이차함수 다시 보기Quadratics Revisited

인수분해꼴에서 절편 $1$, $5$가 바로 보이고, 축은 그 평균 $x = 3$. 꼭짓점의 $y$: $2(2)(-2) = -8$. $y$절편: $x = 0$ 대입, $2(-1)(-5) = 10$.

옷 하나에서 네 정보가 다 나왔다 — 인수분해꼴은 절편이 공짜, 나머지는 한 걸음씩이다.

Factored form shows the intercepts $1$, $5$ at sight; the axis is their average $x = 3$. Vertex height: $2(2)(-2) = -8$. The $y$-intercept: substitute $x = 0$, $2(-1)(-5) = 10$.

Four facts from one outfit — factored form gives intercepts free, the rest one step each.

검산 — $y$절편: $16 - 6 = 10$ ✓.

Check via the $y$-intercept: $16 - 6 = 10$ ✓.

검산 — $x = 3$: 꼭짓점꼴로 $1$, 일반형으로 $18 - 36 + 19 = 1$ ✓.

Check at $x = 3$: vertex form gives $1$; general form gives $18 - 36 + 19 = 1$ ✓.

인수분해: $(x - 5)(x + 3)$ — 절편 $5$, $-3$. 축은 평균

꼭짓점의 $y$는 $f(1) = 1 - 2 - 15 = -16$: $(1, -16)$.

검산 — 완전제곱: $(x-1)^2 - 16$ ✓. 대칭이 준 지름길 — 절편이 보이면 완전제곱보다 빠르다.

Factor: $(x - 5)(x + 3)$ — intercepts $5$ and $-3$. The axis is their average

and the vertex height is $f(1) = 1 - 2 - 15 = -16$: $(1, -16)$.

Check by completing the square: $(x-1)^2 - 16$ ✓. Symmetry's shortcut — faster than completing the square whenever the intercepts show.

꼭짓점꼴 $y = a(x - 2)^2 + 3$에 $(0, 7)$을 넣는다:

주어진 정보가 꼭짓점이면 옷도 꼭짓점꼴로 — 남는 미지수가 $a$ 하나뿐이라 점 하나로 끝난다. 정보의 종류가 형태를 고른다.

Into $y = a(x - 2)^2 + 3$ substitute $(0, 7)$:

Given a vertex, dress in vertex form — only $a$ remains unknown, so one point finishes it. The kind of information picks the form.

절편 정보 — 인수분해꼴 $y = a(x + 2)(x - 4)$. $x = 0$에서

검산: $y$절편 $2 \cdot 2 \cdot (-4) = -16$ ✓. 같은 절편의 포물선은 $a$마다 하나씩 무한히 많다 — $y$절편 하나가 그중 하나를 골라낸 것이다.

Intercept data — factored form $y = a(x + 2)(x - 4)$. At $x = 0$,

Check: $y$-intercept $2 \cdot 2 \cdot (-4) = -16$ ✓. Infinitely many parabolas share those intercepts — one per $a$ — and the $y$-intercept picked ours out.

$a = -2 < 0$ — 위로 볼록하므로 꼭짓점 $(2, 9)$가 최댓값 $9$다.

검산: $f(2) = -8 + 16 + 1 = 9$ ✓. (축 공식 $x = -\frac{b}{2a} = \frac{-8}{-4} = 2$로 가도 같다.)

With $a = -2 < 0$ — opening downward — the vertex $(2, 9)$ is the maximum, $9$.

Check: $f(2) = -8 + 16 + 1 = 9$ ✓. (The axis formula $x = -\frac{b}{2a} = \frac{-8}{-4} = 2$ agrees.)

벽과 수직인 변을 $x$라 하면 평행한 변은 $40 - 2x$:

$x = 10$에서 최대 $200\,\text{m}^2$, 치수는 $10 \times 20$.

검산: $10 + 10 + 20 = 40$ ✓. 벽과 평행한 변이 수직 변의 두 배 — 공짜 벽이 있는 최적 울타리의 서명이다.

With $x$ the side perpendicular to the wall, the parallel side is $40 - 2x$:

Maximum $200\,\text{m}^2$ at $x = 10$; dimensions $10 \times 20$.

Check: $10 + 10 + 20 = 40$ ✓. The wall-parallel side is twice the perpendicular one — the signature of optimal fencing with one free wall.

후보는 꼭짓점과 양 끝점 — 셋뿐이다.

The candidates are the vertex and the two endpoints — three in all.

꼭짓점: $(2, -3)$ — 구간 $[0, 5]$ 안이므로 최솟값 후보로 유효하다. 끝점: $f(0) = 1$, $f(5) = 6$.

세 후보 $-3$, $1$, $6$ 중에서 최솟값 $-3$, 최댓값 $6$.

구간이 $[3, 5]$였다면 꼭짓점이 밖으로 나가고, 최솟값도 끝점 $f(3) = -2$가 됐을 것이다 — 구간 최적화는 언제나 "꼭짓점이 안에 있는가"의 확인에서 시작한다.

