문제Problem 1
몸풀기Warm-up
를 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
왼쪽 대 오른쪽 — 오른쪽이 남는다: . 수직선으로는 에서 오른쪽으로 칸.
Left pull versus right pull — the right has to spare: . On the line: start at , move right.
음수의 덧셈과 뺄셈Adding & Subtracting Negatives
학습 목표
- 음수가 섞인 덧셈을 수직선 이동으로 계산할 수 있다.
- 같은 부호·다른 부호 덧셈의 규칙을 이동 그림에서 스스로 끌어낼 수 있다.
- 뺄셈을 "반대인 수의 덧셈"으로 바꿔 계산할 수 있다 — 과 가 모두 열린다.
- 두 수의 차를 수직선 위의 거리로 읽을 수 있다(기온차).
- 교환·결합법칙이 음수에서도 살아 있음을 알고, 재배열로 암산한다.
덧셈은 이동이다
정수 차시에서 수를 수직선 위의 위치로 읽었다. 이제 덧셈을 그 위에서의 이동으로 읽자 — 양수를 더하면 오른쪽으로, 음수를 더하면 왼쪽으로 간다.
돈으로 읽어도 같은 답이 나온다. 은 빚 원, 거기에 원이 생기면 빚 갚고 원이 남는다. 원에서 원을 잃으면 원 빚 — 이다. 수직선과 돈, 두 모델이 같은 답을 내는 것은 우연이 아니라 음수가 애초에 이 상황들을 담으려고 만든 수이기 때문이다.
규칙은 그림에서 나온다
몇 번 이동해 보면 두 갈래 규칙이 저절로 정리된다.
- 같은 부호끼리: 같은 방향으로 두 번 가는 것이니 거리(0에서 떨어진 정도)가 합쳐지고, 부호는 그대로다. .
- 다른 부호끼리: 반대 방향 줄다리기다. 거리의 차만큼, 더 멀리 간 쪽의 부호로 남는다. (왼쪽 대 오른쪽 — 왼쪽 승).
규칙을 외우는 것보다 "줄다리기"의 그림이 오래간다. 특별한 짝 하나 — 반대인 수끼리는 힘이 비겨서 . 어떤 수와 그 반대인 수의 합은 항상 이다.
예제 1 · 부호가 섞인 덧셈
다음을 계산하여라.
(1) (2) (3)
풀이. (1) 왼쪽 대 오른쪽 — 오른쪽이 남는다: .
(2) 같은 방향(왼쪽)으로 과 — 합쳐서 왼쪽으로 : .
(3) 오른쪽 대 왼쪽 — 왼쪽이 남는다: .
검산 습관: 답의 부호부터 확인한다 — 어느 쪽 거리가 컸는가?
뺄셈의 정체: 반대를 더하기
은 자연수 세계에서는 "할 수 없는" 계산이었다. 이제는 된다 — 에서 왼쪽으로 칸 가면 이다. 그런데 "왼쪽으로 "은 정확히 의 이동이다. 그래서
— 빼기는 반대인 수를 더하기다. 이 한 줄이 뺄셈을 통째로 덧셈의 세계로 넘겨 준다. 음수를 빼는 경우가 진짜 이득이다:
는 정수 차시의 "는 반대로! 명령" 그대로다 — 의 반대는 . 왜 이렇게 정의해야 하는지는 검산이 말해 준다: 뺄셈은 "에 무엇을 더해야 이 되나"라는 질문인데, ✓이므로 답 이 옳다.
주의
를 로 읽는 실수가 정말 잦다. 부호 두 개( 빼기와 음수)가 겹치면 반드시 "반대를 더하기"로 고쳐 쓴 뒤 계산하자. 급할수록 한 번 고쳐 쓰는 쪽이 빠르다.
차이는 거리다
낮 기온 도, 밤 기온 도 — 기온차는 몇 도인가. 정수 차시에서는 에서 끊어 도로 세었다. 이제는 뺄셈 한 방이다:
큰 수에서 작은 수를 빼면 두 위치 사이의 거리가 나온다. "끊어 세기"라는 임시 기법이 뺄셈이라는 정식 도구로 승격된 것이다.
성질은 살아 있다: 재배열 암산
교환법칙과 결합법칙은 음수가 끼어도 그대로 성립한다 — 이동의 순서를 바꿔도 도착지가 같다는 뜻이니 수직선 그림으로도 자연스럽다. 그래서 연산의 성질 차시의 재배열 무기를 그대로 쓸 수 있다: 음수는 음수끼리, 양수는 양수끼리 모아 계산한다.
예제 2 · 모아서 계산
을 계산하여라.
풀이. 음수끼리, 양수끼리:
왼쪽부터 차례로 해도 으로 같은 답이지만, 모아 계산하면 중간값이 단순해서 실수가 준다. 단, 뺄셈이 섞인 식은 먼저 전부 "반대를 더하기"로 고친 뒤에 재배열해야 안전하다 — 뺄셈 자체는 교환이 안 되기 때문이다().
