분수의 뜻과 약분Fractions & Simplest Form

전체(일주일 = 7일)를 똑같은 7조각으로 보고 그중 3조각이므로 $\frac37$이다. 위의 $3$이 분자, 아래의 $7$이 분모다.

The whole (a week = 7 days) is 7 equal parts, and we're talking about 3 of them: $\frac37$. The top number $3$ is the numerator; the bottom number $7$ is the denominator.

(a) 분자가 $3 \to 9$로 $3$배가 됐으므로 분모도 $3$배: $4 \times 3 = 12$.

(b) 분모가 $5 \to 20$으로 $4$배가 됐으므로 분자도 $4$배: $2 \times 4 = 8$.

검산: $\frac{9}{12}$를 $3$으로 약분하면 $\frac34$ ✓, $\frac{8}{20}$을 $4$로 약분하면 $\frac25$ ✓.

(a) The numerator was tripled ($3 \to 9$), so triple the denominator too: $4 \times 3 = 12$.

(b) The denominator was multiplied by 4 ($5 \to 20$), so multiply the numerator by 4: $2 \times 4 = 8$.

Check: reducing $\frac{9}{12}$ by $3$ gives $\frac34$ ✓, and reducing $\frac{8}{20}$ by $4$ gives $\frac25$ ✓.

$18$과 $24$의 최대공약수는 $6$이다:

$3$과 $4$의 공약수는 $1$뿐이므로 기약분수다.

검산: $3 \times 6 = 18$, $4 \times 6 = 24$ ✓.

The greatest common factor of $18$ and $24$ is $6$:

The only common factor of $3$ and $4$ is $1$, so this is simplest form.

Check: $3 \times 6 = 18$ and $4 \times 6 = 24$ ✓.

(a) $17 = 3 \times 5 + 2$이므로 $\frac{17}{5} = 3\tfrac25$.

(b) $2 = \frac{16}{8}$이므로 $2\tfrac38 = \frac{16 + 3}{8} = \frac{19}{8}$.

검산: (a) $3 \times 5 + 2 = 17$ ✓. (b) $19 = 2 \times 8 + 3$ ✓.

(a) $17 = 3 \times 5 + 2$, so $\frac{17}{5} = 3\tfrac25$.

(b) $2 = \frac{16}{8}$, so $2\tfrac38 = \frac{16 + 3}{8} = \frac{19}{8}$.

Check: (a) $3 \times 5 + 2 = 17$ ✓. (b) $19 = 2 \times 8 + 3$ ✓.

분자·분모의 공약수가 $1$뿐인지 확인한다.

• $\frac69$: 둘 다 $3$의 배수 → $\frac23$
• $\frac{5}{12}$: $5$의 약수는 $1, 5$인데 $12$는 $5$의 배수가 아니다 → 기약
• $\frac{8}{14}$: 둘 다 짝수 → $\frac47$
• $\frac{7}{21}$: $21 = 7 \times 3$ → $\frac13$

검산: 고친 셋이 더는 약분되지 않는지 확인 — $(2,3)$, $(4,7)$, $(1,3)$ 모두 공약수 $1$뿐 ✓.

Check whether the top and bottom share any factor besides $1$.

• $\frac69$: both are multiples of $3$ → $\frac23$
• $\frac{5}{12}$: the factors of $5$ are $1$ and $5$, and $12$ isn't a multiple of $5$ → simplest form
• $\frac{8}{14}$: both even → $\frac47$
• $\frac{7}{21}$: $21 = 7 \times 3$ → $\frac13$

Check: none of the three reduced results can be reduced further — the pairs $(2,3)$, $(4,7)$, $(1,3)$ share only the factor $1$ ✓.

큰 수는 단계별 약분이 마음 편하다. 둘 다 짝수이므로 $2$로: $\frac{42}{63}$. 둘 다 $21$의 배수($42 = 21 \times 2$, $63 = 21 \times 3$)이므로 $21$로:

(한 번에 가려면 최대공약수 $42$로 나누면 된다.)

검산: $2 \times 42 = 84$, $3 \times 42 = 126$ ✓.

With big numbers, reducing in stages is the comfortable road. Both are even, so divide by $2$: $\frac{42}{63}$. Both are multiples of $21$ ($42 = 21 \times 2$, $63 = 21 \times 3$), so divide by $21$:

(The one-step version: divide by the greatest common factor, $42$.)

