삼각함수의 그래프Graphs of Sine & Cosine

단위원 한 바퀴 $2\pi$마다 반복되고, $y$좌표는 $-1$과 $1$ 사이를 오간다 — 최고점은 $x = \frac\pi2 + 2k\pi$, 최저점은 $x = \frac{3\pi}2 + 2k\pi$에서.

It repeats with each $2\pi$ lap of the unit circle, the $y$-coordinate swinging between $-1$ and $1$ — peaks at $x = \frac\pi2 + 2k\pi$, troughs at $x = \frac{3\pi}2 + 2k\pi$.

$(1)$ 세로 $3$배 — 진폭 $3$ (범위 $[-3, 3]$).

$(2)$ 가로 $\frac12$배 — 주기 $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$: 같은 구간에 파동이 두 배로 빽빽하다.

$(1)$ Vertical $\times 3$ — amplitude $3$ (range $[-3, 3]$).

$(2)$ Horizontal $\times\frac12$ — period $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$: twice as many waves in the same window.

$\cos x = \sin\!\left(x + \dfrac\pi2\right)$ — 본문에서 $90°$ 회전 $(x, y) \mapsto (-y, x)$로 증명한 항등식이다.

확인 한 점: $\cos 0 = 1 = \sin\frac\pi2$ ✓. 두 곡선은 같은 파동의 시차 $\frac\pi2$ 버전이다.

$\cos x = \sin\!\left(x + \dfrac\pi2\right)$ — the identity proved in the text by the $90°$ rotation $(x, y) \mapsto (-y, x)$.

Spot check: $\cos 0 = 1 = \sin\frac\pi2$ ✓. The two curves are one wave, $\frac\pi2$ out of phase.

$A = 2$(진폭), $B = 1$(주기 $2\pi$ 그대로), 오른쪽 $\frac\pi3$, 중심선 $y = 1$.

최댓값 $= 1 + 2 = 3$, 최솟값 $= 1 - 2 = -1$ — 중심선 $\pm$ 진폭이다.

변환 네 부품이 각자 제 일만 하는 표준형 — 첫 단원 문법의 복습이다.

$A = 2$ (amplitude), $B = 1$ (period stays $2\pi$), right $\frac\pi3$, midline $y = 1$.

Maximum $= 1 + 2 = 3$, minimum $= 1 - 2 = -1$ — midline $\pm$ amplitude.

Four parts, each minding its own job — Unit 1's grammar on review.

$B$를 먼저 묶는다:

— 주기 $\dfrac{2\pi}2 = \pi$, 이동은 오른쪽 $\dfrac\pi4$ ($\frac\pi2$가 아니다).

검산: $x = \frac\pi4$에서 $\sin 0 = 0$이고 그 직후 증가 — 원점의 출발 모양이 $\frac\pi4$로 옮겨 갔다 ✓. 신축을 먼저 묶는 순서 규칙이 이 함정의 백신이다.

Factor out $B$ first:

— period $\dfrac{2\pi}2 = \pi$, shift right $\dfrac\pi4$ (not $\frac\pi2$).

Check: at $x = \frac\pi4$ the value is $\sin 0 = 0$, increasing just after — the origin's launch shape relocated to $\frac\pi4$ ✓. The factor-first order rule vaccinates against this trap.

각 $\theta$의 단위원 위 점을 $P = (x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$라 하자. 각을 $\frac\pi2$ 늘리는 것은 $P$를 원점 중심으로 $90°$(반시계) 회전하는 것이고, 기하의 회전 공식으로 그 상은

좌표를 짝지으면

— 둘째 식의 양변에 $-1$을 곱하면 $\sin\theta = -\cos(\theta + \frac\pi2)$. $\blacksquare$

회전 하나가 항등식 둘을 동시에 준다 — 삼각 항등식의 상당수가 이렇게 단위원의 대칭(회전·반사)의 좌표 번역이라는 것이 다음 차시의 주제다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 각 $+\frac\pi2$ = $90°$ 회전의 동일시 (1점)
• 회전 공식 적용 (1점)
• 좌표 비교로 두 항등식 (1점)

