함수와 정의역Functions & Domains

자리에 넣고 계산한다:

$f(0)$은 그래프의 $y$절편이기도 하다 — 표기와 그래프가 잇닿는 첫 지점.

Fill the slot and compute:

And $f(0)$ is the graph's $y$-intercept — the first junction of notation and graph.

(1) 입력 $1$에 출력 $2$와 $5$가 둘 대응한다 — "정확히 하나"가 깨져 함수가 아니다.

(2) 입력 $1, 2, 3$마다 출력이 하나씩이다 — 함수다. 출력이 전부 $2$로 겹치는 것은 무방하다 — 조건은 입력 쪽의 유일성이지 출력의 다양성이 아니다(상수함수도 어엿한 함수다).

(1) The input $1$ receives two outputs, $2$ and $5$ — "exactly one" fails.

(2) Each input $1, 2, 3$ has one output — a function. That the outputs all repeat $2$ is harmless — the condition is uniqueness on the input side, not variety on the output side (constant functions are functions in full standing).

(1) 왼쪽 끝 제외(소괄호), 오른쪽 끝 포함(대괄호): $(-2, 5]$.

(2) $3$ 포함, 위로 끝없음: $[3, \infty)$ — $\infty$ 쪽은 언제나 소괄호다(끝점이 아니라 방향이므로).

(3) $1$만 빼고 전부: 두 조각의 합집합 $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

(1) Left end excluded (parenthesis), right end included (bracket): $(-2, 5]$.

(2) $3$ included, unbounded above: $[3, \infty)$ — the $\infty$ side always takes a parenthesis (it is a direction, not an endpoint).

(3) Everything except $1$: the union of two pieces, $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

검산 — $a = 2$를 넣으면 $f(3) = 3$이어야 하는데 $a^2 - 1 = 3$ ✓. 식을 넣을 때는 통째로 괄호에 싸서 대입하는 것이 전부다 — $-2(a+1)$의 괄호를 잃으면 그때부터 틀린다.

Check — at $a = 2$ this should equal $f(3) = 3$, and $a^2 - 1 = 3$ ✓. Substituting an expression is all about wrapping it whole in parentheses — lose the parentheses in $-2(a+1)$ and everything after is wrong.

(1) 분모: $x \ne 4$.

(2) 제곱근 안: $2x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$.

(3) 두 조건의 교집합: $5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$, 그리고 $x \ne 2$. 합치면 $x \le 5$에서 $2$만 뺀 $(-\infty, 2) \cup (2, 5]$.

걸림돌마다 부등식 하나 — 조건을 다 모아 교집합을 그리는 것이 정의역 계산의 전부다.

(1) Denominator: $x \ne 4$.

(2) Under the root: $2x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$.

(3) Intersect both conditions: $5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$, and $x \ne 2$. Together: $x \le 5$ with $2$ removed — $(-\infty, 2) \cup (2, 5]$.

One inequality per obstacle — collecting the conditions and intersecting them is the whole of domain-finding.

$x = y^2$에서 $x = 4$를 넣으면 $y^2 = 4$, 곧 $y = 2$ 또는 $y = -2$ — 입력 하나에 출력이 둘이다. 그래프로 보면 세로선 $x = 4$가 누운 포물선과 두 점 $(4, 2)$, $(4, -2)$에서 만난다 — 세로선 검사 탈락.

$y = x^2$은 반대다: 어떤 세로선 $x = a$를 그어도 교점은 $(a, a^2)$ 하나뿐이다 — 제곱의 결과는 하나로 정해지기 때문이다. 같은 "제곱" 관계라도 어느 변수를 입력으로 읽는가에 따라 함수이기도 하고 아니기도 하다 — 함수는 식의 성질이 아니라 대응 방향의 성질이다.

(누운 포물선도 위 가지 $y = \sqrt{x}$만 떼면 함수가 된다 — 원을 반쪽 내던 것과 같은 수법이고, 무리함수 단원에서 정식으로 만난다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• $x = 4$ 따위에서 출력 둘 확인 (1점)
• 세로선 검사로 번역 (1점)
• $y = x^2$과의 대비(대응 방향) (1점)

Set $x = 4$ in $x = y^2$: then $y^2 = 4$, so $y = 2$ or $y = -2$ — one input, two outputs. Graphically, the vertical line $x = 4$ meets the sideways parabola at two points, $(4, 2)$ and $(4, -2)$ — the test fails.

$y = x^2$ is the opposite: any vertical line $x = a$ meets it only at $(a, a^2)$ — squaring produces a single result. The same "squaring" relation is or is not a function depending on which variable you read as the input — functionhood is a property of the direction of assignment, not of the formula.

(The sideways parabola becomes a function if you keep only its upper branch $y = \sqrt{x}$ — the same move that halved the circle, met formally in the radicals unit.)

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Two outputs at some input like $x = 4$ (1 pt)
• Translation to the vertical line test (1 pt)
• The contrast with $y = x^2$ (direction of assignment) (1 pt)

검산 — $a = 3$, $h = 1$: $f(4) - f(3) = 16 - 9 = 7$이고 $2ah + h^2 = 6 + 1 = 7$ ✓.