Check: $2 \times 42 = 84$ and $3 \times 42 = 126$ ✓.

(a) 같은 분모 — 같은 크기 조각이 7개 대 11개이므로 $\frac{7}{12} < \frac{11}{12}$.

(b) 같은 분자 — 같은 5조각이면 6등분 조각이 9등분 조각보다 크므로 $\frac56 > \frac59$.

(c) $\frac12$ 잣대 — 8조각의 절반은 4조각인데 3조각뿐이므로 $\frac38 < \frac12$.

(a) Same denominator — same-size pieces, 7 versus 11 of them, so $\frac{7}{12} < \frac{11}{12}$.

(b) Same numerator — five pieces each, and sixths are bigger pieces than ninths, so $\frac56 > \frac59$.

(c) Benchmark $\frac12$ — half of 8 pieces is 4 pieces, and we only have 3, so $\frac38 < \frac12$.

$13 = 3 \times 4 + 1$이므로 $\frac{13}{4} = 3\tfrac14$ — $3$을 지나 $\frac14$만큼 더 간 자리다. 따라서 $3$과 $4$ 사이에 있다.

검산: $3 = \frac{12}{4}$, $4 = \frac{16}{4}$이고 $12 < 13 < 16$ ✓.

Since $13 = 3 \times 4 + 1$, we have $\frac{13}{4} = 3\tfrac14$ — the spot $\frac14$ past $3$. So it lies between $3$ and $4$.

Check: $3 = \frac{12}{4}$ and $4 = \frac{16}{4}$, and $12 < 13 < 16$ ✓.

분모가 $12$인 진분수는 $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \ldots, \frac{11}{12}$의 11개다. 이 중 분자가 $12$와 공약수($1$ 제외)를 가지면 약분이 된다. $12 = 2 \times 2 \times 3$이므로,

• 짝수 분자는 탈락: $2, 4, 6, 8, 10$
• $3$의 배수 분자도 탈락: $3, 9$ ($6$은 이미 위에서 탈락)

남는 분자는 $1, 5, 7, 11$의 $4$개다.

검산: 넷 다 $12$와 공약수가 $1$뿐인지 확인 — $1$은 당연, $5$·$7$·$11$은 $12$의 약수($2, 3, 4, 6$)로 나누어지지 않는다 ✓.

The proper fractions with denominator $12$ are $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \ldots, \frac{11}{12}$ — eleven of them. One reduces exactly when its numerator shares a factor (beyond $1$) with $12$. Since $12 = 2 \times 2 \times 3$:

• even numerators are out: $2, 4, 6, 8, 10$
• multiples of $3$ are out: $3, 9$ (the $6$ was already eliminated)

That leaves the numerators $1, 5, 7, 11$ — four fractions.

Check that all four really are in simplest form: $1$ trivially, and none of $5$, $7$, $11$ is divisible by any factor of $12$ ($2, 3, 4, 6$) ✓.

피자 세 판을 각각 4등분한다. 그러면 $\frac14$판짜리 조각이 모두 $3 \times 4 = 12$개 생긴다. 각 판에서 한 조각씩, 한 사람이 세 조각을 가져가면 네 사람이 똑같이 나눠 갖게 되고, 남는 조각도 없다($12 = 4 \times 3$).

한 사람의 몫은 $\frac14$판짜리 조각 3개, 즉 $\frac34$판이다.

이 그림이 말해 주는 것: "3을 4로 나눈 몫"이 바로 분수 $\frac34$이다. 나눗셈 $3 \div 4$는 자연수 범위에서는 답이 없었지만, 분수가 그 답의 자리를 채운다.

채점 기준. ① 각 판을 4등분한다는(또는 그와 동등한) 실제 나누는 방법 제시. ② 한 사람 몫이 $\frac14$짜리 3조각 = $\frac34$판임을 밝히면 만점. 세 판을 이어 붙여 12조각으로 보는 방법, 반 판씩 나누고 남은 한 판을 4등분하는 방법($\frac12 + \frac14$ — 합이 $\frac34$임을 다음 차시 덧셈으로 확인하게 된다) 등 논리가 맞는 다른 나누기도 만점.

Cut each of the three pizzas into 4 equal slices. That produces $3 \times 4 = 12$ slices of size $\frac14$ pizza. Let each person take one slice from each pizza — three slices per person. All four people get the same amount, and no slice is left over ($12 = 4 \times 3$).

