유리식의 연산Rational Expressions

제외 조건은 원래 분모 기준 — $x \ne -2$뿐 아니라 약분으로 사라진 $x \ne -3$도 남는다.

Exclusions come from the original denominator — not only $x \ne -2$ but also the cancelled $x \ne -3$.

인수분해 → 대각 약분 — 곱셈은 통분이 필요 없어 사칙 중 가장 순하다.

Factor, cancel across — multiplication needs no common denominator, gentlest of the four.

역수를 곱한다:

나눗셈의 유일한 새 동작은 "뒤집기" — 그다음은 곱셈의 세계다.

Multiply by the reciprocal:

Division's only new move is the flip — after that it is multiplication's world.

LCD $(x-1)(x+2)$로 통분:

검산 — $x = 2$: 좌변 $2 + \frac34 = \frac{11}4$, 우변 $\frac{11}{4}$ ✓.

Over the LCD $(x-1)(x+2)$:

Check at $x = 2$: left $2 + \frac34 = \frac{11}4$, right $\frac{11}{4}$ ✓.

두 분모를 인수분해해 LCD를 찾아라.

Factor both denominators to find the LCD.

분모 인수분해: $x(x - 1)$과 $(x-1)(x+1)$ — LCD는 $x(x-1)(x+1)$:

검산 — $x = 2$: $\frac12 + \frac13 = \frac56$, 우변 $\frac{5}{6}$ ✓. LCD는 "각 인수를 최고 지수만큼" — 공통 인수 $(x-1)$을 두 번 넣지 않는 것이 요점이다.

Factored denominators: $x(x - 1)$ and $(x-1)(x+1)$ — LCD $x(x-1)(x+1)$:

Check at $x = 2$: $\frac12 + \frac13 = \frac56$ ✓. The LCD takes "each factor at its highest power" — the shared $(x-1)$ enters once, not twice.

LCD $(x-2)(x+2)$:

빼는 분자 $(x + 1)$ 전체에 괄호 — $-x - 1$로 분배되는 것을 놓치면 $\frac{2x+7}{\cdots}$라는 오답이 나온다. 검산 $x = 3$: $3 - \frac45 = \frac{11}5$, 우변 $\frac{11}{5}$ ✓.

Over the LCD $(x-2)(x+2)$:

Parenthesize the whole subtracted numerator — miss the distribution to $-x - 1$ and the wrong $\frac{2x+7}{\cdots}$ appears. Check at $x = 3$: $3 - \frac45 = \frac{11}5$ ✓.

안쪽 분모들의 LCD $x^2$을 위아래에 곱한다:

한 번의 일괄 곱 → 인수분해 → 약분. 검산 $x = 4$: 원식 $\frac{3/2}{3/4} = 2$, 결과 $\frac{4}{2} = 2$ ✓.

Multiply top and bottom by the inner LCD $x^2$:

One bulk multiplication → factor → cancel. Check at $x = 4$: original $\frac{3/2}{3/4} = 2$, result $\frac{4}{2} = 2$ ✓.

반례 하나로 무너진다 — $x = 1$이면 원식은 $\dfrac34$인데 $\dfrac23$이 아니다.

이유: 약분은 분수의 성질 $\dfrac{ka}{kb} = \dfrac ab$ — 분자·분모에 곱해진 공통 인수를 지우는 조작이다. $x + 2$의 $x$는 곱해진 인수가 아니라 더해진 항이다: $x + 2 = x \cdot(\text{무엇})$ 꼴이 아니므로 지울 자격이 없다.

같은 이유로 $\dfrac{x^2 + 4}{x + 2}$에서 $x^2 + 4$를 "$(x+2)$로 나눠지겠지"라고 넘겨짚어도 안 된다 — 인수인지는 인수분해(또는 인수정리 $f(-2) = 8 \ne 0$)가 판정한다. 지우기 전에, 곱인지 확인 — 이 한 문장이 유리식 전체의 안전 수칙이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 수치 반례 (1점)
• 약분 = 곱 인수 소거라는 근거 (1점)
• 항과 인수의 구별 (1점)

One counterexample collapses it — at $x = 1$ the original is $\dfrac34$, not $\dfrac23$.

The reason: cancellation is the fraction law $\dfrac{ka}{kb} = \dfrac ab$ — deleting a common multiplied factor. The $x$ in $x + 2$ is an added term, not a factor: $x + 2$ is not of the form $x \cdot(\text{something})$, so it has no cancelling rights.

