복소수Complex Numbers

실수부끼리, 허수부끼리:

뺄셈에서 $-(-5i) = +5i$의 부호 처리가 유일한 함정이다.

Real with real, imaginary with imaginary:

The only trap is the sign in $-(-5i) = +5i$.

다항식 곱셈 그대로 — 마지막에 $i^2 = -1$ 한 번이 전부다.

Ordinary polynomial multiplication — one application of $i^2 = -1$ at the end.

지수를 $4$로 나눈 나머지가 값을 정한다($i, -1, -i, 1$의 주기):

큰 지수일수록 나머지 산술이 빛난다 — 계산이 아니라 시계 읽기다.

The exponent's remainder mod $4$ decides (the cycle $i, -1, -i, 1$):

The bigger the exponent, the brighter remainder arithmetic shines — not computation but clock-reading.

복소수의 상등 — 실수부끼리, 허수부끼리:

등식 하나가 실수 등식 두 개로 갈라진다 — 복소수 등식은 정보가 두 배라는 사실이 여러 곳에서 무기가 된다.

Equality of complex numbers — real parts match, imaginary parts match:

One equation splits into two real ones — that a complex equation carries double information becomes a weapon in many places.

분모의 켤레 $2 + i$를 위아래에 곱한다:

검산 — 곱으로 되돌리기: $(1 + i)(2 - i) = 2 - i + 2i - i^2 = 3 + i$ ✓. 나눗셈 검산은 언제나 곱셈이다.

Multiply top and bottom by the denominator's conjugate $2 + i$:

Check by multiplying back: $(1 + i)(2 - i) = 2 - i + 2i - i^2 = 3 + i$ ✓. Division always checks by multiplication.

$4^2 + 3^2 = 5^2$ — $3$-$4$-$5$가 복소수의 크기로 다시 나왔다. $|z|$는 점 $(4, -3)$까지의 거리라는 기하적 정체가 뒤 단원에서 밝혀진다.

$4^2 + 3^2 = 5^2$ — the $3$-$4$-$5$ returning as a modulus. That $|z|$ is the distance to the point $(4, -3)$ is unmasked in a later unit.

실수 $1$과 허수 $i$를 더한 수를 네 번 곱했더니 음의 실수가 나왔다 — 실수의 세계에서는 불가능한 결과($4$제곱은 음수가 될 수 없다)가 복소수에서는 평범하다. 거듭제곱을 반씩 쌓는 계산법도 함께 기억할 것.

A real plus an imaginary, multiplied by itself four times, lands on a negative real — impossible in the real world (fourth powers are never negative), routine among complex numbers. Note also the halving ladder for powers.

먼저 $i$를 꺼낸다:

한편 $\sqrt{36} = 6$ — 다르다. 규칙 $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$는 $a, b \ge 0$에서 증명된 규칙이고, 음수로 밀반입하면 $i^2 = -1$이 만든 부호가 누락된다.

정의된 범위 밖으로 규칙을 끌고 가지 않기 — 지수법칙·근호 규칙 전반에서 반복될 원칙의 첫 사례다.

Extract the $i$ first:

Yet $\sqrt{36} = 6$ — different. The rule $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$ was proved for $a, b \ge 0$; smuggling in negatives drops the sign that $i^2 = -1$ produces.

Never drag a rule beyond where it was proved — the first instance of a principle that recurs across exponent and radical laws.

(1) $x = \pm\sqrt{-16} = \pm 4i$. 검산: $(4i)^2 = -16$ ✓.

(2) 완전제곱으로:

검산: $(-1 + 2i)^2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) + (-2 + 4i) + 5 = 0$ ✓.

"해가 없다"던 이차방정식이 복소수의 나라에서는 언제나 해를 갖는다 — 두 해가 켤레 쌍($-1 \pm 2i$)으로 나오는 것이 우연이 아님을 다음 차시가 증명한다.

(1) $x = \pm\sqrt{-16} = \pm 4i$. Check: $(4i)^2 = -16$ ✓.

(2) Complete the square:

Check: $(-1 + 2i)^2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) + (-2 + 4i) + 5 = 0$ ✓.

Quadratics that "had no solution" always have solutions in the complex country — and that the two arrive as a conjugate pair ($-1 \pm 2i$) is no accident, as the next lesson proves.

