음수의 곱셈과 나눗셈Multiplying & Dividing Negatives

Pre-AlgebraPre-Algebra · 5. 음수와 절댓값5. Negative Numbers & Absolute Value

학습 목표

음수가 섞인 곱셈을 부호와 크기로 나누어 계산할 수 있다.
"음수 곱하기 음수는 왜 양수인가"를 패턴과 분배법칙, 두 갈래로 설명할 수 있다.
여러 수의 곱에서 부호를 음수 인수의 개수로 판정할 수 있다 — $(-a)^2$ 과 $-a^2$ 을 구분한다.
나눗셈의 부호 규칙을 곱셈에서 끌어낼 수 있다.
제곱해서 $a$ 가 되는 수가 (양수 $a$ 에 대해) 둘임을 안다 — 제곱근 차시의 미뤄 둔 이야기.

양수 × 음수: 정의가 그대로 답한다

$3 \times (-4)$ 는 새로 정할 것도 없다. 곱셈은 거듭 덧셈이므로

3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12.

빚 $4$ 원짜리 쪽지 석 장은 빚 $12$ 원 — 뜻으로도 맞다.

그럼 $(-4) \times 3$ 은? " $-4$ 번 더한다"는 말이 안 되니 거듭 덧셈으로는 읽을 수 없다. 여기서 분수 곱셈 때 썼던 원칙이 다시 나온다 — 새 정의는 옛 규칙을 깨지 않아야 한다. 교환법칙이 살아남으려면 선택지가 하나뿐이다:

(-4) \times 3 = 3 \times (-4) = -12.

음수 × 음수: 두 갈래 논증

이제 진짜 질문, $(-4) \times (-3)$ . 답을 정하는 것이 아니라 찾아내 보자.

갈래 1 — 패턴은 거짓말하지 않는다. $\times(-4)$ 의 구구단을 위에서 아래로:

$3 \times (-4)$	$2 \times (-4)$	$1 \times (-4)$	$0 \times (-4)$	$(-1) \times (-4)$	$(-2) \times (-4)$
$-12$	$-8$	$-4$	$0$	$?$	$?$

왼쪽 인수가 $1$ 씩 줄 때마다 곱은 $4$ 씩 커진다( $-12 \to -8 \to -4 \to 0$ ). 이 계단이 $0$ 에서 멈출 이유가 없다 — 다음 칸은 $4$ , 그다음은 $8$ 이다:

(-1) \times (-4) = 4, \qquad (-2) \times (-4) = 8.

갈래 2 — 분배법칙이 강요한다. 패턴은 설득이고, 이쪽은 증명이다. $3 + (-3) = 0$ 에서 출발한다:

0 = (-4) \times 0 = (-4) \times \bigl(3 + (-3)\bigr) = \underbrace{(-4) \times 3}_{-12} + (-4) \times (-3).

$-12$ 에 무엇을 더해야 $0$ 이 되는가 — $12$ 뿐이다. 그러므로

(-4) \times (-3) = 12.

분배법칙(연산의 성질 차시에서 넓이 그림으로 다진 그 법칙)을 지키는 한, 음수 곱하기 음수는 양수일 수밖에 없다.

직관으로도 포장해 두자. $\times(-1)$ 은 "반대로!" 명령이다:

×(−1)은 수직선에서 반대편으로 뒤집기 — 두 번 뒤집으면 제자리다.

반대의 반대는 제자리 — $(-1) \times (-1) = 1$ 이고, 일반의 음수 곱은 이 뒤집기에 크기 곱을 얹은 것이다.

부호 규칙: 홀짝이 결정한다

정리하면 같은 부호끼리의 곱은 양수, 다른 부호끼리의 곱은 음수다. 여러 개를 곱할 때는 두 개씩 짝지어 소거된다고 생각하면 — 음수 인수가 짝수 개면 양수, 홀수 개면 음수. 크기는 크기끼리 곱하면 된다.

