절댓값Absolute Value

$-12$와 $0$ 사이의 거리이므로 $12$.

The distance from $-12$ to $0$: it is $12$.

$|8| = 8$, $|{-3}| = 3$이므로 $8 - 3 = 5$.

$|8| = 8$ and $|{-3}| = 3$, so $8 - 3 = 5$.

0에서 거리가 $9$인 위치는 오른쪽과 왼쪽, 두 곳이다: $9$와 $-9$.

"모두"라고 물으면 두 개를 다 써야 답이 완성된다.

Two positions sit at distance $9$ from zero — one on each side: $9$ and $-9$.

When the question says "all," both are required for a complete answer.

$|{-15}| = 15$, $|11| = 11$이므로 $|{-15}|$가 크다.

수 자체로는 $-15 < 11$이지만, 절댓값(0에서의 거리)으로는 $-15$ 쪽이 더 멀다 — 두 비교는 다른 질문이다.

$|{-15}| = 15$ and $|11| = 11$, so $|{-15}|$ is larger.

As numbers, $-15 < 11$; as distances from zero, $-15$ sits farther out. The two comparisons are different questions.

왼쪽은 숨은 괄호 — 안부터: $|{-3}| = 3$.

오른쪽은 각각의 거리를 더한 것: $5 + 2 = 7$.

$3 \neq 7$ — 절댓값 기호는 덧셈 위로 그냥 지나가지 못한다는 반례다.

The left has hidden parentheses — inside first: $|{-3}| = 3$.

The right adds the two distances: $5 + 2 = 7$.

$3 \neq 7$ — a counterexample showing the bars do not pass through a plus.

$|7| = 7$에 바깥 부호를 붙이면 $-7$, 그리고 $|{-2}| = 2$:

바깥의 $-$는 절댓값이 지워 주지 않는다 — 기호 바깥은 바깥의 규칙대로다.

$|7| = 7$ takes its outer sign to become $-7$, and $|{-2}| = 2$:

The outer minus is beyond the bars' reach — outside the bars, outside rules apply.

거꾸로 빼도 같다: $|{-8} - 5| = |{-13}| = 13$ — 거리에는 방향이 없다.

Subtracting the other way agrees: $|{-8} - 5| = |{-13}| = 13$ — distance has no direction.

음수끼리는 절댓값이 큰 쪽이 작다. 절댓값은 $2 < 7 < 11$이므로 수의 순서는 뒤집혀서

수직선으로 확인: $-2$가 가장 오른쪽, $-11$이 가장 왼쪽 ✓.

Among negatives, larger absolute value means a smaller number. The absolute values run $2 < 7 < 11$, so the numbers run the other way:

Number-line check: $-2$ sits rightmost, $-11$ leftmost ✓.

가깝다는 것은 차이의 크기가 작다는 뜻이므로 절댓값으로 잰다:

$12 < 14$이므로 $512$ g 봉지가 더 가깝다. 한쪽은 모자라고 한쪽은 넘치지만, 부호는 질문과 무관하다.

"Closer" means the size of the difference is smaller — measure with absolute value:

Since $12 < 14$, the $512$ g bag wins. One is under, the other over — but the sign is irrelevant to the question.

등호가 포함되어 있다 — 경계의 두 수도 조건을 만족하는가?

The condition allows equality — do the two boundary numbers qualify?

0에서 거리가 $5$ 이하인 정수이므로 $-5$부터 $5$까지 전부다:

— $11$개. 본문의 $|x| < 4$(양 끝 제외, $7$개)와 견줘 보면 등호 하나가 경계 두 수를 넣고 빼는 것을 알 수 있다.

Integers whose distance from zero is at most $5$ — everything from $-5$ through $5$:

— $11$ integers. Compare with the lesson's $|x| < 4$ (endpoints excluded, $7$ integers): one equality sign adds or removes the two boundary numbers.

참이다. $a$를 세 경우로 나눈다.

