문자와 식Variables & Expressions

Pre-AlgebraPre-Algebra · 6. 일차식과 간단한 방정식6. Expressions & Simple Equations

학습 목표

문자가 왜 필요한지 — 빈칸의 한계와 일반화의 언어 — 를 설명할 수 있다.
곱셈 기호 생략, 수 먼저 쓰기, 나눗셈의 분수꼴 등 식의 표기 관례를 지켜 쓸 수 있다.
문장을 식으로, 식을 문장으로 번역할 수 있다 — 순서 함정("~보다 ~ 작은")을 피해서.
문자에 수를 대입해 식의 값을 구할 수 있다(음수는 괄호에 넣어서).
패턴을 문자 식 하나로 요약할 수 있다.

빈칸의 한계, 이름표의 등장

연산의 성질 차시에서 예고했던 약속을 지킬 차례다 — "문자는 빈칸의 이름표"라는 선언의 본격판.

$\square + 3 = 8$ 처럼 빈칸 하나면 $\square$ 로 충분하다. 그런데 "어떤 수와 그 수보다 5 큰 수의 합"을 빈칸으로 쓰면 $\square + (\square + 5)$ — 두 빈칸이 같은 수라는 것을 기호가 보장해 주지 않는다. 빈칸에 이름을 붙이면 해결된다:

n + (n + 5).

같은 이름 $n$ 은 같은 수, 다른 이름은 다를 수 있는 수. 이름표가 붙은 빈칸이 문자이고, 문자와 수를 연산으로 엮은 것이 식이다.

문자의 더 큰 힘은 일반화다. "가로 $3$ , 세로 $2$ 인 직사각형의 둘레는 $2 \times (3 + 2)$ "는 직사각형 하나의 이야기지만,

2 \times (a + b)

는 가로 $a$ , 세로 $b$ 인 모든 직사각형의 둘레를 한 번에 말한다. 수 하나하나의 산수에서 모든 수에 대한 문장으로 — 이것이 대수의 출발점이다.

표기 관례: 식을 읽기 좋게

식에는 오래 다듬어진 표기 약속이 있다.

곱셈 기호는 생략한다: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ . 기호 $\times$ 가 문자 $x$ 와 헷갈리기 때문이기도 하다. 단, 수끼리는 생략 불가 — $3 \times 5$ 를 $35$ 로 쓸 수는 없다.
수를 문자 앞에: $a \times 3$ 은 $3a$ 로. $1a$ 는 그냥 $a$ , $(-1)a$ 는 $-a$ .
같은 문자의 곱은 거듭제곱으로: $a \times a = a^2$ (거듭제곱 차시 그대로).
나눗셈은 분수꼴로: $a \div 3 = \dfrac{a}{3}$ . 분수 막대가 숨은 괄호 역할까지 해 주므로( $\frac{a+b}{2}$ ) $\div$ 보다 안전하다.

2 \times (a + b) = 2(a + b), \qquad x \times x \times y \times 3 = 3x^2y.

번역: 문장 ↔ 식

문장제의 절반은 번역이다. 자주 나오는 표현부터:

문장	식
$n$ 보다 $7$ 큰 수	$n + 7$
$n$ 보다 $7$ 작은 수	$n - 7$
$n$ 의 $3$ 배	$3n$
$n$ 의 절반	$\dfrac{n}{2}$
$n$ 의 $3$ 배보다 $7$ 작은 수	$3n - 7$

주의

" $n$ 의 $3$ 배보다 $7$ 작은 수"는 $3n - 7$ 이다 — 기준( $3n$ )을 먼저 세우고 거기서 $7$ 을 뺀다. 문장에 나온 순서대로 $7 - 3n$ 으로 쓰면 뜻이 뒤집힌다. 헷갈리면 수로 검사하자: $n = 10$ 이면 "30보다 7 작은 수"는 $23 = 3 \cdot 10 - 7$ ✓.

예제 1 · 식 세우기

다음을 식으로 나타내어라.

(1) 한 개 $800$ 원인 사과 $n$ 개의 값 (2) $20$ 개의 사탕을 $x$ 명이 똑같이 나눌 때 한 사람의 몫 (3) $y$ 보다 $6$ 작은 수의 $2$ 배

풀이. (1) $800n$ (원). (2) $\dfrac{20}{x}$ (개). (3) 기준은 " $y$ 보다 $6$ 작은 수" $= y - 6$ 이고 그것의 $2$ 배이므로 $2(y - 6)$ .

(3)에서 괄호가 생명이다 — $2y - 6$ 은 " $y$ 의 $2$ 배보다 $6$ 작은 수"로 다른 식이다.

대입: 이름표 자리에 수를 돌려놓기

문자에 수를 넣는 것을 대입이라 하고, 그 결과를 식의 값이라 한다. $a = 5$ 일 때 $4a - 3$ 의 값은

4 \times 5 - 3 = 17.

생략된 곱셈 기호가 대입 순간 되살아난다는 점( $4a = 4 \times a$ )과, 음수를 대입할 때는 괄호에 넣는다는 점만 지키면 된다: $x = -3$ 일 때 $2x + 10 = 2 \times (-3) + 10 = 4$ . 대입 계산의 본격 연습과 동류항 정리는 다음 차시의 몫이다.