Let $P = (x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$ be the point at angle $\theta$. Increasing the angle by $\frac\pi2$ rotates $P$ by $90°$ (counterclockwise) about the origin, and geometry's rotation formula gives the image

Matching coordinates:

— multiply the second by $-1$ for $\sin\theta = -\cos(\theta + \frac\pi2)$. $\blacksquare$

One rotation yields two identities at once — that much of trigonometric identity is the coordinate translation of unit-circle symmetry (rotations and reflections) is next lesson's theme.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Identifying angle $+\frac\pi2$ with the $90°$ rotation (1 pt)
• Applying the rotation formula (1 pt)
• Both identities from coordinate comparison (1 pt)

$\pi$가 주기다: 각 $\theta + \pi$의 점은 $\theta$의 점 $(x, y)$의 대척점 $(-x, -y)$다(반 바퀴 회전). 기울기는

더 작은 주기는 없다: 양수 $p < \pi$가 주기라 하자. $\tan\theta = 0$이 되는 곳은 $y = 0$인 각, 곧 $\theta = k\pi$뿐이다. 주기라면 $\tan p = \tan 0 = 0$이어야 하는데 $0 < p < \pi$에서 $\tan p = 0$이 될 수 없다 — 모순. $\blacksquare$

$\sin$·$\cos$는 대척점에서 부호가 뒤집히지만($-y$, $-x$) $\tan$은 비율이라 부호가 상쇄된다 — 반 바퀴 만에 제자리인 이유다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 대척점 논증으로 $\tan(\theta+\pi) = \tan\theta$ (1점)
• 영점이 $k\pi$뿐임을 확인 (1점)
• 최소성 모순 논증 (1점)

$\pi$ is a period: the point at $\theta + \pi$ is the antipode $(-x, -y)$ of the point at $\theta$ (a half-turn). The slope:

None smaller: suppose $0 < p < \pi$ were a period. The zeros of tangent are exactly where $y = 0$, i.e. $\theta = k\pi$. A period would force $\tan p = \tan 0 = 0$, impossible for $0 < p < \pi$ — contradiction. $\blacksquare$

Sine and cosine flip sign at the antipode ($-y$, $-x$), but tangent is a ratio — the signs cancel, which is why half a turn already returns it home.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The antipode argument for $\tan(\theta+\pi) = \tan\theta$ (1 pt)
• Zeros only at $k\pi$ (1 pt)
• The minimality contradiction (1 pt)

그래프에서 부품을 역산한다:

• 중심선: $d = \dfrac{5 + (-1)}2 = 2$
• 진폭: $A = \dfrac{5 - (-1)}2 = 3$
• 주기 $\pi$: $B = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$

$x = 0$에서 중심선을 지나며 증가 — 표준 $\sin$의 출발 모양 그대로이므로 이동 없이

검산: 최대 $2 + 3 = 5$ ✓, 최소 $2 - 3 = -1$ ✓, $y(0) = 2$(중심선) ✓. "최대·최소의 평균이 중심선, 반차가 진폭" — 그래프에서 식을 읽는 표준 절차다.

Reverse-engineer the parts:

• midline: $d = \dfrac{5 + (-1)}2 = 2$
• amplitude: $A = \dfrac{5 - (-1)}2 = 3$
• period $\pi$: $B = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$

Crossing the midline upward at $x = 0$ is standard sine's launch — no shift needed:

Check: max $2 + 3 = 5$ ✓, min $2 - 3 = -1$ ✓, $y(0) = 2$ (midline) ✓. "Average of max and min is the midline; half the gap is the amplitude" — the standard graph-to-formula procedure.

각 $-\theta$는 $\theta$와 크기가 같고 방향이 반대 — 그 동경은 $\theta$의 동경을 $x$축에 대해 반사한 것이다. 반사 공식은 $(x, y) \mapsto (x, -y)$이므로, $\theta$의 점이 $(\cos\theta, \sin\theta)$이면 $-\theta$의 점은

좌표를 비교하면 $\cos(-\theta) = \cos\theta$(짝함수), $\sin(-\theta) = -\sin\theta$(홀함수). $\blacksquare$

