각과 삼각형Angles & Triangles

Pre-AlgebraPre-Algebra · 8. 도형 기초8. Geometry Basics

학습 목표

각을 도(°)로 재고, 예각·직각·둔각·평각으로 분류할 수 있다.
맞꼭지각이 서로 같음을 평각 두 개로 증명할 수 있다.
삼각형 세 내각의 합이 $180°$ 임을 알고, 빠진 각을 계산할 수 있다.
삼각형을 변과 각으로 분류하고, 이등변삼각형의 두 밑각이 같음을 활용할 수 있다.
세 길이가 삼각형을 이룰 조건(삼각형 부등식)을 판정할 수 있다.

각: 벌어진 정도를 재는 수

한 점에서 뻗어 나간 두 반직선이 만드는 벌어짐이 각이다. 벌어진 정도는 도( $°$ )로 잰다 — 한 바퀴를 $360°$ 로 놓는 약속이다. 왜 하필 $360$ 인가에는 역사적 사연이 있지만, 수학적으로 고마운 점은 분명하다: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ 는 약수가 많아 $\frac12$ 바퀴( $180°$ ), $\frac13$ 바퀴( $120°$ ), $\frac14$ 바퀴( $90°$ ), $\frac16$ 바퀴( $60°$ )가 전부 자연수로 떨어진다.

기준이 되는 각 둘 — 반의반 바퀴 $90°$ 가 직각, 반 바퀴 $180°$ 가 평각(곧은 직선)이다. 나머지는 이 기준과의 비교로 분류한다:

예각(90° 미만), 직각, 둔각(90° 초과 180° 미만), 평각.

첫 번째 정리: 맞꼭지각

두 직선이 한 점에서 만나면 각이 넷 생긴다. 마주 보는 두 각을 맞꼭지각이라 하는데, 재 보면 늘 같다. 우연이 아니라 증명되는 사실이다.

마주 보는 각 a끼리, b끼리 항상 같다.

이웃한 각 $a$ 와 $b$ 는 함께 직선 하나를 채우므로 $a + b = 180°$ . 반대쪽의 각 $a'$ 도 같은 $b$ 와 함께 직선을 채우므로 $a' + b = 180°$ . 두 등식에서

a = 180° - b = a'.

같은 것( $180° - b$ )과 각각 같으니 서로 같다 — 재지 않고도 모든 경우에 성립함을 아는 것, 이것이 정리와 측정의 차이다.

삼각형 내각의 합은 180°

종이 삼각형의 세 모서리를 찢어 한 점에 이어 붙이면, 어떤 삼각형이든 세 각이 정확히 평각을 채운다:

세 각 a, b, c를 이어 붙이면 평각 — a + b + c = 180°.

a + b + c = 180°.

찢어 붙이기는 강력한 실험이지만 완전한 증명은 아니다 — 세상의 모든 삼각형을 찢어 볼 수는 없기 때문이다(성립은 모든 경우, 라는 원칙을 기억하자). 모든 삼각형에 대해 단번에 통하는 증명은 평행선의 성질이 필요해서 Geometry 과정의 첫 하이라이트가 된다. 지금은 이 사실을 믿고 쓰되, 빚이 하나 있다는 것만 기억해 두자.

예제 1 · 빠진 각 찾기

(1) 두 각이 $55°$ , $60°$ 인 삼각형의 나머지 한 각 (2) 직각삼각형의 한 예각이 $37°$ 일 때 다른 예각

풀이. (1) $180 - 55 - 60 = 65°$ .

(2) 직각이 $90°$ 를 차지하므로 두 예각의 합은 $90°$ : $90 - 37 = 53°$ .

검산: (1) $55 + 60 + 65 = 180$ ✓. (2) $90 + 37 + 53 = 180$ ✓.

삼각형의 분류

변으로 나누면 — 세 변이 모두 같은 정삼각형, 두 변이 같은 이등변삼각형, 모두 다른 부등변삼각형. 각으로 나누면 — 세 각이 모두 예각인 예각삼각형, 직각 하나를 품은 직각삼각형, 둔각 하나를 품은 둔각삼각형. (둔각이 둘일 수는 없다 — 둘만 더해도 $180°$ 를 넘어 버리니까. 내각합 정리가 벌써 일한다.)

이등변삼각형에는 보태지는 성질이 하나 있다: 같은 두 변이 마주 보는 두 밑각이 서로 같다(증명은 합동을 배우는 Geometry에서). 내각합과 엮으면 각 하나로 나머지가 다 풀린다.

예제 2 · 이등변삼각형의 각

꼭지각이 $40°$ 인 이등변삼각형의 밑각을 구하여라.

풀이. 두 밑각은 같으므로 각각 $x$ 라 하면

40 + x + x = 180 \implies 2x = 140 \implies x = 70°.

검산: $40 + 70 + 70 = 180$ ✓ — 방정식 차시의 도구가 도형에서 일하는 첫 장면이다.

