원Circles

반지름은 지름의 절반: $7$. 둘레는 $C = \pi d = 14\pi$ ($\approx 44.0$).

The radius is half the diameter: $7$. The circumference is $C = \pi d = 14\pi$ ($\approx 44.0$).

$\pi r^2$의 제곱은 반지름에만 걸린다 — $(\pi r)^2$이 아니다.

The square in $\pi r^2$ applies to the radius only — it is not $(\pi r)^2$.

$2\pi r = 18\pi$에서 양변을 $2\pi$로 나누면 $r = 9$.

검산: $2\pi \times 9 = 18\pi$ ✓.

From $2\pi r = 18\pi$, divide both sides by $2\pi$: $r = 9$.

Check: $2\pi \times 9 = 18\pi$ ✓.

$\pi r^2 = 49\pi$에서 $r^2 = 49$, 반지름은 길이라 양수이므로

제곱근 차시의 도구가 원에서 일한다.

From $\pi r^2 = 49\pi$ we get $r^2 = 49$, and a radius is a positive length, so

The square-roots lesson, on duty inside a circle.

경계는 호와 지름, 두 부분이다:

둘레는 $6\pi + 12$ ($\approx 30.8$). 호만 답한 $6\pi$는 열린 곡선의 길이일 뿐 — 둘레는 경계 전체다.

The boundary has two parts — the arc and the diameter:

Perimeter: $6\pi + 12$ ($\approx 30.8$). The arc alone, $6\pi$, is an open curve — perimeter means the whole boundary.

전체 원의 $\frac{90}{360} = \frac14$이므로

It is $\frac{90}{360} = \frac14$ of the full circle:

빼기 전략:

$\pi(6-2)^2 = 16\pi$가 아니다 — 넓이는 반지름의 제곱에서 빼야지, 반지름을 먼저 빼면 안 된다($6^2 - 2^2 \neq (6-2)^2$, 완전제곱식 함정의 친척).

The subtraction strategy:

Not $\pi(6-2)^2 = 16\pi$ — subtract the squared radii, never the radii first ($6^2 - 2^2 \neq (6-2)^2$, a cousin of the perfect-square trap).

한 바퀴에 둘레만큼 나아간다: $70\pi$ cm. $100$바퀴면

굴러간 거리 = 둘레 × 바퀴 수 — "미끄러짐 없이"가 그 등식의 조건이다.

Each turn advances one circumference: $70\pi$ cm. A hundred turns give

Distance rolled = circumference × turns — "without slipping" is what licenses that equation.

지름이 2배면 넓이는 몇 배가 되는가? 반지름을 제곱하는 공식을 다시 보자.

If the diameter doubles, what happens to the area? Look again at which quantity the formula squares.

넓이로 비교한다.

• 지름 $20$ (반지름 $10$): $\pi \times 10^2 = 100\pi$.
• 지름 $10$ (반지름 $5$) 두 판: $2 \times \pi \times 5^2 = 50\pi$.

큰 판 하나가 작은 판 네 판 몫이다 — 지름이 $2$배면 넓이는 $2^2 = 4$배이기 때문($\pi r^2$의 제곱이 하는 일). "길이 $2$배 = 양 $2$배"라는 직감이 넓이에서 무너지는 것은 단위 환산의 $100^2$ 함정과 같은 뿌리다.

Compare areas.

• Diameter $20$ (radius $10$): $\pi \times 10^2 = 100\pi$.
• Two of diameter $10$ (radius $5$): $2 \times \pi \times 5^2 = 50\pi$.

The big pie equals four small ones — double the diameter means $2^2 = 4$ times the area (that's the square in $\pi r^2$ at work). The instinct "twice the length, twice the amount" fails for areas — the same root as the $100^2$ unit-conversion trap.

정의: $\pi$는 원의 둘레를 지름으로 나눈 값이다 — $\pi = \frac{C}{d}$.

모든 원에서 같은 이유: 어떤 두 원도 서로 확대·축소한 관계다(모양이 같고 크기만 다르다). 한 원을 $k$배 확대하면 둘레도 $k$배, 지름도 $k$배가 된다 — 길이는 전부 같은 배율로 늘기 때문이다. 그러면

— 배율 $k$가 약분되어 비율이 그대로다. 그래서 손목시계의 원이든 대관람차의 원이든 $\frac{C}{d}$는 하나의 값 $3.14159\cdots$로 같다.

채점 기준. 정의(둘레 $\div$ 지름)(1점), 모든 원이 서로 확대·축소 관계라는 지적(1점), 확대가 두 길이를 같은 배율로 늘려 비율이 보존된다는 논증($k$ 약분)(1점). 구체적 두 원의 수치 비교로 설명해도 배율 논리가 담겨 있으면 만점.

Definition: $\pi$ is a circle's circumference divided by its diameter — $\pi = \frac{C}{d}$.

Why it's universal: any two circles are scaled copies of each other (same shape, different size). Enlarging a circle by a factor $k$ multiplies its circumference by $k$ and its diameter by $k$ — every length stretches by the same factor. Then

— the $k$ cancels, and the ratio survives. So whether the circle is a wristwatch face or a Ferris wheel, $\frac{C}{d}$ is one and the same $3.14159\cdots$

Grading notes. The definition (1 pt); the all-circles-are-scaled-copies observation (1 pt); the same-factor argument with the cancelling $k$ (1 pt). A concrete two-circle comparison earns full credit if the scaling logic is visible in it.

새 끈은 반지름 $R + 1$인 원이다. 두 둘레의 차를 식으로 써 보자.

The lifted string is a circle of radius $R + 1$. Write the difference of the two circumferences.

원래 끈은 $2\pi R$, 띄운 끈은 반지름 $R + 1$인 원이므로 $2\pi(R + 1)$. 차이는

분배법칙이 $R$을 통째로 지워 버린다 — 트랙이 놀이터 크기든 지구 적도 크기든, 추가로 필요한 끈은 똑같이 $2\pi$ m다. 직감("큰 원일수록 훨씬 많이 필요하겠지")을 식이 뒤집는 유명한 문제다.

The original string measures $2\pi R$; the lifted one is a circle of radius $R + 1$, measuring $2\pi(R + 1)$. The difference:

The distributive law erases $R$ entirely — playground track or Earth's equator, the extra string is the same $2\pi$ meters. A famous problem where the algebra overturns the instinct ("surely a bigger circle needs far more").

색칠한 조각을 "큰 반원 − 작은 반원 + 작은 반원"으로 분해해 보자.

Decompose the shaded piece as "big semicircle − small semicircle + small semicircle."

색칠한 조각은 위쪽 큰 반원에서 왼쪽 작은 반원을 덜어내고, 오른쪽 작은 반원을 보탠 모양이다:

덜어낸 것과 보탠 것이 같은 크기라 상쇄되어, 조각은 전체 $16\pi$의 정확히 절반이다. 곡선인데도 절반 — 태극 문양이 원을 공평하게 가르는 이유가 이 계산이다.

The shaded piece is the upper big semicircle with the left small semicircle removed and the right small semicircle added:

The removed and added pieces match, so they cancel — the piece is exactly half of the full $16\pi$. A curved border that still splits the circle fairly: this computation is why the yin-yang divides evenly.