을 로 넣는 밥 짓기 방법이 있다. 쌀을 컵 넣으면 물은 몇 컵 넣어야 하는가?
A rice recipe calls for rice and water in the ratio . With cups of rice, how much water is needed?
쌀이 가 됐으니 배율은 . 물도 같은 배율로
검산: 의 양쪽에 를 곱하면 ✓.
Rice went , a scale factor of . Water scales identically:
Check: doubling gives ✓.
형과 동생이 가진 구슬 수의 비는 이다. 형이 동생에게 구슬 개를 주면 두 사람의 구슬 수가 같아진다. 형이 처음에 가진 구슬은 몇 개인가?
Two brothers have marbles in the ratio . If the older gives the younger marbles, they end up with equal amounts. How many marbles did the older brother start with?
구슬을 개 건네면 두 사람의 차이는 몇 개 줄어드는가? 그리고 비 에서 차이는 몇 몫인가?
When marbles change hands, by how much does the gap between them shrink? And how many shares wide is the gap in a ratio?
비 을 몫으로 읽으면 형은 몫, 동생은 몫 — 차이는 몫이다.
구슬 개를 건네면 형은 개 줄고 동생은 개 늘어, 차이가 개 줄어든다. 같아진다는 것은 차이가 이 된다는 뜻이므로 원래 차이가 개였다는 것:
형은 몫 개(동생은 개). 검산: , — 같아진다 ✓, 그리고 ✓.
Read in shares: the older has , the younger — a gap of shares.
Handing over marbles lowers one side by and raises the other by , shrinking the gap by . Ending equal means the gap becomes , so the original gap was marbles:
The older brother had shares marbles (the younger ). Check: and — equal ✓, and ✓.
지호는 살, 동생 지우는 살이라 나이의 비는 이다. 지호가 "우리 나이 비는 앞으로도 계속 이야"라고 주장한다. 옳은 주장인지 판정하고 이유를 설명하여라.
Jiho is and his sister Jiwoo is , so their age ratio is . Jiho claims, "Our ages will stay in the ratio forever." Decide whether he is right and explain.
옳지 않다. 년 뒤를 보면 지호는 살, 지우는 살 — 비는 이지 이 아니다.
이유는 비교의 종류가 다르기 때문이다. 해가 지나면 두 사람의 나이에 같은 수가 더해진다. 덧셈 비교(나이 차 살)는 그대로 유지되지만, 비는 곱셈 비교라서 같은 수를 곱할 때만 유지된다. 양쪽에 같은 수를 더하는 것은 비를 보존하지 않는다 — 과 의 비의 값이 와 로 다른 것이 그 증거다. (시간이 아주 많이 흐르면 비는 에 한없이 가까워진다 — 나이 차 이 점점 사소해지기 때문이다.)
채점 기준. 반례(미래 시점의 나이 계산)를 제시했는가(1점), "같은 수를 더하면 비가 변한다 / 곱해야 유지된다"는 원리를 짚었는가(2점). 비의 값의 변화()로 설명해도, 다른 시점의 반례를 들어도 논리가 맞으면 만점.
He is wrong. Six years from now Jiho is and Jiwoo is — the ratio is , not .
The reason is a clash of comparison types. Each passing year adds the same number to both ages. The additive comparison (a -year gap) is preserved, but a ratio is a multiplicative comparison, preserved only when both parts are multiplied by the same number. Adding equally does not preserve it — witness the ratio's value dropping from to between and . (Far in the future the ratio creeps toward , as the fixed -year gap matters less and less.)
Grading notes. A concrete counterexample with future ages (1 pt); naming the principle — adding the same amount changes a ratio, only scaling preserves it (2 pts). Arguing via the ratio's value (), or with a different future year, earns full credit — any sound reasoning does.
이고 일 때, 를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.
If and , write in simplest whole-number form.
두 비에서 가 받은 몫의 크기가 서로 다르다. 를 같은 수로 맞추면 두 비를 이어 붙일 수 있다.
The share of has different sizes in the two ratios. Match to a common number and the ratios will chain together.
첫 비의 는 몫, 둘째 비의 는 몫 — 몫의 크기가 달라 바로 이을 수 없다. 를 과 의 최소공배수 로 맞춘다:
이제 가 공통이므로 , 따라서
검산: ✓, ✓. 통분과 같은 원리다 — 다른 조각 크기를 공통 단위로 다시 자른다.
In the first ratio is shares; in the second it is — different share sizes, so the ratios can't be joined yet. Rescale to the LCM of and , which is :
With shared, , so
Check: ✓ and ✓. It's the common-denominator idea again — recut different share sizes into one common unit.
상자에 빨간 구슬과 파란 구슬이 의 비로 들어 있다. 빨간 구슬 개를 더 넣었더니 비가 가 되었다. 파란 구슬은 몇 개인가?
A box holds red and blue marbles in the ratio . After more red marbles are added, the ratio becomes . How many blue marbles are there?
파란 구슬의 개수는 변하지 않았다. 파란 구슬 개수가 두 비 모두와 맞아떨어지려면 어떤 수의 배수여야 하는가?
The number of blue marbles never changed. To fit both ratios, that number must be a multiple of what?
열쇠는 파란 구슬 수가 그대로라는 것. 처음 비 에서 파란 구슬은 몫, 나중 비 에서는 몫이므로, 파란 구슬 수는 의 배수이면서 의 배수 — 즉 의 배수다.
파란 구슬은 개다. 일반적으로 확인하면: 파란 구슬 개면 빨강은 처음 개, 추가 후 개이고, 가 되려면 몫과 몫에서 몫 하나가 각각 와 — 같아야 하므로 , . 답이 개로 유일함이 확인된다.
The key: the blue count stays fixed. In the ratio blue is shares; in it is shares. So the blue count is a multiple of and of — a multiple of .
So there are blue marbles. For a general confirmation: with blue marbles, red is at first and after. For , one share equals and also ; setting gives , so is the only answer.