(-2)^4 = 16, \qquad (-2)^5 = -32.

거듭제곱 차시에서 미뤄 둔 음수 밑이 이렇게 정리된다. 표기 함정 하나를 반드시 짚자:

주의

$(-3)^2$ 과 $-3^2$ 은 다른 수다. $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ 이지만, $-3^2$ 은 거듭제곱이 먼저라(연산 순서!) $-(3^2) = -9$ 다. 괄호 하나가 부호를 가른다.

나눗셈: 곱셈이 답을 정해 준다

나눗셈은 곱셈의 거꾸로 질문이다. $(-12) \div 3$ 은 " $3$ 에 무엇을 곱하면 $-12$ 인가" — 답은 $-4$ . $(-12) \div (-3)$ 은 " $-3$ 에 무엇을 곱하면 $-12$ 인가" — 답은 $4$ . 그래서 나눗셈의 부호 규칙은 곱셈과 완전히 같다: 같은 부호면 양수, 다른 부호면 음수.

예제 1 · 곱셈과 나눗셈 종합

다음을 계산하여라.

(1) $(-6) \times 7$ (2) $(-8) \times (-9)$ (3) $(-48) \div (-4) \div (-3)$

풀이. (1) 다른 부호: $-42$ .

(2) 같은 부호: $72$ .

(3) 같은 계급은 왼쪽부터: $(-48) \div (-4) = 12$ , 그다음 $12 \div (-3) = -4$ .

검산: (3) $(-4) \times (-3) \times (-4) = 12 \times (-4) = -48$ ✓.

미뤄 둔 이야기: 제곱해서 25가 되는 수

제곱근 차시에서 "음수까지 뒤지면 이야기가 하나 더 생긴다"고 했다. 이제 열 수 있다 — $5^2 = 25$ 이고 $(-5)^2 = 25$ 이므로, 제곱해서 $25$ 가 되는 수는 $5$ 와 $-5$ , 둘이다. 기호 $\sqrt{25}$ 는 그중 양수 쪽인 $5$ 만 가리키기로 한 약속이고, 음수 쪽까지 부르고 싶으면 $-\sqrt{25} = -5$ 로 쓴다. 이 두 갈래는 Algebra 1에서 방정식 $x^2 = 25$ 를 풀 때 정면으로 다시 만난다.

예제 2 · 시간을 거꾸로 돌리기

기온이 매시간 $3$ 도씩 일정하게 내려가고 있고, 지금 $0$ 도다. $5$ 시간 후의 기온과 $2$ 시간 전의 기온을 각각 구하여라.

풀이. 시간당 변화는 $-3$ 도. $5$ 시간 후는

(-3) \times 5 = -15\text{도}.

$2$ 시간 전은 시간으로 $-2$ 시간이므로

(-3) \times (-2) = +6\text{도}.

내려가는 중이니 과거는 지금보다 따뜻했다 — 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 것이 실제 상황과 정확히 맞아떨어진다.

Goals

Multiply with negatives by handling sign and size separately.
Explain why a negative times a negative is positive — two ways: by pattern, and by the distributive law.
Judge the sign of a many-factor product by counting negative factors — and tell $(-a)^2$ from $-a^2$ .
Derive the sign rule for division from multiplication.
Know that (for positive $a$ ) two numbers square to $a$ — the story postponed from the square-roots lesson.

Positive × negative: the definition already answers

$3 \times (-4)$ needs no new rule. Multiplication is repeated addition, so

3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12.

Three IOUs of $4$ won each make a debt of $12$ — the meaning agrees.

What about $(-4) \times 3$ ? "Add it $-4$ times" is nonsense, so repeated addition can't read it. Enter the principle from fraction multiplication: a new definition must not break the old rules. If the commutative law is to survive, there is only one choice:

(-4) \times 3 = 3 \times (-4) = -12.