Goals
- Add with negatives by moving along the number line.
- Pull the same-sign and different-sign addition rules out of the picture yourself.
- Rewrite subtraction as "adding the opposite" — unlocking both and .
- Read the difference of two numbers as a distance on the line (temperature gaps).
- Know that the commutative and associative laws survive negatives, and rearrange to compute mentally.
Addition is movement
The integers lesson read numbers as positions on the number line. Now read addition as movement on it — adding a positive moves right, adding a negative moves left.
Money tells the same story. is a debt of won; gaining pays it off with left over. Having and losing leaves a debt of : that's . The two models agreeing is no accident — negative numbers were built to capture exactly these situations.
The rules fall out of the picture
A few jumps and the two-branch rule organizes itself:
- Same signs: two moves in the same direction, so the distances from add and the sign stays. .
- Different signs: a tug of war. What survives is the difference of the distances, carrying the sign of the longer pull. (left pulls , right pulls — left wins).
The tug-of-war picture outlasts any memorized rule. One special pairing: opposites pull to a draw, . A number plus its opposite is always .
Example 1 · Mixed-sign sums
Compute:
(1) (2) (3)
Solution. (1) Left versus right — the right side has to spare: .
(2) Same direction (left), and — combined pull of left: .
(3) Right versus left — the left side wins by : .
A checking habit: confirm the sign first — which pull was longer?
What subtraction really is: adding the opposite
In whole-number land, "couldn't be done." Now it can — from , move left and land on . But "move left" is precisely the move . Hence
— subtracting is adding the opposite. This one line hands all of subtraction over to addition. The real payoff is subtracting a negative:
Here is the integers lesson's " means reverse!" command — the opposite of is . And the check shows why this must be the definition: subtraction asks "what do I add to to reach ?", and indeed ✓.
Watch out
Reading as is an extremely common slip. Whenever two minus signs collide — one subtracting, one marking a negative — rewrite as "add the opposite" before computing. The rewrite feels slow; it is faster than the mistake.
A difference is a distance
Daytime degrees, nighttime : what's the temperature gap? The integers lesson counted it by splitting at zero: . Now it's one subtraction:
Larger minus smaller gives the distance between two positions. The makeshift "split at zero" trick has been promoted into a proper tool: subtraction.
The laws survive: rearrange and compute
The commutative and associative laws hold with negatives in the mix — reordering moves doesn't change the destination, which the number line makes plain. So the rearrangement weapon from the properties lesson still works: gather negatives with negatives, positives with positives.
Example 2 · Gather, then compute
Compute .
Solution. Group by sign:
Left to right also works (), but grouping keeps the intermediate numbers simple and the slips rare. One caution: if the expression contains subtractions, convert them all to "add the opposite" first, then rearrange — subtraction itself refuses to commute ().
몸풀기Warm-up
배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving
문제Problem 2
몸풀기Warm-up
을 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
같은 방향(왼쪽)으로 와 — 합쳐서 왼쪽 : .
Two pulls in the same direction (left), and — a combined left: .
문제Problem 3
몸풀기Warm-up
를 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
반대를 더하기로 고치면 — 오른쪽 대 왼쪽 , 왼쪽이 남는다: .
검산: ✓ ("무엇에 를 더하면 인가"가 뺄셈의 질문이다).
Rewrite as adding the opposite: — right versus left , the left wins by : .
Check: ✓ (subtraction asks "what plus gives ?").
문제Problem 4
몸풀기Warm-up
을 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
— 같은 방향으로 와 , 합쳐서 .
— same direction, and , combining to .
핵심Core
이 차시의 목표 수준the target level for this lesson
문제Problem 5
핵심Core
를 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
를 빼는 것은 그 반대인 를 더하는 것:
검산: ✓. 으로 읽지 않도록 — 겹친 두 부호는 반드시 고쳐 쓴 뒤 계산한다.
Subtracting is adding its opposite:
Check: ✓. Don't let it collapse into — rewrite colliding signs before computing.
문제Problem 6
핵심Core
를 계산하여라.
Compute .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
뺄셈부터 전부 반대의 덧셈으로:
왼쪽부터 차례로 해도 , — 같다.
Convert the subtraction to adding the opposite first:
Left to right agrees: , then .
문제Problem 7
핵심Core
어느 날 낮 최고 기온은 C, 밤 최저 기온은 C였다. 하루 동안의 기온차는 몇 도인가?
One day the high was C and the overnight low was C. What was the day's temperature range?
정답과 풀이Answer & solution
정답 · 도
Answer · degrees
기온차는 큰 수 빼기 작은 수:
수직선에서 과 사이의 거리다 — 까지 , 에서 까지 , 합해서 로 세어도 같다.
Range is larger minus smaller:
It's the distance between and on the line — counting through zero ( then ) gives the same .
문제Problem 8
핵심Core
을 재배열하여 계산하여라.
Compute by rearranging.
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
음수끼리, 양수끼리 모은다:
교환·결합법칙이 음수에서도 성립하므로 재배열은 합법이다. 검산: 왼쪽부터 ✓.