Each person's share is 3 slices of size $\frac14$, that is, $\frac34$ of a pizza.

What the picture is really saying: the fraction $\frac34$ is the answer to the division $3 \div 4$. Within the counting numbers, $3 \div 4$ had no answer; fractions exist to fill exactly that gap.

Grading guide. ① A concrete dividing method (each pizza into quarters, or equivalent). ② Concluding each share is 3 slices of $\frac14$, i.e. $\frac34$ pizza: full credit. Other sound methods also earn full credit — e.g. lining up the three pizzas and making 12 slices, or giving everyone half a pizza and quartering the last one ($\frac12 + \frac14$; that this sums to $\frac34$ gets confirmed with next lesson's addition).

$\frac23$은 기약분수이므로, 크기가 같은 분수는 분자·분모에 같은 수 $k$를 곱한 $\frac{2k}{3k}$ 꼴이 전부다. 분자와 분모의 합은

이므로 $k = 8$. 구하는 분수는 $\frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$이다.

검산: $\frac{16}{24}$을 $8$로 약분하면 $\frac23$ ✓, 합은 $16 + 24 = 40$ ✓.

Since $\frac23$ is in simplest form, its equivalents are exactly the fractions $\frac{2k}{3k}$ — top and bottom scaled by the same $k$. The top-plus-bottom sum is

so $k = 8$, and the fraction is $\frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$.

Check: reducing $\frac{16}{24}$ by $8$ gives $\frac23$ ✓, and $16 + 24 = 40$ ✓.

세 분수를 모두 $16$등분 눈금으로 옮긴다:

분모가 같아졌으니 분자만 비교하면 된다. $6 < \square < 8$인 자연수는 $7$뿐이므로, 조건을 만족하는 분수는 $\frac{7}{16}$ 하나다.

검산: $\frac{6}{16} < \frac{7}{16} < \frac{8}{16}$ — 같은 분모 비교로 명백 ✓.

$\frac38$과 $\frac12$ 사이인데 그 사이의 "8등분 눈금"은 없다. 눈금을 두 배로 곱게 만들었더니($16$등분) 숨어 있던 자리가 드러난 것 — 크기가 같은 분수 만들기가 "확대경" 노릇을 한 셈이다.

Move all three fractions onto the sixteenths grid:

With a common denominator, only the numerators matter. The only whole number with $6 < \square < 8$ is $7$, so the answer is $\frac{7}{16}$ alone.

Check: $\frac{6}{16} < \frac{7}{16} < \frac{8}{16}$ — clear by the same-denominator rule ✓.

Notice there was no eighth-grid tick strictly between $\frac38$ and $\frac12$; doubling the fineness of the grid (sixteenths) revealed a hidden spot. Equivalent fractions acted as a magnifying glass.

$\frac23$은 기약분수이므로 크기가 같은 분수는 $\frac{2k}{3k}$ ($k = 1, 2, 3, \ldots$) 꼴이 전부다 — 어떤 분수든 끝까지 약분하면 단 하나의 기약분수에 닿고, 그 기약분수가 $\frac23$이려면 원래 분수는 $\frac23$의 위아래를 같은 수로 부풀린 것이어야 하기 때문이다.

조건은 분모가 $100$ 이하:

$k$는 자연수이므로 $k = 1, 2, \ldots, 33$ — 모두 $33$개다.

검산: 경계 확인 — $k = 33$이면 $\frac{66}{99}$로 분모 $99 \leq 100$ ✓, $k = 34$면 $\frac{68}{102}$로 분모가 $100$을 넘는다 ✓.

Since $\frac23$ is in simplest form, its equivalents are exactly the fractions $\frac{2k}{3k}$ for $k = 1, 2, 3, \ldots$ — every fraction fully reduces to a single simplest form, and for that destination to be $\frac23$, the original must be $\frac23$ scaled top and bottom by the same $k$.

The constraint is a denominator of at most $100$:

Since $k$ is a counting number, $k = 1, 2, \ldots, 33$ — that's $33$ fractions.

Check the boundary: $k = 33$ gives $\frac{66}{99}$, denominator $99 \leq 100$ ✓; $k = 34$ gives $\frac{68}{102}$, denominator over $100$ ✓.