패턴을 식 하나로

문자의 힘을 시험해 보자. 성냥개비로 정사각형을 한 줄로 이어 만든다:

첫 정사각형은 4개, 그다음부터는 칸마다 3개씩 — n칸이면 3n + 1개.

첫 칸은 $4$ 개, 그 뒤로는 칸마다 $3$ 개씩 보태진다. 칸이 $n$ 개면

4 + \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{n-1\text{개}} = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1.

표로 검사: $n = 1, 2, 3$ 일 때 $4, 7, 10$ ✓. 이제 $n = 100$ 이어도 세지 않고 안다 — $301$ 개. 규칙을 찾는 눈과 그것을 식으로 적는 손, 이 둘이 이 단원에서 기를 근육이다.

Goals

Explain why letters are needed — the limits of blanks, and the language of generalization.
Follow the notation conventions: dropped multiplication signs, numbers first, division as fractions.
Translate sentences into expressions and back — dodging the word-order trap ("less than").
Substitute numbers for letters to evaluate an expression (negatives go in parentheses).
Compress a pattern into a single expression.

Blanks run out; name tags step in

Time to keep a promise from the properties lesson — the declaration that "a letter is a name tag for a blank," now in full.

For $\square + 3 = 8$ , one blank is fine. But try writing "a number plus the number five more than it" with blanks: $\square + (\square + 5)$ — nothing in the notation guarantees the two blanks hold the same number. Naming the blank fixes it:

n + (n + 5).

Same name, same number; different names may differ. A named blank is a variable, and variables and numbers tied together by operations form an expression.

The deeper power of letters is generalization. "A rectangle $3$ wide and $2$ tall has perimeter $2 \times (3 + 2)$ " is a statement about one rectangle. But

2 \times (a + b)

states the perimeter of every rectangle with width $a$ and height $b$ , all at once. From arithmetic about single numbers to sentences about all numbers — that is where algebra begins.

Conventions: keeping expressions readable

Expressions come with long-polished notational agreements.

Drop the multiplication sign: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ . (One reason: $\times$ is too easy to confuse with the letter $x$ .) Between plain numbers it cannot be dropped — $3 \times 5$ is not $35$ .
Number before letter: $a \times 3$ becomes $3a$ . Also $1a$ is just $a$ , and $(-1)a$ is $-a$ .
Repeated letters become powers: $a \times a = a^2$ , straight from the powers lesson.
Division becomes a fraction: $a \div 3 = \dfrac{a}{3}$ . The fraction bar even doubles as hidden parentheses ( $\frac{a+b}{2}$ ), making it safer than $\div$ .

2 \times (a + b) = 2(a + b), \qquad x \times x \times y \times 3 = 3x^2y.

Translation: sentences ↔ expressions

Half of every word problem is translation. The frequent phrases first:

Sentence	Expression
$7$ more than $n$	$n + 7$
$7$ less than $n$	$n - 7$
$3$ times $n$	$3n$
half of $n$	$\dfrac{n}{2}$
$7$ less than $3$ times $n$	$3n - 7$

Watch out

" $7$ less than $3$ times $n$ " is $3n - 7$ : build the reference ( $3n$ ) first, then take $7$ away. Writing the words in reading order as $7 - 3n$ flips the meaning. When in doubt, test with a number: for $n = 10$ , "seven less than thirty" is $23 = 3 \cdot 10 - 7$ ✓.

Example 1 · Building expressions

Write an expression for each.

(1) The cost of $n$ apples at $800$ won each (2) One person's share when $20$ candies are split equally among $x$ people (3) Twice the number that is $6$ less than $y$

Solution. (1) $800n$ won. (2) $\dfrac{20}{x}$ candies. (3) The reference is " $6$ less than $y$ ," which is $y - 6$ ; twice that is $2(y - 6)$ .

In (3) the parentheses carry the meaning — $2y - 6$ says "6 less than twice $y$ ," a different expression.

Substitution: returning a number to its tag

Putting a number in for a letter is substitution, and the result is the value of the expression. For $a = 5$ , the value of $4a - 3$ is

4 \times 5 - 3 = 17.

Two habits cover everything: the dropped multiplication sign comes back to life at substitution time ( $4a = 4 \times a$ ), and negative numbers go in wearing parentheses: for $x = -3$ , $2x + 10 = 2 \times (-3) + 10 = 4$ . Heavier evaluation practice — and combining like terms — belongs to the next lesson.

A pattern in one expression

Put the letters to work. Build a row of squares from matchsticks:

The first square takes 4 sticks; every square after adds 3 — so n squares take 3n + 1.

The first square costs $4$ sticks, and each square after it adds $3$ . With $n$ squares,

4 + \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{n-1 \text{ copies}} = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1.

Table check: $n = 1, 2, 3$ gives $4, 7, 10$ ✓. Now $n = 100$ needs no counting — $301$ sticks. Spotting the rule and writing it as an expression: those are the two muscles this unit trains.