For the same reason, one may not presume $(x+2)$ divides $x^2 + 4$ in $\dfrac{x^2+4}{x+2}$ — factorship is decided by factoring (or the factor theorem: $f(-2) = 8 \ne 0$). Before deleting, confirm it multiplies — the one-sentence safety rule of all rational expressions.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• A numeric counterexample (1 pt)
• Cancellation = removal of multiplied factors (1 pt)
• The term-versus-factor distinction (1 pt)

(1) 우변 통분: $\dfrac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x(x+1)}$ ✓.

(2) 각 항을 쪼개면 이웃끼리 지워진다:

가운데가 전부 상쇄되고 양 끝만 남는 망원경 합 — 유리식의 "거꾸로 통분"(부분분수)이 수열의 합을 여는 열쇠가 되는 첫 장면이고, 수열 단원에서 정식 무기가 된다.

(1) Combine the right side: $\dfrac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x(x+1)}$ ✓.

(2) Split each term and neighbors annihilate:

Everything between the ends cancels — a telescoping sum. Reverse-combining (partial fractions) unlocking a series: the first scene of a move that becomes standard weaponry in the sequences unit.

괄호부터:

나눗셈은 역수 곱:

검산 — $x = 2$: 괄호 $2 - 1 = 1$, $\div \frac13$은 $\times 3$ — $3 = 2 + 1$ ✓. 복잡해 보이는 결합식도 "괄호 → 뒤집기 → 약분"의 세 걸음이면 풀린다.

The bracket first:

Division becomes reciprocal multiplication:

Check at $x = 2$: bracket $= 1$, $\div \frac13$ is $\times 3$ — and $3 = 2 + 1$ ✓. However tangled the combination, three beats untangle it: bracket → flip → cancel.

양변에 $(x-1)(x+2)$를 곱한 뒤, 분모를 $0$으로 만들던 값들을 대입하라.

Clear the denominators, then substitute the values that used to zero them.

분모를 소거하면 항등식

$x = 1$ 대입: $6 = 3a \Rightarrow a = 2$. $x = -2$ 대입: $-9 = -3b \Rightarrow b = 3$.

통분의 역방향(부분분수 분해)이다 — 각 근을 대입하면 상대 항이 사라지는 구조가 나머지정리의 "제수의 근 대입"과 같은 혈통이다. 유리함수의 그래프 분석과 수열의 망원경 합이 모두 이 분해를 쓴다.

Clearing denominators leaves the identity

At $x = 1$: $6 = 3a \Rightarrow a = 2$. At $x = -2$: $-9 = -3b \Rightarrow b = 3$.

Combining run in reverse (partial fraction decomposition) — each root's substitution silencing the other term is the same bloodline as the remainder theorem's "plug in the divisor's zero." Rational graph analysis and telescoping sums both run on this decomposition.

안에서 밖으로 세 층을 편다:

계수를 순서대로 보면 $1, 1$ → $2, 1$ → $3, 2$ — 피보나치 수열($1, 1, 2, 3, 5, \dots$)이 연분수의 층마다 자라난다. 층을 하나 더 얹으면 $\frac{5x + 3}{3x + 2}$ — 이 사다리가 무한히 이어질 때 도달하는 값(황금비)의 이야기는 수열 단원의 손님으로 남겨 둔다.

Unfold three layers, inside out:

Read the coefficients in order: $1, 1$ → $2, 1$ → $3, 2$ — the Fibonacci numbers ($1, 1, 2, 3, 5, \dots$) growing one rung per layer. One more layer gives $\frac{5x + 3}{3x + 2}$ — where this infinite ladder converges (the golden ratio) is left as a guest appearance for the sequences unit.

제곱과 세제곱을 조립한다:

$x$를 구하지 않았다 — 실제로 $x = \frac{3 \pm \sqrt5}{2}$라는 무리수인데, 대칭식 조립이 그 수고를 통째로 건너뛴다. $x$와 $\frac1x$는 "합 $3$, 곱 $1$"인 두 근($t^2 - 3t + 1 = 0$) — 근과 계수의 관계 단원과 같은 문제의 다른 옷이다.

Assemble from the square and cube:

$x$ was never found — it is in fact the irrational $\frac{3 \pm \sqrt5}{2}$, and symmetric assembly skips that labor entirely. Note $x$ and $\frac1x$ are the two roots of $t^2 - 3t + 1 = 0$ ("sum $3$, product $1$") — the Vieta lesson's problem in different clothes.