그래프의 언어로: $\cos$의 파동은 $y$축 대칭(짝), $\sin$의 파동은 원점 대칭(홀) — 첫 단원의 짝·홀 분류가 파동에도 그대로 적용된다. 덤으로 $\tan(-\theta) = \frac{-\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$ — 홀함수다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $-\theta$ = $x$축 반사 동일시 (1점)
• 반사 공식으로 좌표 (1점)
• 두 결론(+$\tan$까지면 가산점 없이 만점 유지) (1점)

The angle $-\theta$ matches $\theta$ in size, opposite in direction — its ray is the ray of $\theta$ reflected across the $x$-axis. The reflection formula is $(x, y) \mapsto (x, -y)$, so if $\theta$'s point is $(\cos\theta, \sin\theta)$, then $-\theta$'s point is

Comparing coordinates: $\cos(-\theta) = \cos\theta$ (even), $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ (odd). $\blacksquare$

In graph language: cosine's wave is $y$-axis symmetric (even), sine's origin-symmetric (odd) — Unit 1's even/odd taxonomy, applied to waves. Bonus: $\tan(-\theta) = \frac{-\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$ — odd.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Identifying $-\theta$ with the $x$-axis reflection (1 pt)
• Coordinates via the reflection formula (1 pt)
• Both conclusions (1 pt)

맨 아래에서 출발하는 파동은 $-\cos$ 꼴이 자연스럽다.

A wave launched from its lowest point fits a $-\cos$ shape.

중심선 $25$(축 높이), 진폭 $20$(반지름), 주기 $4$이므로 $B = \dfrac{2\pi}4 = \dfrac\pi2$.

$t = 0$에 최저점(지상 $5\,\mathrm m$)이므로 $-\cos$ 꼴이 맞다:

확인: $h(0) = 25 - 20 = 5$ ✓ (최저), $h(2) = 25 + 20 = 45$ ✓ (꼭대기, 반 바퀴).

— $\frac34$바퀴를 돈 지점, 축과 같은 높이의 옆면이다. 시작 위치가 파형($\sin$, $\cos$, $\pm$)을 고르는 열쇠라는 것이 이 문제의 배움이다.

Midline $25$ (axle height), amplitude $20$ (radius), period $4$ so $B = \dfrac{2\pi}4 = \dfrac\pi2$.

At $t = 0$ we sit at the minimum (ground clearance $5\,\mathrm m$) — the $-\cos$ shape fits:

Verify: $h(0) = 5$ ✓ (bottom), $h(2) = 45$ ✓ (top, half turn).

— three quarters around, level with the axle. The lesson here: the starting position picks the waveform ($\sin$, $\cos$, $\pm$).

$\sin u \ge \frac12$는 $u \in \left[\frac\pi6, \frac{5\pi}6\right] + 2k\pi$에서 성립하므로, $u = \frac{\pi t}6$을 되돌리면

총 $4 + 4 = 8$시간.

검산: $h(1) = 5 + 3\sin\frac\pi6 = 6.5$ ✓, $h(3) = 5 + 3 = 8 \ge 6.5$ ✓, $h(7) = 5 + 3\sin\frac{7\pi}6 = 3.5 < 6.5$ ✓. 큰 배가 들어올 수 있는 물때를 계산하는 것 — 사인 부등식의 원래 직업이다.

$\sin u \ge \frac12$ holds for $u \in \left[\frac\pi6, \frac{5\pi}6\right] + 2k\pi$; undoing $u = \frac{\pi t}6$:

Total: $4 + 4 = 8$ hours.

Check: $h(1) = 6.5$ ✓, $h(3) = 8 \ge 6.5$ ✓, $h(7) = 5 + 3\sin\frac{7\pi}6 = 3.5 < 6.5$ ✓. Computing when the big ships can enter — the sine inequality's original job.

두 그래프를 겹치고, 직선이 파동 띠 $[-1, 1]$을 벗어나는 지점과 홀함수 대칭을 활용하라.

Overlay the graphs; use where the line exits the wave's band $[-1, 1]$, plus odd symmetry.

$y = \sin x$와 직선 $y = \frac{x}{10}$의 교점을 센다. $|\sin x| \le 1$이므로 $|x| \le 10$ 밖에는 해가 없다.

$x = 0$: 명백한 해 하나.

