소수와 분수Decimals & Fractions

$7$은 소수점 아래 셋째 자리에 있고, 그 자리는 $\frac1{1000}$의 개수를 센다. 그러므로 $7$이 나타내는 값은 $\frac{7}{1000} = 0.007$이다.

$3.207 = 3 + \frac2{10} + \frac0{100} + \frac7{1000}$으로 펼쳐 봐도 확인된다.

The $7$ sits in the third place after the point, which counts copies of $\frac1{1000}$. So it stands for $\frac{7}{1000} = 0.007$.

Expanding confirms it: $3.207 = 3 + \frac2{10} + \frac0{100} + \frac7{1000}$.

소수점 아래 두 자리이므로 분모는 $100$:

검산: $\frac9{25} = \frac{36}{100} = 0.36$ ✓.

Two decimal places, so the denominator is $100$:

Check: $\frac9{25} = \frac{36}{100} = 0.36$ ✓.

분모 $20$에 $5$를 곱하면 $100$:

검산: $0.35 \times 20 = 7$ ✓.

Multiply the denominator by $5$ to reach $100$:

Check: $0.35 \times 20 = 7$ ✓.

소수점 아래 네 자리로 맞춘다: $0.8000,\ 0.7900,\ 0.0810,\ 0.7999$. 정수 $8000, 7900, 810, 7999$의 비교와 같으므로

자릿수가 가장 긴 $0.7999$가 가장 큰 수가 아니라는 점, $0.8$에 $\frac1{10000}$ 모자란 둘째라는 점이 이 문제의 핵심이다.

Pad to four decimal places: $0.8000,\ 0.7900,\ 0.0810,\ 0.7999$. Now compare like whole numbers $8000, 7900, 810, 7999$:

The longest one, $0.7999$, is not the largest — it falls $\frac1{10000}$ short of $0.8$. That's the whole point of the problem.

소수점 아래 세 자리이므로 분모는 $1000$:

대분수로는 $19 = 8 \times 2 + 3$이므로 $2\tfrac38$. 소수 부분만 따로 봐도 같다 — $0.375 = \frac{375}{1000} = \frac38$이므로 $2 + \frac38$.

검산: $\frac{19}{8} = 19 \div 8 = 2.375$ ✓.

Three decimal places, so the denominator is $1000$:

As a mixed number, $19 = 8 \times 2 + 3$ gives $2\tfrac38$. Or handle the decimal part alone: $0.375 = \frac{375}{1000} = \frac38$, so $2 + \frac38$.

Check: $\frac{19}{8} = 19 \div 8 = 2.375$ ✓.

표기가 섞여 있으면 한쪽으로 통일한다. 소수가 편하다:

$0.600 < 0.620 < 0.625$이므로 $\frac35 < 0.62 < \frac58$.

분수로 통일해도 된다 — 분모 $1000$으로 통분하면 $\frac{600}{1000}, \frac{620}{1000}, \frac{625}{1000}$, 같은 결론이다.

Mixed notation? Pick one and convert. Decimals are convenient here:

Since $0.600 < 0.620 < 0.625$, we get $\frac35 < 0.62 < \frac58$.

Fractions work too: over the common denominator $1000$ they become $\frac{600}{1000}, \frac{620}{1000}, \frac{625}{1000}$ — same conclusion.

판정 전에 할 일이 하나 있다 — 넷 중 하나는 아직 기약분수가 아니다.

One step comes before the test — one of the four is not in lowest terms yet.

기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 본다. 소인수가 $2$와 $5$뿐이면 유한소수다.

• $\frac{3}{16}$: 기약, $16 = 2^4$ → 유한 ($= 0.1875$)
• $\frac{5}{12}$: 기약, $12 = 2^2 \times 3$ — $3$이 남는다 → 무한
• $\frac{7}{40}$: 기약, $40 = 2^3 \times 5$ → 유한 ($= 0.175$)
• $\frac{9}{15}$: 기약이 아니다! 약분하면 $\frac35$, 분모 $5$ → 유한 ($= 0.6$)

$\frac9{15}$를 분모 $15 = 3 \times 5$만 보고 무한이라 답하는 것이 이 문제의 함정이다.

Reduce to lowest terms first, then factor the denominator. Only $2$s and $5$s means terminating.