세 변이 삼각형을 이룰 조건

길이 $3$ , $4$ , $8$ 인 막대 셋으로 삼각형을 만들 수 있을까. 긴 막대 $8$ 을 바닥에 놓으면, 남은 둘을 활짝 펴도 $3 + 4 = 7$ — 끝이 닿지 않는다:

3과 4를 아무리 펴도 8을 건너지 못한다.

삼각형이 되려면 어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 커야 한다(삼각형 부등식). 실전 요령: 가장 긴 변 하나만 검사하면 된다 — 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 큰가? $3 + 4 = 7 < 8$ 이므로 불가. 근거는 단순하다: 두 점을 잇는 가장 짧은 길이 직선(변 $8$ )인데, 꺾어 가는 길( $3 + 4$ )이 그보다 짧다면 모순이다.

Goals

Measure angles in degrees and classify them as acute, right, obtuse, or straight.
Prove that vertical angles are equal, using two straight angles.
Know that a triangle's interior angles sum to $180°$ , and compute missing angles.
Classify triangles by sides and by angles, and use the equal base angles of an isosceles triangle.
Test whether three lengths can form a triangle (the triangle inequality).

Angles: measuring an opening

Two rays from a common point make an opening — an angle. Its size is measured in degrees ( $°$ ), by the convention that a full turn is $360°$ . The number $360$ has its historical reasons, but its mathematical kindness is plain: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ has so many divisors that a half turn ( $180°$ ), a third ( $120°$ ), a quarter ( $90°$ ), and a sixth ( $60°$ ) all come out whole.

Two benchmark angles: a quarter turn, $90°$ , is a right angle; a half turn, $180°$ , is a straight angle (a straight line). Everything else is classified against them:

Acute (under 90°), right, obtuse (between 90° and 180°), straight.

A first theorem: vertical angles

Two lines crossing at a point make four angles. The two facing each other across the crossing are vertical angles, and measuring shows them always equal. That is no accident — it can be proved.

Facing angles match: the a's are equal, and so are the b's.

Adjacent angles $a$ and $b$ fill a straight line together, so $a + b = 180°$ . The angle $a'$ opposite $a$ fills a straight line with the same $b$ , so $a' + b = 180°$ . From the two equations,

a = 180° - b = a'.

Each equals the same thing ( $180° - b$ ), so they equal each other — knowing it for all cases without measuring a single one. That is the difference between a theorem and a measurement.

A triangle's angles sum to 180°

Tear the three corners off a paper triangle and fit them together at a point: for any triangle, the three angles fill a straight angle exactly:

The angles a, b, c reassemble into a straight angle — a + b + c = 180°.

a + b + c = 180°.

The tearing is a compelling experiment but not a complete proof — no one can tear every triangle in the world (remember the principle: a claim holds only if it holds in all cases). The one-stroke proof for all triangles needs the properties of parallel lines, and it becomes an early highlight of the Geometry course. For now we use the fact freely, remembering that one debt is outstanding.

Example 1 · Missing angles

(1) The third angle of a triangle whose other angles are $55°$ and $60°$ (2) The other acute angle of a right triangle with one acute angle of $37°$

Solution. (1) $180 - 55 - 60 = 65°$ .

(2) The right angle spends $90°$ , so the two acute angles share $90°$ : $90 - 37 = 53°$ .

Check: (1) $55 + 60 + 65 = 180$ ✓. (2) $90 + 37 + 53 = 180$ ✓.

Classifying triangles

By sides — all three equal: equilateral; exactly two equal: isosceles; all different: scalene. By angles — all acute: acute triangle; one right angle: right triangle; one obtuse angle: obtuse triangle. (Two obtuse angles are impossible — those two alone would exceed $180°$ . The angle-sum theorem is already on duty.)

Isosceles triangles carry one bonus property: the two base angles opposite the equal sides are equal (proved via congruence, in Geometry). Combined with the angle sum, one angle unlocks all the rest.

Example 2 · Angles of an isosceles triangle

An isosceles triangle has apex angle $40°$ . Find each base angle.

Solution. The base angles are equal — call each $x$ :

40 + x + x = 180 \implies 2x = 140 \implies x = 70°.

Check: $40 + 70 + 70 = 180$ ✓ — the equations lesson's tools, at work on a shape for the first time.

When can three sides make a triangle?

Can rods of lengths $3$ , $4$ , and $8$ form a triangle? Lay the long rod down; even spread wide, the other two reach only $3 + 4 = 7$ — the ends never meet:

However wide 3 and 4 swing, they cannot bridge 8.

For a triangle, every two sides must sum to more than the third (the triangle inequality). Practical shortcut: only the longest side needs checking — do the two shorter sides outsum the longest? Here $3 + 4 = 7 < 8$ : impossible. The reason is bedrock: the shortest route between two points is the straight one (the side of length $8$ ), so a bent route ( $3 + 4$ ) being shorter would be absurd.