지난 차시의 대입을 여러 문자와 거듭제곱으로 확장하자. 규칙은 둘뿐이다 — 생략된 곱셈 기호를 되살리고, 음수는 괄호를 입혀 넣는다.
(1) , 일 때 의 값 (2) 일 때 의 값
풀이. (1) .
(2) .
(2)의 함정은 두 겹이다 — 이지 가 아니고(괄호 덕분에 밑이 ), 는 이다. 음수 대입에서 괄호는 장식이 아니라 안전장치다.
공식에 대입하는 것도 똑같다. 섭씨 도를 화씨로 바꾸는 공식 에 를 넣으면 — 식 하나가 모든 온도의 변환표를 대신한다.
정리를 배우기 전에 부품의 이름부터. 식 은 덧셈으로 이어진 두 덩어리 와 로 나뉜다 — 각 덩어리가 항이다. 문자 앞의 수()가 계수, 문자 없는 항()이 상수항이다.
부호는 항의 일부다. 의 항은 , , — ""가 아니라 ""다. 부호를 항에 붙여 읽는 습관이 이 뒤의 모든 정리 계산에서 부호 실수를 막아 준다.
사과 개에 사과 개를 더하면 사과 개다. 사과 개에 배 개는? — 합쳐서 한 단어로 못 센다. 식에서도 같다. 는 " 세 개 + 두 개"라 로 합쳐지지만, 는 단위가 달라 더 줄지 않는다.
문자와 그 거듭제곱까지 완전히 같은 항을 동류항이라 한다. 와 는 동류항, 와 는 아니고, 와 도 아니다( 한 개짜리와 두 개 곱은 다른 단위).
합쳐도 되는 근거는 분배법칙 거꾸로다:
연산의 성질 차시에서 넓이 그림으로 다진 그 법칙이, 여기서는 "계수끼리 더하기"라는 허가증이 된다. 는 이므로 다.
는 틀렸다 — 다른 단위를 곱셈 기호로 붙여 버린 것이다. 수로 검사하면 바로 무너진다: , 이면 좌변 , 우변 . (단위가 같을 때만, 즉 동류항일 때만 계수를 더한다.)
를 간단히 하여라.
풀이. 부호째로 모은다 — 항끼리, 상수끼리:
검산: 를 원래 식과 결과에 각각 대입 — , ✓. 정리 전후는 같은 식이어야 하므로 어떤 수를 넣어도 값이 같아야 한다. 이 대입 검산은 정리 실수를 잡는 가장 값싼 그물이다.
괄호가 있으면 분배법칙으로 먼저 편다:
조심할 것은 빼기 괄호다. 은 이므로 괄호 안 모든 항의 부호가 뒤집힌다:
으로 쓰는 실수(뒤 항의 부호를 안 뒤집음)가 이 계산의 단골 오답이다. 검산으로 잡자 — : 원래 식 , 결과 ✓.
Extend last lesson's substitution to several letters and powers. Only two rules: revive the hidden multiplication signs, and dress negatives in parentheses.
(1) The value of for , (2) The value of for
Solution. (1) .
(2) .
Part (2) hides two traps: , not (the parentheses make the base ), and is . With negative substitutions, parentheses are not decoration — they are the safety gear.
Formulas work the same way. The Celsius-to-Fahrenheit rule at gives — one expression standing in for an entire conversion table.
Before simplifying, name the parts. The expression splits into two chunks joined by addition: and — each chunk is a term. The number in front of a letter () is its coefficient; the letter-free term () is the constant term.
A sign belongs to its term. The terms of are , , and — not "" but "." Reading signs as glued to their terms is the habit that prevents sign errors in everything that follows.
Three apples plus two apples: five apples. Three apples plus two pears? No single word counts them. Expressions behave identically: is "three 's plus two 's," which merges into ; but mixes units and won't shrink.
Terms with exactly the same letters raised to the same powers are like terms. and qualify; and don't; nor do and (one versus two multiplied — different units).
The license to combine is the distributive law, run backwards:
The law built on area pictures back in the properties lesson now authorizes "add the coefficients." And since , we get .
is wrong — it glues different units together with a multiplication. A number test collapses it instantly: at , , the left side is , the right is . Coefficients add only across like terms.
Simplify .
Solution. Gather signs-and-all — -terms together, constants together:
Check: substitute into both versions — and ✓. Before and after must be the same expression, so every input must give matching values. This substitution check is the cheapest net for catching simplification slips.
With parentheses, distribute first:
The one to watch is a subtracted group. means , so every term inside flips sign:
Writing (forgetting to flip the second term) is the resident wrong answer here. Catch it with the check — at : original , result ✓.
식 에서 의 계수와 상수항을 각각 말하여라.
In the expression , name the coefficient of and the constant term.
항은 와 . 문자 앞의 수 가 계수(부호 포함!), 문자 없는 이 상수항이다.
The terms are and . The number attached to the letter, (sign included!), is the coefficient; the letter-free is the constant term.
를 간단히 하여라.
Simplify .
동류항이므로 계수끼리: — 분배법칙 거꾸로가 근거다.
Like terms, so the coefficients combine: — licensed by the distributive law in reverse.
를 간단히 하여라.
Simplify .
이므로 .
지난 차시의 과 나란히 두자 — 더한 것은 계수로, 곱한 것은 지수로 쌓인다.
Since , this is .
Set it beside last lesson's : repeated addition stacks into the coefficient, repeated multiplication into the exponent.
, 일 때 의 값을 구하여라.
Find the value of for , .
의 부호가 이 문제의 전부다 — 음수 곱하기 음수는 양수.
The whole problem lives in the sign of : negative times negative is positive.
을 간단히 하여라.
Simplify .
부호째로 모은다:
검산: — 원래 식 , 결과 ✓.