• $\frac{3}{16}$: already reduced, $16 = 2^4$ → terminates ($= 0.1875$)
• $\frac{5}{12}$: already reduced, $12 = 2^2 \times 3$ — a $3$ survives → doesn't terminate
• $\frac{7}{40}$: already reduced, $40 = 2^3 \times 5$ → terminates ($= 0.175$)
• $\frac{9}{15}$: not reduced! It simplifies to $\frac35$, denominator $5$ → terminates ($= 0.6$)

The trap is judging $\frac9{15}$ from $15 = 3 \times 5$ without reducing.

자릿수 세기 규칙으로는 $25 \times 4 = 100$에 세 자리를 붙여 $0.100$ — 끝의 $0$ 두 개를 지우면 같은 $0.1$이다. $\frac{100}{1000} = \frac1{10}$이라는 약분이 소수 표기에서 "끝의 $0$ 지우기"로 나타난 것.

검산: $0.1 \div 0.4 = \frac{1}{4} = 0.25$ ✓.

Place-counting gives $25 \times 4 = 100$ with three decimal places: $0.100$ — trim the trailing zeros and it's the same $0.1$. The reduction $\frac{100}{1000} = \frac1{10}$ is the trimming.

Check: $0.1 \div 0.4 = \frac14 = 0.25$ ✓.

$16 = 2^4$이므로 $5^4 = 625$를 곱하면 분모가 $10^4$이 된다:

검산: $0.3125 \times 16 = 5$ ✓. ($5 \div 16$을 내려 계산해도 같은 답이 나온다 — 두 길 중 편한 쪽을 고르면 된다.)

Since $16 = 2^4$, multiplying by $5^4 = 625$ turns the denominator into $10^4$:

Check: $0.3125 \times 16 = 5$ ✓. (Long division $5 \div 16$ lands in the same place — take whichever road you like.)

$30 = 2 \times 3 \times 5$. 분모의 어떤 소인수가 문제이고, 그것을 지우려면 $n$이 어떤 수여야 하는가?

$30 = 2 \times 3 \times 5$. Which prime factor of the denominator is the troublemaker, and what must $n$ be to cancel it?

$30 = 2 \times 3 \times 5$에서 문제가 되는 소인수는 $3$ 하나다. 약분으로 $3$이 지워지려면 분자 $n$이 $3$의 배수여야 한다.

• $n$이 $3$의 배수면: $n = 3k$로 놓으면 $\frac{3k}{30} = \frac{k}{10}$, 분모 $10 = 2 \times 5$ → 유한. (예: $\frac{15}{30} = \frac12 = 0.5$)
• $n$이 $3$의 배수가 아니면: 분모의 $3$이 그대로 남아 무한. (예: $\frac{10}{30} = \frac13 = 0.333\cdots$)

$1$부터 $29$까지 $3$의 배수는 $3, 6, 9, \ldots, 27$로 $9$개.

In $30 = 2 \times 3 \times 5$, the only troublesome factor is the $3$. Reducing removes it exactly when the numerator $n$ is a multiple of $3$.

• If $n = 3k$: $\frac{3k}{30} = \frac{k}{10}$, and $10 = 2 \times 5$ → terminates. (E.g. $\frac{15}{30} = \frac12 = 0.5$.)
• If $3 \nmid n$: the $3$ survives in the denominator → doesn't terminate. (E.g. $\frac{10}{30} = \frac13 = 0.333\cdots$)

The multiples of $3$ from $1$ to $29$ are $3, 6, 9, \ldots, 27$ — nine of them.

같은 수다. 두 소수를 분수로 옮기면

인데, $\frac{70}{100}$은 $\frac7{10}$의 분자·분모에 똑같이 $10$을 곱한 것이므로 둘은 크기가 같은 분수다. 조각을 열 배 잘게 자르고 열 배 많이 세었을 뿐, 양은 변하지 않았다. 수직선에서도 두 표기는 같은 점을 가리킨다.

채점 기준. 두 소수를 분수로 옮겼는가(1점), 크기가 같은 분수(확대·약분)라는 근거를 댔는가(2점). "둘째 자리의 $0$은 $\frac0{100}$, 즉 아무것도 더하지 않는다"처럼 자릿값으로 설명해도 논리가 맞으면 만점.