Gather by sign:
Rearranging is legal — the commutative and associative laws hold with negatives. Check, left to right: ✓.
문제Problem 9
핵심Core
잠수부가 해수면 아래 m 지점에 있다가 m 올라온 뒤 다시 m 내려갔다. 지금 잠수부의 위치를 정수로 나타내면?
A diver at m below sea level rises m, then descends m. Where is the diver now, as an integer?
정답과 풀이Answer & solution
정답 · (해수면 아래 m)
Answer · ( m below sea level)
해수면을 으로 놓으면
해수면 아래 m다. 이동 순서를 바꿔 으로 봐도 같다.
With sea level at :
that is, m below the surface. Combining the moves first also works: .
도전Challenge
아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea
문제Problem 10
도전Challenge
일 때 에 들어갈 수를 구하여라.
Find the number for the box: .
힌트Hint
왼쪽을 "반대를 더하기"로 고쳐 쓰면 이 된다.
Rewrite the left side as "adding the opposite": it becomes .
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
이므로 식은 . 을 더해서 이 되려면 .
검산: ✓.
Since , the equation reads . Adding to reach requires .
Check: ✓.
문제Problem 11
도전Challenge
서술형written response
초등학교 때는 "은 계산할 수 없다"고 배웠다. 지금은 왜 계산할 수 있게 되었는지, 그리고 의 값이 무엇을 뜻하는지 수직선이나 돈 상황을 들어 설명하여라.
In elementary school, " can't be done" was the rule. Explain why it can be done now, and what the value of means, using the number line or a money situation.
풀이와 채점 기준Solution & grading notes
그때는 수의 세계가 과 자연수뿐이라 에서 을 덜어낼 곳이 없었다. 지금은 수직선이 왼쪽으로도 이어지므로, 에서 왼쪽으로 칸 가는 이동이 언제나 가능하다:
값 의 뜻: 돈으로 읽으면 원을 가진 사람이 원을 써야 할 때 빚 원이 남는 상태다. 기온으로 읽으면 도에서 도 내려간 영하 도다. 즉 "계산할 수 없다"가 아니라 "답을 담을 수가 그때는 없었다"가 정확하고, 음수는 바로 그 답을 담으려고 확장한 수다. 검산도 된다: ✓.
채점 기준. 자연수만으로는 안 되던 이유(수의 범위)와 지금 가능한 이유(음수로의 확장)를 짚었는가(1점), 과 그 값의 실생활 해석(빚·영하 등)(1점), 검산 또는 수직선 이동 서술(1점). 논리가 맞는 다른 설명도 만점.
Back then the number world held only and the counting numbers, so taking from had nowhere to land. Now the number line continues left of , so moving left from is always possible:
What means: in money, someone with won who must pay ends up won in debt. In temperature, dropping degrees from lands at below zero. So the old rule really meant "we had no number to hold the answer" — and negatives are precisely the numbers invented to hold it. It even checks: ✓.
Grading notes. Why it failed before (the limited number world) and why it works now (extension to negatives) (1 pt); the value with a real-life reading — debt, below zero (1 pt); a check or an explicit number-line move (1 pt). Any sound alternative account earns full credit.
경시Contest
대회 스타일competition style
문제Problem 12
경시Contest
다음을 계산하여라.
Compute:
힌트Hint
이웃한 두 항씩 짝을 지어 보자. 한 짝의 합은 얼마이고, 짝은 모두 몇 개인가?
Pair neighboring terms. What does each pair sum to, and how many pairs are there?
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
이웃끼리 짝을 짓는다:
각 짝의 합은 이고, 부터 까지 개 항이 두 개씩 묶여 짝은 개. 그러므로
작은 경우 확인: — 짝 개, 합 ✓. 재배열의 권리(교환·결합)가 음수에서도 성립하기에 가능한 풀이다.
Pair the neighbors:
Each pair sums to , and the terms bundle into pairs, so the total is
Small-case check: — two pairs, sum ✓. The whole solution rests on the right to rearrange, which negatives fully respect.
문제Problem 13
경시Contest
두 정수의 합이 이고, 큰 수에서 작은 수를 뺀 차가 다. 두 정수를 구하여라.
Two integers have sum , and the larger minus the smaller is . Find the two integers.
힌트Hint
합에 차를 더하면 무엇이 두 번 나오는가?
If you add the sum and the difference, what appears twice?
정답과 풀이Answer & solution
정답 · 와
Answer · and
큰 수를 , 작은 수를 라 하자. 이고 다.
두 식을 더하면 가 와 로 상쇄되어 만 두 번 남는다:
그러면 .
검산: ✓, ✓. 합과 차를 더하고 빼서 두 수를 끄집어내는 이 기술은 대수에서 두고두고 다시 쓰인다.
Call the larger and the smaller : and .
Adding the equations cancels (it appears as and ), leaving two copies of :
Then .
Check: ✓ and ✓. This sum-and-difference extraction trick returns again and again throughout algebra.