확률의 뜻What Probability Means

전체 $6$가지 중 원하는 것은 $3$과 $6$, 두 가지:

Of the $6$ outcomes, the favorables are $3$ and $6$ — two of them:

전체는 $3 + 7 = 10$개(전체를 빠뜨리지 말 것 — 소금물의 기준량과 같은 함정):

The total is $3 + 7 = 10$ (don't lose the whole — the salt-water base trap again):

$\frac14 = \frac{25}{100} = 0.25 = 25\%$ — 비율의 세 옷 그대로다.

$\frac14 = \frac{25}{100} = 0.25 = 25\%$ — a ratio's three outfits, as always.

$7$은 없는 눈이므로 불가능 — 확률 $0$. 모든 눈이 $6$ 이하이므로 확실 — 확률 $1$.

눈금의 양 끝을 채우는 두 사건이다.

No face shows $7$ — impossible, probability $0$. Every face is $6$ or less — certain, probability $1$.

The two events pin down the ends of the scale.

여사건: $100\% - 30\% = 70\%$. 오거나 안 오거나 — 합쳐서 확실($100\%$)이기 때문이다.

The complement: $100\% - 30\% = 70\%$. Rain or no rain — together they are certain ($100\%$).

$30$ 이하의 $4$의 배수는 $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ — 일곱 개다:

$30 \div 4 = 7.5$의 정수 부분이 $7$이라는 세기법도 통한다.

Multiples of $4$ up to $30$: $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ — seven of them:

Counting by the whole part of $30 \div 4 = 7.5$ works too: seven.

네 칸의 가능성이 같으므로 $P(\text{당첨}) = \frac14$.

다음 판도 $\frac14$이다 — 스피너에는 기억이 없어서 앞의 결과가 다음 판의 가능성을 바꾸지 못한다. "꽝이 쌓였으니 나올 때가 됐다"는 도박사의 오류다.

Four equally likely sections: $P(\text{win}) = \frac14$.

The next spin is also $\frac14$ — spinners have no memory, so past results cannot tilt the next one. "A win is due" is the gambler's fallacy.

$4$보다 큰 눈은 $5$와 $6$, 두 가지:

"$4$ 이상"($4, 5, 6$ — $\frac12$)과 헷갈리지 말 것 — 경계 포함 여부가 답을 바꾼다(부등호 감각).

Greater than $4$: the faces $5$ and $6$ —

Not "at least $4$" ($4, 5, 6$, which gives $\frac12$) — whether the boundary counts changes the answer (inequality sense).

$50$ 이하의 완전제곱수: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ — $7^2 = 49$까지 일곱 개다:

($8^2 = 64$는 넘친다 — 제곱수 표가 세기의 지도다.)

Perfect squares up to $50$: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ — seven, ending at $7^2 = 49$:

($8^2 = 64$ overshoots — the table of squares is the counting map.)

확률의 정의를 거꾸로 읽자 — 노란 구슬 수를 $n$이라 하면 $\frac{n}{20} = \frac25$.

Read the definition backwards — with $n$ yellow marbles, $\frac{n}{20} = \frac25$.

노란 구슬을 $n$개라 하면

검산: $\frac{8}{20} = \frac25$ ✓. 확률에서 개수로 — 비례식의 빈칸 문제가 확률의 옷을 입었다.

With $n$ yellow marbles,

Check: $\frac{8}{20} = \frac25$ ✓. From probability back to count — a proportion's missing-term problem in probability's clothing.

두 가지 다른 질문을 섞은 것이 오류다.

• "던지기 전에 물었을 때, 다섯 번 모두 앞면일 확률" — 이것은 정말 $\frac1{32}$로 작다.
• "네 번 앞면이 이미 나온 뒤, 다섯 번째가 앞면일 확률" — 동전은 지난 결과를 기억하지 못하므로 여전히 $\frac12$다.

주호는 첫 번째 질문의 답($\frac1{32}$)을 두 번째 질문에 갖다 붙였다. 희귀한 것은 "연속 다섯 번"이라는 묶음 전체이지, 이미 네 번이 일어난 시점의 다음 한 번이 아니다. 네 번의 앞면은 이미 확정된 과거 — 남은 불확실성은 마지막 한 번뿐이고, 그것은 언제나 반반이다.

채점 기준. 두 질문(사전 확률 vs 이미 일어난 뒤의 다음 한 번)의 구분(2점), "동전은 기억이 없다"는 독립성의 지적(1점). $\frac1{32} = \frac1{16} \times \frac12$로 "희귀함은 이미 지나간 네 번이 만든 것"임을 짚어도 만점.

The error is mixing two different questions.

• Asked before any tosses: "what is the chance of five heads in a row?" — that is indeed the small $\frac1{32}$.
• Asked after four heads have landed: "what is the chance the fifth is heads?" — the coin remembers nothing, so it is still $\frac12$.

Juho carried the answer to the first question over to the second. What's rare is the whole run of five — not the single next toss once four are already history. Those four heads are settled fact; the only uncertainty left is one toss, and one toss is always even odds.

Grading notes. Distinguishing the two questions — prior probability versus the next toss given the past (2 pts); naming the coin's lack of memory (independence) (1 pt). Noting $\frac1{32} = \frac1{16} \times \frac12$ — "the rarity was spent by the four tosses already gone" — also earns full credit.

"아닌" 쪽을 직접 세는 것보다 빠른 길이 있다 — 여사건.

There's a faster road than counting the "nots" directly — the complement.

$3$의 배수부터 센다: $3, 6, \ldots, 99$ — $33$개이므로 $P(3\text{의 배수}) = \frac{33}{100}$.

여사건으로 넘어간다:

"아닌 것"을 직접 세면 $100 - 33 = 67$개 — 물론 같은 답이지만, 여사건은 세기가 복잡해질수록 진가를 드러내는 지름길이다.

Count the multiples of $3$ first: $3, 6, \ldots, 99$ — thirty-three of them, so $P(\text{multiple of }3) = \frac{33}{100}$.

Take the complement:

Direct counting gives $100 - 33 = 67$ too — same answer, but the complement grows into a serious shortcut as counting gets harder.

경우의 "수"가 아니라 "넓이"가 가능성을 나눈다. 반지름이 절반이면 넓이는 몇 분의 몇인가?

Here likelihood is divided not by counts of cases but by area. Half the radius means what fraction of the area?

지점이 무한히 많아 개수로는 못 세지만, 고르게 꽂힌다면 가능성은 넓이에 비례한다:

반지름이 절반이라고 확률이 $\frac12$가 아니다 — 넓이는 반지름의 제곱을 따르므로 $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$이다(피자 문제의 확률판). 경우의 수 대신 길이·넓이로 재는 이런 확률(기하학적 확률)은 뒤 과정에서 다시 만난다.

With infinitely many points, counting fails — but for a uniformly random landing, likelihood is proportional to area:

Half the radius does not mean probability $\frac12$ — area follows the square of the radius, so $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$ (the pizza problem, reborn as probability). Measuring chance by length and area — geometric probability — returns in later courses.