$x > 0$: 부호 변화를 좇는다 — $f(x) = \sin x - \frac x{10}$에 대해

• $f\!\left(\frac\pi2\right) = 1 - 0.157 > 0$, $f(\pi) = -0.314 < 0$ → $\left(\frac\pi2, \pi\right)$에 근 1개
• $f(2\pi) = -0.628 < 0$, $f\!\left(\frac{5\pi}2\right) = 1 - 0.785 > 0$ → 근 1개
• $f\!\left(\frac{5\pi}2\right) > 0$, $f(3\pi) = -0.942 < 0$ → 근 1개
• $3\pi \approx 9.42$ 이후 $x = 10$까지 $\sin x < 0 <$ 직선 — 추가 근 없음

양수 근 $3$개. $x < 0$: 양변 모두 홀함수이므로 근이 $x \mapsto -x$로 짝지어진다 — 음수 근도 $3$개.

합계 $3 + 1 + 3 = 7$개.

(엄밀히는 각 구간에서 연속함수의 부호 변화가 근을 보장하고, 파동이 한 진동에서 직선을 최대 두 번 만나는 것이 개수를 위에서 막는다.) 직선의 기울기를 $\frac1{100}$로 낮추면 근이 수십 개로 는다 — 기울기가 교점 수를 통제하는 것도 함께 볼 것.

Count intersections of $y = \sin x$ with the line $y = \frac{x}{10}$. Since $|\sin x| \le 1$, no solutions exist beyond $|x| \le 10$.

$x = 0$: one obvious solution.

$x > 0$: chase sign changes of $f(x) = \sin x - \frac x{10}$:

• $f\!\left(\frac\pi2\right) = 1 - 0.157 > 0$, $f(\pi) = -0.314 < 0$ → one root in $\left(\frac\pi2, \pi\right)$
• $f(2\pi) = -0.628 < 0$, $f\!\left(\frac{5\pi}2\right) = 1 - 0.785 > 0$ → one root
• $f\!\left(\frac{5\pi}2\right) > 0$, $f(3\pi) = -0.942 < 0$ → one root
• past $3\pi \approx 9.42$ up to $x = 10$, $\sin x < 0 <$ the line — none further

Three positive roots. $x < 0$: both sides are odd, so roots pair under $x \mapsto -x$ — three negative roots.

Total: $3 + 1 + 3 = 7$.

(Rigorously: sign changes of a continuous function guarantee the roots, and a wave meets a line at most twice per oscillation, capping the count.) Drop the line's slope to $\frac1{100}$ and the count grows into the dozens — slope controls the census.

$\pi$는 주기다: 대척점에서 $\sin$은 부호만 뒤집히므로

더 작은 주기는 없다: $|\sin x| = 0$이 되는 곳은 $\sin x = 0$인 곳, 곧 $x = k\pi$뿐 — 영점들이 정확히 간격 $\pi$로 늘어서 있다. 양수 $p$가 주기라면 영점 $0$의 상 $p$도 영점이어야 하므로 $p = k\pi$ 꼴 — 가장 작은 양수 후보는 $p = \pi$다. $\blacksquare$

그래프로는 $\sin$의 음수 반파를 $x$축 위로 접어 올린 모양 — 반파들이 모두 같은 모양이 되어 주기가 절반으로 준다. 반사($|\cdot|$)가 주기를 바꾸는 이 현상은 $|\cos x|$에서도 똑같다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $|\sin(x+\pi)| = |\sin x|$ (1점)
• 영점 간격 논증 (1점)
• 최소성 결론 (1점)

$\pi$ is a period: at the antipode sine merely flips sign, so

None smaller: $|\sin x| = 0$ exactly where $\sin x = 0$, i.e. $x = k\pi$ — the zeros stand spaced exactly $\pi$ apart. If a positive $p$ were a period, the zero $0$ would map to a zero $p$, forcing $p = k\pi$ — whose least positive instance is $\pi$. $\blacksquare$

Graphically, the negative half-waves of sine fold up over the $x$-axis — all half-waves now identical, halving the period. The same reflection effect gives $|\cos x|$ period $\pi$ too.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• $|\sin(x+\pi)| = |\sin x|$ (1 pt)
• The zero-spacing argument (1 pt)
• The minimality conclusion (1 pt)