• $a$가 양수면: $|a| = a$ — 같다.
• $a = 0$이면: $|0| = 0$ — 같다.
• $a$가 음수면: $|a|$는 양수이고 $a$는 음수인데, 양수는 언제나 음수보다 크므로 $|a| > a$. (예: $|{-4}| = 4 > -4$.)

세 경우 모두에서 $|a| \ge a$이므로 주장은 참이다. 등호는 $a \ge 0$일 때, 순부등호는 $a < 0$일 때 성립한다는 것까지 말하면 완전한 답이 된다.

채점 기준. 경우를 빠짐없이 나누었는가(양수/0/음수 — 0을 빠뜨리면 감점 1)(2점), 음수 경우의 근거("양수 > 음수" 또는 구체적 수치 예)(1점). "절댓값은 부호를 지우니 작아질 일이 없다"는 요지의 서술도 세 경우가 담겨 있으면 만점.

True. Split $a$ into three cases.

• $a$ positive: $|a| = a$ — equal.
• $a = 0$: $|0| = 0$ — equal.
• $a$ negative: $|a|$ is positive while $a$ is negative, and any positive exceeds any negative, so $|a| > a$. (E.g. $|{-4}| = 4 > -4$.)

In all three cases $|a| \ge a$, so the claim holds. A complete answer can add when each version occurs: equality for $a \ge 0$, strict inequality for $a < 0$.

Grading notes. An exhaustive case split — positive / zero / negative (missing the zero case costs 1) (2 pts); a reason in the negative case ("positive beats negative" or a concrete number) (1 pt). A narrative like "the bars erase the sign, which can never make a number smaller" earns full credit if all three cases are visible in it.

$a$가 될 수 있는 수는 둘, $b$가 될 수 있는 수도 둘이다. 조합은 모두 몇 가지인가?

Two numbers qualify as $a$, and two as $b$. How many combinations is that?

$a$는 $3$ 또는 $-3$, $b$는 $7$ 또는 $-7$ — 조합은 네 가지다:

가능한 값은 $10, 4, -4, -10$의 네 개. 절댓값 조건 하나가 수 하나를 정하지 않는다는 것 — 이 문제의 교훈이다. 네 값이 $0$을 중심으로 대칭인 것도 우연이 아니다($a, b$의 부호를 동시에 뒤집으면 합의 부호가 뒤집힌다).

$a$ is $3$ or $-3$; $b$ is $7$ or $-7$ — four combinations:

The possible values are $10, 4, -4, -10$. The moral: one absolute-value condition does not pin down one number. And the four values sitting symmetrically around $0$ is no accident — flipping both signs at once flips the sum.

$|x - 3|$은 $x$와 $3$ 사이의 거리, $|x + 5| = |x - (-5)|$는 $x$와 $-5$ 사이의 거리다. 두 거리가 같은 위치는 어디인가?

$|x - 3|$ is the distance from $x$ to $3$; and $|x + 5| = |x - (-5)|$ is the distance from $x$ to $-5$. Where are those distances equal?

거리로 번역하면 — $x$에서 $3$까지의 거리와 $x$에서 $-5$까지의 거리가 같다는 조건이다. 두 점에서 같은 거리에 있는 위치는 두 점의 한가운데뿐이다:

검산: $|{-1} - 3| = |{-4}| = 4$, $\; |{-1} + 5| = |4| = 4$ ✓ — 양쪽 다 거리 $4$.

식을 억지로 풀지 않고 거리의 뜻만으로 답이 나오는 문제다. 절댓값 방정식의 정식 풀이법은 Algebra 1에서 배우지만, 그때에도 이 "거리 번역"이 가장 빠른 길인 경우가 많다.

Translate into distances: the condition says $x$ is equally far from $3$ and from $-5$. The only spot equidistant from two points is their midpoint:

Check: $|{-1} - 3| = |{-4}| = 4$ and $|{-1} + 5| = |4| = 4$ ✓ — distance $4$ on both sides.

No equation-wrangling needed — the meaning of distance does all the work. Algebra 1 teaches the formal method for absolute-value equations, and even there, this "translate to distance" move is often the fastest road.