수직선은 위치를 수 하나로 잡았다 — 이라 하면 자리가 딱 정해졌다. 그런데 평면에서는 수 하나로 부족하다. "오른쪽으로 "만으로는 위아래 어디쯤인지 모른다. 극장 좌석이 "D열 번"처럼 두 정보로 정해지는 것과 같은 사정이다.
해결은 수직선을 두 개 쓰는 것. 가로 수직선(축)과 세로 수직선(축)을 끼리 겹쳐 십자로 놓으면, 평면의 모든 점이 수 두 개로 잡힌다.
가로의 축과 세로의 축이 만나는 점이 원점 다. 점의 위치는 순서쌍 로 적는다 — 원점에서 가로로 , 세로로 이동한 자리라는 뜻이고, 를 좌표, 를 좌표라 한다.
음수 좌표는 반대 방향 이동이다 — 가 음수면 왼쪽, 가 음수면 아래. 음수 단원에서 다진 "부호 = 방향"이 두 방향으로 확장된 것뿐이다.
이름이 "순서쌍"인 이유: 과 는 다른 점이다. 앞자리는 언제나 가로(), 뒷자리는 세로() — 극장에서 "D열 번"과 "열 D번"이 다른 자리인 것과 같다. 항상 부터, 알파벳 순서 그대로다.
두 축은 평면을 네 구역으로 가른다. 오른쪽 위에서 출발해 반시계 방향으로 제···사분면이라 부른다. 각 사분면은 좌표의 부호 조합과 일대일이다:
그래서 점을 찍지 않고 부호만 봐도 사분면이 나온다. 는 이므로 제사분면.
축 위의 점 — 이나 — 은 어느 사분면에도 속하지 않는다. 사분면은 축으로 가른 네 조각이고, 축 자체는 경계선이라 어느 조각의 소속도 아니기 때문이다. "어느 사분면인가"라는 물음에 축 위의 점이 나오면 "축 위" 또는 "축 위"가 답이다.
점 에서 좌표의 부호만 뒤집으면 — 축을 거울로 삼아 아래로 반사된 자리다. 부호 반전과 대칭이 정확히 짝을 이룬다:
| 대칭 | 좌표의 변화 | 의 경우 |
|---|---|---|
| 축 대칭 | 부호 반전 | |
| 축 대칭 | 부호 반전 | |
| 원점 대칭 | 둘 다 반전 |
원점 대칭이 "둘 다 반전"인 것은 축 대칭과 축 대칭을 이어서 한 것과 같기 때문이다 — 거울 두 번이 곧 원점 통과 반사다.
좌표가 같은 두 점은 세로로 나란하다. 그 거리는 좌표의 차 — 절댓값 차시의 공식 그대로다:
가로로 나란한 경우(좌표가 같음)도 마찬가지로 좌표 차의 절댓값. 기울어진 두 점 사이의 거리는 아직 잴 수 없는데, 그 열쇠(피타고라스 정리)는 도형 단원과 Geometry에서 손에 넣는다.
세 점 , , 를 꼭짓점으로 하는 직사각형이 있다. 나머지 한 꼭짓점의 좌표와, 이 직사각형의 가로·세로 길이를 구하여라.
풀이. 직사각형의 변은 축과 나란하다. 과 같은 세로선, 와 같은 가로선에 있어야 하므로 넷째 꼭짓점은 .
가로는 , 세로는 .
검산: 네 점 — 마주 보는 변끼리 길이가 같다 ✓.
The number line pinned a location with one number — say , and the spot is fixed. In a plane, one number is not enough: "3 to the right" leaves up-and-down unknown. It's the theater-seat situation — "row D, seat 5" takes two pieces of information.
The fix: use two number lines. Lay a horizontal one (the -axis) and a vertical one (the -axis) crossing at their zeros, and every point in the plane is pinned by a pair of numbers.
The crossing point of the horizontal -axis and vertical -axis is the origin . A point's position is written as the ordered pair — move horizontally and vertically from the origin. Here is the -coordinate and the -coordinate.
Negative coordinates move the other way — negative means left, negative means down. The "sign is direction" idea from the negatives unit, now extended to two directions.
Why the name "ordered pair": and are different points. First slot is always horizontal (), second vertical () — just as "row D, seat 5" and "row 5, seat D" are different chairs. Always first: alphabetical order, conveniently.
The two axes cut the plane into four regions, named counterclockwise from the upper right: Quadrants I, II, III, IV. Each quadrant matches one sign combination exactly:
So the quadrant can be read from signs without plotting: has pattern , hence Quadrant II.
Points on an axis — like or — belong to no quadrant. The quadrants are the four pieces the axes cut out, and the axes themselves are the boundary, owned by none of them. If a "which quadrant?" question lands on an axis point, the answer is "on the -axis" or "on the -axis."