The same number. As fractions,

and $\frac{70}{100}$ is $\frac7{10}$ with top and bottom both multiplied by $10$ — equivalent fractions. The pieces got ten times finer and ten times more numerous; the amount didn't move. On the number line the two notations name the same point.

Grading notes. Converting both decimals to fractions (1 pt); justifying via equivalent fractions — scaling or reducing (2 pts). A place-value argument ("the second-place $0$ contributes $\frac0{100}$, i.e. nothing") earns full credit too — any sound reasoning does.

분모를 $10$의 거듭제곱으로 만들려면 무엇을 곱해야 하는가? $2$와 $5$의 지수 중 큰 쪽이 기준이 된다.

What must you multiply by to turn the denominator into a power of ten? The larger of the two exponents sets the target.

분모를 $10^n = 2^n 5^n$으로 만들려면 $2$와 $5$의 지수를 큰 쪽인 $6$에 맞춰야 한다. $2$가 $6 - 3 = 3$개 모자라므로 분자·분모에 $2^3 = 8$을 곱한다:

마지막 숫자 $8$이 소수점 아래 여섯째 자리이므로 여섯째 자리에서 끝난다. 일반화하면 $\frac{1}{2^a 5^b}$는 소수점 아래 $\max(a, b)$번째 자리에서 끝난다 — 곱해 준 $2^{\,\max - a} 5^{\,\max - b}$는 $2$나 $5$ 한 종류의 거듭제곱이라 $10$의 배수가 될 수 없고, 따라서 끝자리가 $0$이 아니기 때문이다.

검산: $0.000008 \times 2^3 \times 5^6 = 0.000008 \times 8 \times 15625 = 0.000008 \times 125000 = 1$ ✓.

To make the denominator $10^n = 2^n 5^n$, raise both exponents to the larger one, $6$. The $2$s are short by $6 - 3 = 3$, so multiply top and bottom by $2^3 = 8$:

The final digit $8$ sits in the sixth decimal place, so it terminates at the sixth place. In general $\frac{1}{2^a 5^b}$ ends at place $\max(a, b)$: the factor you multiply in, $2^{\,\max - a} 5^{\,\max - b}$, is a power of just one of $2$ or $5$, so it is never a multiple of $10$ — meaning the last digit is not $0$.

Check: $0.000008 \times 2^3 \times 5^6 = 0.000008 \times 8 \times 15625 = 0.000008 \times 125000 = 1$ ✓.

조건을 만족하는 분모를 직접 나열해 보자 — $2^a \times 5^b$ 꼴을 $5$의 지수별로 정리하면 빠뜨리지 않는다.

List the qualifying denominators directly — organizing the numbers $2^a \times 5^b$ by the power of $5$ keeps you from missing any.

$\frac1n$은 이미 기약분수이므로, 유한소수가 될 조건은 $n$의 소인수가 $2$와 $5$뿐인 것 — 즉 $n = 2^a \times 5^b$ 꼴이다. $30$ 이하를 $5$의 지수별로 나열한다.

• $5^0$: $2, 4, 8, 16$ ($32$는 초과) — $4$개
• $5^1$: $5, 10, 20$ ($40$은 초과) — $3$개
• $5^2$: $25$ ($50$은 초과) — $1$개

합해서 $4 + 3 + 1 = 8$개다. 확인 삼아 몇 개만: $\frac1{16} = 0.0625$, $\frac1{20} = 0.05$, $\frac1{25} = 0.04$ — 전부 끝난다. 반대로 목록에 없는 $n = 6$은 $\frac16 = 0.1666\cdots$로 끝나지 않는다.

$\frac1n$ is already in lowest terms, so it terminates exactly when $n$ has no prime factors besides $2$ and $5$ — that is, $n = 2^a \times 5^b$. List them by the power of $5$, keeping $n \le 30$:

• $5^0$: $2, 4, 8, 16$ (then $32$, too big) — $4$ values
• $5^1$: $5, 10, 20$ (then $40$, too big) — $3$ values
• $5^2$: $25$ (then $50$, too big) — $1$ value

Total: $4 + 3 + 1 = 8$. Spot-checks: $\frac1{16} = 0.0625$, $\frac1{20} = 0.05$, $\frac1{25} = 0.04$ all terminate, while $n = 6$, absent from the list, gives $\frac16 = 0.1666\cdots$