Gather terms with their signs:
Check: at — original , result ✓.
를 간단히 하여라.
Simplify .
항끼리, 항끼리:
와 는 동류항이 아니므로 여기서 끝 — 로 붙이면 안 된다.
-terms together, -terms together:
and are not like terms, so this is the end — gluing them into is not allowed.
를 간단히 하여라.
Simplify .
분배법칙으로 펴고 모은다:
검산: — 원래 식 , 결과 ✓.
Distribute, then gather:
Check: at — original , result ✓.
를 간단히 하여라.
Simplify .
빼기 괄호는 안의 모든 항의 부호를 뒤집는다:
는 뒤 항을 안 뒤집은 단골 오답이다. 검산: — 원래 식 , 결과 ✓ (였다면 로 어긋난다).
A subtracted group flips the sign of every term inside:
— flipping only the first term — is the resident wrong answer. Check: at , original , result ✓ (the wrong version gives ).
섭씨 도를 화씨 도로 바꾸는 공식은 다. 섭씨 도는 화씨 몇 도인가?
The formula converts degrees Celsius to Fahrenheit. What is C in Fahrenheit?
을 대입:
은 에 를 곱해 — 분수 곱셈이 공식 속에서 일한다.
Substitute :
For : divide by to get , times is — fraction multiplication on the job inside a formula.
일 때 의 값을 구하여라.
Find the value of for .
음수는 괄호를 입혀 대입한다. 부터 정확히.
Substitute the negative inside parentheses. Get right first.
함정 둘: ( 아님), . 괄호 대입이 둘 다 지켜 준다.
Two traps: (not ), and . Parenthesized substitution guards both.
지호는 를 "더 간단히" 만든다며 로 적었다. 왜 틀렸는지 설명하고, 반례로 확인하여라. 단, , 은 반례로 쓸 수 없는데 그 이유도 함께 밝혀라.
Jiho "simplified" to . Explain why this is wrong and confirm with a counterexample. One catch: , cannot serve as the counterexample — explain why not.
와 는 문자가 달라 동류항이 아니다 — 사과 셋과 배 둘을 "과일 다섯"이라 뭉뚱그릴 수는 있어도 사과배로 만들 수는 없다. 동류항이 아닌 항은 덧셈 기호로 이어 둔 채가 최종 형태이고, 는 덧셈을 곱셈으로 바꿔 버린 다른 식이다.
반례: , 이면 인데 — 값이 달라 두 식은 같지 않다.
, 이 반례가 못 되는 이유: 이때는 이고 로 우연히 값이 같다. 반례는 값이 달라지는 사례여야 하므로, 하나 넣어 보고 같다고 해서 두 식이 같다고 결론지어도 안 된다 — 등식이 의심되면 여러 값, 특히 서로 다른 값을 넣어 봐야 한다.
채점 기준. 동류항이 아니라는 지적과 단위 논리(1점), 올바른 반례 제시(1점), 이 우연의 일치라 반례가 못 됨을 설명(1점).
and carry different letters — not like terms. Three apples and two pears can be loosely called "five fruits," but never . Unlike terms stay joined by the plus sign as the final form; swaps that addition for a multiplication and becomes a different expression.
Counterexample: at , , we get but — different values, so the expressions differ.
Why , fails as a counterexample: there and — the values coincide by accident. A counterexample must produce different values; by the same token, one matching input never proves two expressions equal. When an identity is in doubt, test several inputs — especially unequal ones.
Grading notes. The not-like-terms point with the units logic (1 pt); a valid counterexample (1 pt); explaining the coincidence (1 pt).
일 때 의 값을 구하여라.
Find the value of when .
대입부터 하지 말고 정리부터 해 보자. 항의 계수를 모으면 어떻게 되는가?
Don't substitute yet — simplify first. What happens when the -coefficients are collected?
정리부터 한다:
항이 통째로 사라지므로 값은 와 무관하게 이다 — 는 겁주기용 숫자였다.
"대입 전에 정리"가 원칙인 이유가 이 문제에 압축돼 있다: 정리는 계산을 줄일 뿐 아니라, 식의 진짜 구조(여기서는 "상수였다")를 드러낸다.
Simplify first:
The -terms vanish entirely, so the value is regardless of — the was pure intimidation.
This problem compresses the whole case for "simplify before substituting": simplification doesn't just shrink the arithmetic, it exposes the expression's true structure (here: it was a constant all along).
민지는 를, 수호는 을 계산했는데, 어떤 수를 대입해도 둘의 답이 항상 같았다. 우연인지 필연인지 판정하고 근거를 대어라.
Minji computes and Suho computes , and for every number they try, their answers agree. Coincidence or necessity? Justify.
민지의 식을 정리한다:
수호의 식과 완전히 같다. 그러므로 어떤 값을 넣어도 같은 것은 우연이 아니라 같은 식의 두 표기이기 때문이다.
수치 확인: 이면 민지 , 수호 ✓; 이면 과 ✓.
앞 문제(p11)와 짝을 이루는 교훈이다 — 값이 한 번 같은 것은 우연일 수 있지만(그래서 반례 검증이 필요하고), 정리로 같은 식임을 보이면 모든 값에서 같음이 보장된다. 이런 "항상 성립하는 등식"을 항등식이라 부르는데, Algebra 1의 방정식 차시에서 다시 만난다.
Simplify Minji's expression:
Exactly Suho's. So the perpetual agreement is no coincidence: they are two notations for one expression.
Numeric confirmation: at , Minji gets and Suho ✓; at , both give ✓.
This is the companion lesson to p11: values agreeing once can be luck (hence counterexample-testing), but showing by simplification that the expressions are identical guarantees agreement for every value. Equations true for all values are called identities — they return in Algebra 1's equations lessons.