지수함수Exponential Functions

$y$절편이 $1$인 것($a^0 = 1$)은 모든 지수함수의 공통 서명이다.

The $y$-intercept $1$ (from $a^0 = 1$) is every exponential's shared signature.

지수는 모든 실수를 받고, 값은 항상 양수이며 $0$에 한없이 다가가되 닿지 않는다 — 왼쪽 끝에서 $x$축이 점근선이다.

"항상 양수"가 치역과 점근선을 동시에 설명한다.

Exponents accept all reals; values are always positive, approaching $0$ without touching — the $x$-axis is the asymptote at the left end.

"Always positive" explains range and asymptote in one stroke.

— 입력의 부호 반전, 곧 $y$축 반사다. $3^x$이 증가이므로 그 거울상은 감소한다.

$0 < a < 1$의 지수함수는 전부 이런 거울상이다 — 가족의 절반이 나머지 절반의 반사다.

— the input's sign flipped: a $y$-axis reflection. Since $3^x$ increases, its mirror decreases.

Every base-below-$1$ exponential is such a mirror — half the family reflecting the other half.

오른쪽 $1$, 위로 $3$ 이동 — 점근선 $y = 0$이 $y = 3$으로 이사한다. 치역은 점근선 위쪽 $(3, \infty)$.

$y$절편: $x = 0$에서 $2^{-1} + 3 = \dfrac72$.

지수함수 변환의 급소는 점근선의 새 위치 — 치역이 곧바로 따라온다.

Right $1$, up $3$ — the asymptote $y = 0$ relocates to $y = 3$. The range sits above it: $(3, \infty)$.

$y$-intercept: at $x = 0$, $2^{-1} + 3 = \dfrac72$.

The pressure point of exponential transformations is the asymptote's new address — the range follows immediately.

좌변은 가로 이동(오른쪽 $1$), 우변은 세로 신축($\frac12$배) — 같은 그래프의 두 해석이다.

거듭제곱 함수들의 환율이 "가로 신축 ↔ 세로 신축"이었다면, 지수함수는 "가로 이동 ↔ 세로 신축"이라는 다른 통화를 쓴다 — $a^{x+c} = a^c \cdot a^x$가 발행하는 환율이고, "한 걸음마다 같은 배율"이라는 정체성의 표현이다.

The left is a horizontal shift (right $1$), the right a vertical scaling ($\times\frac12$) — two readings of one graph.

Power functions traded horizontal stretches for vertical ones; exponentials trade in another currency — horizontal shifts for vertical stretches — issued by $a^{x+c} = a^c \cdot a^x$, and expressing the identity "each step multiplies by the same factor."

$27 = 3^3$으로 밑을 통일하면, 일대일 성질로 지수 비교:

검산: $3^{4-1} = 3^3 = 27$ ✓. "밑 통일 → 지수 비교"의 근거는 지수함수의 일대일 — 같은 출력은 같은 입력에서만 나온다.

Unify the base ($27 = 3^3$), then compare exponents by one-to-oneness:

Check: $3^{3} = 27$ ✓. The license for "unify and compare" is the exponential's one-to-oneness — equal outputs only from equal inputs.

$\dfrac18 = \left(\dfrac12\right)^3$으로 통일한다. 밑이 $\dfrac12 < 1$ — 감소 함수이므로 부등호가 뒤집힌다:

검산: $x = 4$에서 $\frac1{16} < \frac18$ ✓. 감소 함수에서 "값이 작다 $=$ 입력이 크다" — 반전을 잊는 것이 이 단원 최다 오답이다.

Unify: $\dfrac18 = \left(\dfrac12\right)^3$. The base $\dfrac12 < 1$ — a decreasing function, so the inequality flips:

Check: at $x = 4$, $\frac1{16} < \frac18$ ✓. For decreasing functions "smaller value $=$ larger input" — forgetting the flip is this unit's top wrong answer.

$4^x = (2^x)^2$ — $t = 2^x > 0$으로 치환하면

되돌리면 $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$, $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.

검산: $1 - 3 + 2 = 0$ ✓, $4 - 6 + 2 = 0$ ✓. 치환의 다섯 번째 출근 — 이번 동반 조건은 $t > 0$(지수함수는 항상 양수)이다.

Since $4^x = (2^x)^2$, substitute $t = 2^x > 0$:

Undo: $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Check: $1 - 3 + 2 = 0$ ✓, $4 - 6 + 2 = 0$ ✓. Substitution's fifth shift — this time escorted by $t > 0$ (exponentials are always positive).

그래프 두 개를 겹쳐 보라 — 볼록한 곡선과 직선은 몇 번 만날 수 있는가.

Overlay the two graphs — how often can a convex curve meet a line?

대입으로 확인: $2^0 = 1 = 0 + 1$ ✓, $2^1 = 2 = 1 + 1$ ✓ — 두 해를 찾았다.

더 없는 이유: $y = 2^x$은 아래로 볼록한 곡선(굽는 방향이 한결같다)이라 어떤 직선과도 많아야 두 번 만난다 — 세 번 만나려면 곡선이 방향을 두 번 바꿔야 하기 때문이다. 두 개를 찾았으니 전부다.

밑 통일이 불가능한 방정식(우변이 지수꼴이 아님)은 대수 절차 대신 그래프와 관찰이 답한다 — 볼록성의 정식 증명은 미적분의 몫이지만, 직선과의 교점이 최대 둘이라는 감각은 지금부터 쓸 수 있다.

By substitution: $2^0 = 1 = 0 + 1$ ✓ and $2^1 = 2 = 1 + 1$ ✓ — two solutions found.

Why no more: $y = 2^x$ is convex (it bends one way only), so it meets any line at most twice — a third meeting would force the curve to change bending direction twice. Two found; that is all.