Vertex: $(2, -3)$ — inside $[0, 5]$, so it stands as the minimum candidate. Endpoints: $f(0) = 1$, $f(5) = 6$.

Among the candidates $-3$, $1$, $6$: minimum $-3$, maximum $6$.

On $[3, 5]$ the vertex would fall outside, and the minimum would shift to the endpoint $f(3) = -2$ — interval optimization always opens with "is the vertex inside?"

한 수를 $x$라 하면 곱은

— $x = 10$에서 최대 $100$. 두 수가 같을 때다.

두 수를 직사각형의 두 변으로 읽으면, 이것은 "둘레가 일정한($2 \times 20$) 직사각형 중 넓이 최대는 정사각형"이라는 기하 사실 그 자체다 — 넓이 단원에서 그림으로 만났던 결론이 완전제곱의 대수로 다시 증명된 셈이다. $-(x-10)^2$이 음수가 되는 즉시 손해라는 구조가 "정사각형에서 벗어나는 만큼 좁아진다"를 정확히 말해 준다.

With one number $x$, the product is

— maximum $100$ at $x = 10$: when the numbers are equal.

Read the two numbers as a rectangle's sides, and this is precisely "among rectangles of fixed perimeter ($2 \times 20$), the square has the greatest area" — the conclusion once seen by picture in the area unit, reproved here by completing the square. The structure — any nonzero $-(x-10)^2$ is pure loss — says exactly "the further from square, the thinner."

$(0, 5)$에서 $c = 5$. 나머지 두 점으로 연립:

빼면 $a = 1$, $b = -4$:

검산 — $(2, 1)$: $4 - 8 + 5 = 1$ ✓. 절편도 꼭짓점도 아닌 "그냥 세 점"이면 일반형 $+$ 연립이 표준 경로다 — 점 세 개가 미지수 세 개($a, b, c$)를 정확히 결정한다.

From $(0, 5)$: $c = 5$. The other two points give the system

Subtracting: $a = 1$, $b = -4$:

Check at $(2, 1)$: $4 - 8 + 5 = 1$ ✓. Three "plain" points — neither intercepts nor vertex — call for general form plus a system: three points pin down exactly three unknowns.

(1) 완전제곱: $h(t) = -5(t - 3)^2 + 45 + 35 = -5(t-3)^2 + 80$ — $t = 3$초에 최고 $80\,\text{m}$.

(2) $-5t^2 + 30t + 35 = 0$에서 $-5$로 나누면 $t^2 - 6t - 7 = 0$, 인수분해 $(t - 7)(t + 1) = 0$ — 시각은 양수이므로 $t = 7$초.

$t = -1$이라는 다른 근은 "던지기 전에도 이 포물선을 따랐다면 $1$초 전 지면에 있었다"는 수학적 허구다 — 상황 정의역($t \ge 0$)이 걸러 낸다. 최고점 $t = 3$이 두 근 $-1$, $7$의 평균인 것도 확인해 둘 것 ✓.

(1) Complete the square: $h(t) = -5(t - 3)^2 + 45 + 35 = -5(t-3)^2 + 80$ — peak $80\,\text{m}$ at $t = 3$.

(2) From $-5t^2 + 30t + 35 = 0$, divide by $-5$: $t^2 - 6t - 7 = 0$, factoring $(t - 7)(t + 1) = 0$ — time is positive, so $t = 7$.

The other root $t = -1$ is a mathematical fiction — "had the ball always followed this parabola, it left the ground a second before the throw" — filtered out by the situation's domain $t \ge 0$. And note the peak $t = 3$ is the average of the roots $-1$ and $7$ ✓.

꼭짓점의 좌표를 $k$로 나타낸 뒤, 두 좌표 사이의 관계에서 $k$를 지워라.

Express the vertex in terms of $k$, then eliminate $k$ from the relation between its coordinates.

완전제곱은 이미 되어 있다:

꼭짓점의 좌표를 $(X, Y)$라 하면 $X = k$, $Y = k - 3$ — $k$를 지우면

$k$가 실수 전체를 훑으므로 $X$도 전체를 훑는다: 꼭짓점의 자취는 직선 $y = x - 3$ 전체다.

검산: $k = 0$이면 꼭짓점 $(0, -3)$, $k = 5$면 $(5, 2)$ — 둘 다 $y = x - 3$ 위 ✓. 매개변수를 지워 자취를 얻는 이 수법은 좌표기하의 자취 문제와 같은 혈통이고, 원뿔곡선 단원에서 주력기로 자란다.

The square is already complete:

Writing the vertex as $(X, Y)$: $X = k$ and $Y = k - 3$ — eliminating $k$,

Since $k$ sweeps all reals, so does $X$: the locus is the entire line $y = x - 3$.

Check: $k = 0$ gives vertex $(0, -3)$; $k = 5$ gives $(5, 2)$ — both on $y = x - 3$ ✓. Eliminating a parameter to expose a locus shares blood with coordinate geometry's locus problems, and grows into a main weapon in the conic sections unit.