Take and flip only the sign of : you get — the mirror image below the -axis. Sign flips and reflections pair up perfectly:
| Reflection | Coordinate change | For |
|---|---|---|
| across the -axis | flip | |
| across the -axis | flip | |
| through the origin | flip both |
Flipping both for the origin makes sense because it equals doing the two axis reflections one after the other — two mirrors compose into a point reflection.
Two points sharing an -coordinate stand vertically aligned; their distance is the difference of -coordinates — the absolute-value formula, verbatim:
Horizontally aligned points (same ) work the same way with -coordinates. Distances between tilted pairs of points are out of reach for now — the key (the Pythagorean theorem) arrives with the geometry unit and the Geometry course.
A rectangle has vertices at , , and . Find the fourth vertex, and the rectangle's width and height.
Solution. The sides run parallel to the axes. The fourth vertex must share its vertical line with and its horizontal line with : it is .
Width: . Height: .
Check: the four points give equal opposite sides ✓.
그림의 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 읽어라.
Read the coordinates of the four points A, B, C, D in the figure.
각 점에서 가로 이동과 세로 이동을 차례로 읽는다: A는 오른쪽 ·위 이므로 . 같은 방법으로 B, C, D.
Read each point's horizontal then vertical move: A is right , up , so . Likewise B, C, D.
점 는 제몇 사분면에 있는가?
In which quadrant is the point ?
부호가 — 왼쪽 위이므로 제사분면이다.
The signs are — upper left, so Quadrant II.
점 는 어디에 있는가? (사분면 이름 또는 위치로 답하여라.)
Where is the point ? (Answer with a quadrant or a location.)
좌표가 이므로 가로 이동이 없다 — 축 위, 원점 아래 인 자리다. 축 위의 점은 사분면의 경계라 어느 사분면에도 속하지 않는다.
The -coordinate is , so there is no horizontal move — the point sits on the -axis, below the origin. Axis points are boundary, belonging to no quadrant.
점 과 원점 사이의 거리를 구하여라.
Find the distance between and the origin.
두 점 모두 축 위에 있으므로 거리는 .
Both points lie on the -axis, so the distance is .
좌표는 양수이고 좌표는 음수인 점들은 제몇 사분면에 모여 있는가?
Points with positive -coordinate and negative -coordinate gather in which quadrant?
는 오른쪽 아래 — 제사분면이다. 반시계 순서(I 오른쪽 위 → II → III → IV)를 그림으로 한 번 돌려 보면 헷갈리지 않는다.
is lower right — Quadrant IV. One mental lap of the counterclockwise order (I upper right → II → III → IV) settles it.
점 를 축에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.
Find the reflection of across the -axis.
축 대칭은 좌표의 부호만 뒤집는다: .
확인: 두 점은 축에서 같은 거리()만큼 위아래로 떨어져 있다 ✓.
Reflection across the -axis flips only the -coordinate: .
Check: both points sit the same distance () above and below the -axis ✓.
두 점 과 사이의 거리를 구하여라.
Find the distance between and .
좌표가 같으므로 두 점은 가로로 나란하다:
Equal -coordinates put the points on one horizontal line:
세 점 , , 이 직사각형의 세 꼭짓점이다. 나머지 한 꼭짓점의 좌표를 구하여라.
Three vertices of a rectangle are , , and . Find the fourth vertex.
변이 축과 나란하려면 넷째 꼭짓점은 과 같은 세로선(), 과 같은 가로선()에 있어야 한다: .
검산: 가로변 두 개는 길이 , 세로변 두 개는 길이 로 짝이 맞는다 ✓.
For axis-parallel sides, the fourth vertex must share the vertical line of (that is, ) and the horizontal line of (that is, ): it is .
Check: the two horizontal sides both have length , the two vertical sides length ✓.
앞 문제의 직사각형의 둘레와 넓이를 구하여라.
Find the perimeter and area of the rectangle from the previous problem.
가로 , 세로 .
둘레: . 넓이: .
Width , height .
Perimeter: . Area: .
점 을 축에 대해 대칭이동한 뒤, 그 점을 다시 축에 대해 대칭이동했다. 최종 점의 좌표를 구하고, 이것이 원점 대칭과 같은지 판정하여라.
The point is reflected across the -axis, and the result is then reflected across the -axis. Find the final point, and decide whether this matches reflection through the origin.
대칭 한 번마다 부호가 어떻게 바뀌는지 좌표로 따라가 보자.
Track the signs coordinate by coordinate, one reflection at a time.