When bases cannot be unified (the right side is no power), graphs and observation answer where algebra cannot — convexity's formal proof belongs to calculus, but the at-most-two-crossings instinct is usable now.

지수법칙 그대로다:

뜻: 입력의 덧셈이 출력의 곱셈이 된다 — 입력에 $1$을 더할 때마다 출력이 $2$배가 되고($f(x+1) = 2f(x)$), 입력의 등차가 출력의 등비가 된다. "매 단위 같은 배율"이라는 성장의 문법이 이 항등식 하나에 압축되어 있다.

첫 단원의 함수방정식 $f(x+y) = f(x) + f(y)$(덧셈을 덧셈으로 — 정비례)와 나란히 놓으면 구도가 보인다 — 지수함수는 그 곱셈 판이고, 거꾸로 곱셈을 덧셈으로 번역하는 함수(로그)가 다음 차시에 온다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 지수법칙 적용 (1점)
• $f(x+1) = 2f(x)$ 등 "등차 → 등비" 해석 (1점)
• 번역 관점의 서술 (1점)

The exponent law verbatim:

The meaning: addition of inputs becomes multiplication of outputs — each added $1$ doubles the output ($f(x+1) = 2f(x)$), and arithmetic input steps become geometric output steps. The grammar of growth — "equal steps, equal factors" — compressed into one identity.

Set beside the first unit's functional equation $f(x+y) = f(x) + f(y)$ (addition to addition — direct proportion), the design shows: the exponential is its multiplicative edition, and the function translating multiplication back into addition (the logarithm) arrives next lesson.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Applying the exponent law (1 pt)
• The "arithmetic → geometric" reading, e.g. $f(x+1) = 2f(x)$ (1 pt)
• The translation viewpoint stated (1 pt)

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ — 치환하라.

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ — substitute.

$t = 2^x > 0$으로 치환하면 $4^x = t^2$, $2^{x+1} = 2t$:

$t > 0$과 겹치면 $0 < t < 4$, 곧

(밑 $2 > 1$이라 부등호 유지).

검산: $x = 0$에서 $1 - 2 - 8 < 0$ ✓, $x = 3$에서 $64 - 16 - 8 = 40 > 0$ ✓(경계 밖). 치환 → 이차부등식 → 조건 교집합 → 되돌리기 — 네 단의 표준 조립이다.

With $t = 2^x > 0$: $4^x = t^2$ and $2^{x+1} = 2t$:

Intersect with $t > 0$: $0 < t < 4$, i.e.

(base $2 > 1$ keeps the inequality's direction).

Check: $x = 0$ gives $1 - 2 - 8 < 0$ ✓; $x = 3$ gives $40 > 0$ ✓ (outside). Substitute → quadratic inequality → intersect the condition → undo — the standard four-beat assembly.

공통값을 $k$라 하고 $2$, $3$, $6$을 $k$의 거듭제곱으로 나타내라.

Call the common value $k$ and express $2$, $3$, $6$ as powers of $k$.

공통값을 $k$라 하자($k > 1$). 그러면

(각 식은 원래 등식의 양변을 $\frac1x$ 등 제곱한 것). $6 = 2 \times 3$이므로

$k > 1$인 지수함수는 일대일 — 지수끼리 같다:

$6$의 인수분해 $2 \times 3$이 지수의 세계에서 역수의 덧셈으로 번역됐다 — "곱셈이 덧셈이 되는" 지수·로그 문법의 예고편이자, 일률 공식($\frac1t = \frac1a + \frac1b$)과 같은 꼴이 나오는 우연 아닌 우연이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $k$의 거듭제곱 표현 (1점)
• $6 = 2 \times 3$의 번역 (1점)
• 일대일로 지수 비교 (1점)

Let the common value be $k$ ($k > 1$). Then

(each obtained by raising the original equalities to $\frac1x$, etc.). Since $6 = 2 \times 3$,

Exponentials with base $k > 1$ are one-to-one — exponents match:

The factorization $6 = 2 \times 3$ translated, in exponent country, into an addition of reciprocals — a trailer for the exponential-logarithmic grammar where multiplication becomes addition, and a non-coincidence that it matches the work-rate formula $\frac1t = \frac1a + \frac1b$ in shape.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The powers-of-$k$ expressions (1 pt)
• Translating $6 = 2 \times 3$ (1 pt)
• One-to-one comparison of exponents (1 pt)

— $10^{30}$은 $31$자리 수($1$ 뒤에 $0$이 $30$개)이므로 $2^{100}$도 약 $31$자리다.

보정의 감각: $1024 = 1.024 \times 10^3$이므로 실제로는 $1.024^{10} \approx 1.27$배 더 크다 — $2^{100} \approx 1.27 \times 10^{30}$, 여전히 $31$자리 ✓ (실제 값 $1.2676\ldots \times 10^{30}$).

$2^{10} \approx 10^3$은 컴퓨터의 킬로($1024$)와 십진 킬로($1000$)가 가까운 이유이기도 하다 — "자릿수 어림"을 정확한 도구로 만드는 것이 다음 차시의 로그다.

— and $10^{30}$ has $31$ digits (a $1$ with thirty zeros), so $2^{100}$ has about $31$.

Calibrating the estimate: $1024 = 1.024 \times 10^3$, so the truth runs $1.024^{10} \approx 1.27$ times higher — $2^{100} \approx 1.27 \times 10^{30}$, still $31$ digits ✓ (the exact value is $1.2676\ldots \times 10^{30}$).

The kinship $2^{10} \approx 10^3$ is also why the computer's kilo ($1024$) sits beside the decimal kilo ($1000$) — and the tool that turns digit-estimation exact is next lesson's logarithm.