Negative × negative: two roads to the answer

Now the real question: $(-4) \times (-3)$ . We won't decree the answer — we'll discover it.

Road 1 — patterns don't lie. Run the $\times(-4)$ table downward:

$3 \times (-4)$	$2 \times (-4)$	$1 \times (-4)$	$0 \times (-4)$	$(-1) \times (-4)$	$(-2) \times (-4)$
$-12$	$-8$	$-4$	$0$	$?$	$?$

Each time the left factor drops by $1$ , the product rises by $4$ ( $-12 \to -8 \to -4 \to 0$ ). No reason for the staircase to stop at $0$ — the next steps are $4$ , then $8$ :

(-1) \times (-4) = 4, \qquad (-2) \times (-4) = 8.

Road 2 — the distributive law forces it. The pattern persuades; this one proves. Start from $3 + (-3) = 0$ :

0 = (-4) \times 0 = (-4) \times \bigl(3 + (-3)\bigr) = \underbrace{(-4) \times 3}_{-12} + (-4) \times (-3).

What must be added to $-12$ to make $0$ ? Only $12$ . Therefore

(-4) \times (-3) = 12.

As long as the distributive law (the one built on area pictures back in the properties lesson) is to hold, a negative times a negative has no choice but to be positive.

And a picture for intuition: $\times(-1)$ is the "reverse!" command —

×(−1) flips a number to the other side of zero — flip twice and you're home.

the opposite of the opposite is where you started, so $(-1) \times (-1) = 1$ ; every negative product is this flip with sizes multiplied on top.

The sign rule: parity decides

Summarizing: like signs multiply to positive, unlike signs to negative. For many factors, think of negatives cancelling in pairs — an even number of negative factors gives a positive product, an odd number gives negative. Sizes just multiply.

(-2)^4 = 16, \qquad (-2)^5 = -32.

That settles the negative bases postponed from the powers lesson. One notation trap deserves a spotlight:

Watch out

$(-3)^2$ and $-3^2$ are different numbers. $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ , but in $-3^2$ the power goes first (order of operations!), giving $-(3^2) = -9$ . One pair of parentheses decides the sign.

Division: multiplication dictates the answer

Division is multiplication's backwards question. $(-12) \div 3$ asks "what times $3$ gives $-12$ ?" — answer $-4$ . And $(-12) \div (-3)$ asks "what times $-3$ gives $-12$ ?" — answer $4$ . So division inherits the sign rule wholesale: like signs positive, unlike signs negative.

Example 1 · Products and quotients together

Compute:

(1) $(-6) \times 7$ (2) $(-8) \times (-9)$ (3) $(-48) \div (-4) \div (-3)$

Solution. (1) Unlike signs: $-42$ .

(2) Like signs: $72$ .

(3) Equal rank goes left to right: $(-48) \div (-4) = 12$ , then $12 \div (-3) = -4$ .

Check for (3): $(-4) \times (-3) \times (-4) = 12 \times (-4) = -48$ ✓.

The postponed story: what squares to 25?

The square-roots lesson promised that hunting among negatives would "grow a second chapter." Here it is: $5^2 = 25$ and $(-5)^2 = 25$ , so two numbers square to $25$ : $5$ and $-5$ . The symbol $\sqrt{25}$ is a convention naming only the positive one, $5$ ; when the negative is wanted, write $-\sqrt{25} = -5$ . These two branches return in force in Algebra 1, solving the equation $x^2 = 25$ .

Example 2 · Running time backwards

The temperature is falling steadily $3$ degrees per hour, and right now it is $0$ degrees. Find the temperature $5$ hours from now, and $2$ hours ago.

Solution. The hourly change is $-3$ degrees. Five hours ahead:

(-3) \times 5 = -15 \text{ degrees}.

Two hours ago is $-2$ hours of elapsed time:

(-3) \times (-2) = +6 \text{ degrees}.

Since it's been falling, the past was warmer — a negative times a negative coming out positive matches the real situation exactly.