합. $z + w = (a + c) + (b + d)i$이므로

곱. $zw = (ac - bd) + (ad + bc)i$이므로

한편

— 일치한다. $\blacksquare$

켤레는 "계산 후에 취해도, 취한 후에 계산해도 같다" — 이런 성질(연산 보존)이 켤레를 단순한 부호 뒤집기 이상으로 만든다. 다음 차시의 켤레근 정리("실계수 방정식의 허근은 켤레 쌍")가 정확히 이 두 등식 위에 선다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 합의 계산 (1점)
• 곱의 양쪽 전개와 비교 (1점)
• 성분 정리의 정확성 (1점)

Sum. Since $z + w = (a + c) + (b + d)i$,

Product. Since $zw = (ac - bd) + (ad + bc)i$,

Meanwhile

— they agree. $\blacksquare$

Conjugating after computing equals computing after conjugating — this operation-preserving character elevates the conjugate beyond a sign flip. The next lesson's conjugate root theorem ("nonreal roots of real-coefficient equations come in conjugate pairs") stands exactly on these two identities.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The sum computation (1 pt)
• Both expansions of the product, compared (1 pt)
• Componentwise accuracy (1 pt)

전개해서 실수부와 허수부를 각각 비교하라.

Expand, then match real and imaginary parts.

전개: $(a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\,i$. 상등으로

첫 식에서 $b = \pm a$. $b = -a$면 $2ab = -2a^2 < 0$이라 둘째 식과 모순 — $b = a$이고 $2a^2 = 1$에서 $a = \pm\dfrac{\sqrt2}{2}$:

검산: $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 (1+i)^2 = \frac12 \cdot 2i = i$ ✓.

$i$조차 제곱근을 복소수 안에서 갖는다 — 새 수를 만들 필요가 없다. 실수에서 복소수로 한 번 넓히고 나면 제곱근 때문에 다시 넓힐 일은 없다는 신호이고, 그 완결성의 정식 이름(대수학의 기본정리)을 다항함수 단원에서 만난다.

Expand: $(a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\,i$. Matching parts,

The first gives $b = \pm a$. If $b = -a$ then $2ab = -2a^2 < 0$, contradicting the second — so $b = a$ and $2a^2 = 1$ gives $a = \pm\dfrac{\sqrt2}{2}$:

Check: $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 (1+i)^2 = \frac12 \cdot 2i = i$ ✓.

Even $i$ has square roots within the complex numbers — no new number needed. One enlargement from real to complex, and square roots never force another; the official name of that completeness (the fundamental theorem of algebra) awaits in the polynomial unit.

연속한 네 항의 합이 언제나 $0$이다:

$100$항은 이런 네 묶음이 정확히 $25$개 — 합은

주기가 있는 합은 한 주기부터 잰다 — 주기 합이 $0$이면 전체는 나머지 항들만 남는다($101$항이라면 $i^{101} = i$가 답이 됐을 것이다).

Every four consecutive terms sum to zero:

The $100$ terms are exactly $25$ such blocks — total

For periodic sums, measure one period first — a zero period leaves only the leftover terms (with $101$ terms, the answer would have been $i^{101} = i$).

$(1+i)^2$부터 — 거듭제곱은 반씩 쌓는 게 빠르다.

Start from $(1+i)^2$ — powers stack fastest by halving.

$(1 + i)^2 = 2i$를 디딤돌로:

($i^5 = i^{4+1} = i$).

이항 전개로 열 제곱을 펴는 것보다 압도적으로 빠르다 — 제곱을 먼저 만들어 지수를 반으로 접는 전략과 $i$의 주기가 합작한 결과다. $(1+i)$의 거듭제곱이 $2i, -4, \dots$처럼 규칙적으로 도는 이유(크기 $\sqrt2$배씩, $45°$씩 회전)는 삼각함수 단원의 선물로 남겨 둔다.

With $(1 + i)^2 = 2i$ as the stepping stone:

(since $i^5 = i^{4+1} = i$).

Overwhelmingly faster than a ten-term binomial expansion — the fold-the-exponent-in-half strategy teaming with $i$'s period. Why powers of $(1+i)$ wheel so regularly ($2i, -4, \dots$: modulus growing by $\sqrt2$, turning $45°$ each step) is left as a gift for the trigonometry unit.