차례로 따라간다:
원점 대칭은 두 부호를 모두 뒤집으므로 — 일치한다. 두 축 대칭을 이어 하면 각 좌표가 정확히 한 번씩 뒤집히기 때문에, 순서를 바꿔도(축 먼저) 결과는 같다.
Follow the moves:
Origin reflection flips both signs: — a match. Composing the two axis reflections flips each coordinate exactly once, so the order doesn't matter either (-axis first gives the same landing spot).
과 는 같은 점인가? 판정하고, "순서쌍"이라는 이름과 연결해 이유를 설명하여라.
Are and the same point? Decide, and explain by connecting to the name "ordered pair."
다른 점이다. 은 오른쪽 ·위 , 는 오른쪽 ·위 — 좌표평면에 찍으면 서로 다른 자리에 떨어진다(두 점은 직선 를 거울로 한 대칭 위치다).
이름이 "순서쌍"인 이유가 바로 이것이다. 쌍을 이루는 두 수가 어느 자리에 서느냐가 뜻을 바꾸기 때문에, 첫자리 = (가로), 둘째 자리 = (세로)라는 약속이 표기의 일부다. 극장 좌석 "D열 번"과 "열 D번"이 다른 자리인 것과 같은 이치 — 두 수가 같은 값의 쌍이라도 순서가 정보다.
채점 기준. "다르다" 판정과 두 점의 위치 서술 또는 그림(1점), 순서가 뜻을 바꾼다는 원리와 표기 약속( 먼저)의 연결(2점). 좌석·주소 등 다른 실례로 설명해도 논리가 맞으면 만점. (참고: 가 되는 경우는 일 때뿐이다 — 이 특수 사례를 언급하면 가산 요소.)
Different points. is right , up ; is right , up — plotted, they land in different spots (mirror images across the line , in fact).
This is exactly why the name says "ordered": which slot a number occupies changes the meaning, so the convention — first slot (horizontal), second slot (vertical) — is part of the notation itself. Same as theater seats: "row D, seat 5" and "row 5, seat D" are different chairs. Even with identical numbers, the order carries information.
Grading notes. The verdict with both positions described or sketched (1 pt); linking order-changes-meaning to the -first convention (2 pts). Any sound real-world analogy (seats, addresses) earns full credit. (Bonus observation worth crediting: only when .)
이고 인 정수 좌표의 점 는 모두 몇 개인가?
How many points with integer coordinates satisfy and ?
가능한 의 값과 의 값을 각각 나열해 보자. 각 마다 는 몇 가지씩 짝지어지는가?
List the possible values of and of separately. For each , how many 's pair with it?
절댓값 조건을 풀면(절댓값 차시) 는 의 가지, 는 의 가지다.
하나마다 가 가지씩 짝지어지므로 점의 개수는
그림으로는 가로 칸 세로 칸의 격자점 직사각형이다. "각각 가지와 가지를 짝지으면 가지" — 이 곱셈 원리는 확률 단원에서 정식으로 다시 만난다.
Unpacking the absolute values (from that lesson): ranges over — five values; over — three.
Each pairs with all three 's, so the count is
Pictured, it's a -by- rectangle of lattice points. "Pairing choices with choices gives " — this multiplication principle returns officially in the probability unit.
개미가 원점에서 출발해 격자선을 따라 오른쪽으로 , 위로 , 왼쪽으로 , 아래로 이동했다. 개미의 최종 위치와, 그 위치에서 격자선만 따라 원점으로 돌아가는 최단 거리를 구하여라.
An ant starts at the origin and walks along grid lines: right , up , left , down . Find the ant's final position, and the shortest grid-line distance back to the origin.
가로 이동끼리, 세로 이동끼리 합치면 최종 위치가 나온다. 격자만 탈 수 있다면 가로와 세로를 따로 가는 수밖에 없다.
Combine the horizontal moves together and the vertical moves together for the final spot. On a grid, horizontal and vertical progress must be made separately.
가로 이동의 합: . 세로 이동의 합: . 최종 위치는 다 — 음수 덧셈 차시의 재배열 그대로.
격자선만 탈 수 있으면 대각선 지름길이 없으므로, 어떤 경로든 가로로 최소 , 세로로 최소 를 가야 한다:
그리고 실제로 에 도달하는 경로가 있다(오른쪽 , 위 ). 그러므로 최단 거리는 . "최소 이만큼은 필요하다 + 실제로 된다" — 최단·최소 문제의 표준 논증 틀이다.
Horizontal total: . Vertical total: . The ant stands at — the rearrangement trick from the negatives unit at work.
Restricted to grid lines, there are no diagonal shortcuts: any route home needs at least horizontally and vertically, so at least
And a route of exactly exists (right , then up ). Hence the shortest distance is . "At least this much is needed — and it is achievable": the standard two-part argument for every shortest-path problem.