"입력을 $h$만큼 밀면 출력이 얼마나 변하는가"를 재는 이 계산은, 몇 과정 뒤 미적분에서 주역으로 승격된다 — 지금은 대입과 전개의 연습이지만, 이 식의 이름을 그때 다시 만나게 된다.

Check — $a = 3$, $h = 1$: $f(4) - f(3) = 16 - 9 = 7$, and $2ah + h^2 = 6 + 1 = 7$ ✓.

This computation — "how much does the output change when the input shifts by $h$" — gets promoted to a lead role in calculus, a few courses ahead. Today it is substitution-and-expansion practice; you will meet this expression again under its future name.

(1) $x^2 \ge 0$이므로 $y \ge 3$, 그리고 $x = 0$에서 등호 달성: $[3, \infty)$.

(2) $-2(x-1)^2 \le 0$이므로 $y \le 5$, $x = 1$에서 달성: $(-\infty, 5]$.

(3) $\sqrt{x} \ge 0$이므로 $y \ge 2$, $x = 0$에서 달성: $[2, \infty)$.

세 문제의 공통 절차 — "음이 아닌 부품"($x^2$, $\sqrt{x}$)의 범위에서 출발해 이동·반사를 따라간다. 등호가 실제로 달성되는지 확인하는 걸음을 빠뜨리지 말 것.

(1) $x^2 \ge 0$ gives $y \ge 3$, with equality reached at $x = 0$: $[3, \infty)$.

(2) $-2(x-1)^2 \le 0$ gives $y \le 5$, reached at $x = 1$: $(-\infty, 5]$.

(3) $\sqrt{x} \ge 0$ gives $y \ge 2$, reached at $x = 0$: $[2, \infty)$.

One shared procedure — start from the nonnegative part ($x^2$, $\sqrt{x}$) and follow the shifts and flips. Never skip the step of checking the bound is actually attained.

조건 두 개를 각각 적은 뒤 수직선에서 겹쳐라.

Write the two conditions separately, then overlay them on a number line.

두 걸림돌:

교집합을 만든다. $x \ge -2$인 구간에서 $-3$은 이미 제외되어 있으므로($-3 < -2$) 실제로 빼야 할 것은 $3$뿐이다:

조건을 기계적으로 나열하면 $x \ne -3$도 적게 되지만, 최종 답에 영향을 주는지는 수직선에서 겹쳐 봐야 안다 — 조건의 나열과 조건의 종합은 다른 작업이다.

Two obstacles:

Intersect. On $x \ge -2$, the point $-3$ is already excluded ($-3 < -2$), so only $3$ needs removing:

A mechanical listing writes $x \ne -3$ too — whether it affects the final answer only the number line reveals. Listing conditions and synthesizing them are different jobs.

검산: $f(1) = 1 - 4 + 1 = -2$ ✓, $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$ ✓.

"출력이 $-2$인 입력"이 둘이어도 함수 조건과 모순이 없다 — 함수가 금지하는 것은 한 입력의 출력 둘이지, 한 출력의 입력 둘이 아니다(포물선의 좌우 대칭이 정확히 이런 쌍을 만든다).

Check: $f(1) = 1 - 4 + 1 = -2$ ✓, $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$ ✓.

Two inputs sharing the output $-2$ breaks nothing — a function forbids two outputs for one input, not two inputs for one output (the parabola's mirror symmetry manufactures exactly such pairs).

식의 정의역과 상황의 정의역은 다를 수 있다 — 변의 길이가 무엇이어야 하는지 생각하라.

The formula's domain and the situation's domain may differ — what must a side length be?

둘레 $20$이면 이웃 두 변의 합이 $10$ — 다른 변은 $10 - x$이고

정의역. 식 자체는 모든 실수에서 계산되지만, 변의 길이는 양수여야 한다: $x > 0$이고 $10 - x > 0$, 곧 $(0, 10)$.

치역. $A(x) = -(x - 5)^2 + 25$ — 꼭짓점 $(5, 25)$의 아래로 벌어진 포물선이 구간 $(0, 10)$ 위에서 만드는 값은, 최대 $25$($x = 5$, 정사각형)를 달성하고 끝으로 갈수록 $0$에 다가가되 닿지는 않는다: $(0, 25]$.

식이 주는 정의역과 상황이 주는 정의역의 구별 — 모델링 문제의 첫 확인 사항이고, "같은 둘레면 정사각형이 가장 넓다"는 결론이 치역의 오른쪽 끝에 들어 있다.

Perimeter $20$ makes adjacent sides sum to $10$ — the other side is $10 - x$, so

Domain. The formula computes for all reals, but a side length must be positive: $x > 0$ and $10 - x > 0$, giving $(0, 10)$.

Range. $A(x) = -(x - 5)^2 + 25$ — a downward parabola with vertex $(5, 25)$. Over $(0, 10)$ it attains its maximum $25$ (at $x = 5$: the square) and slides toward $0$ at the ends without touching: $(0, 25]$.

Distinguishing the formula's domain from the situation's domain is modeling's first checkpoint — and "among equal perimeters, the square is largest" sits inside the range's right endpoint.

(1) $f$의 출력을 다시 $f$의 자리에 넣는다:

(2) $4a + 9 = 25 \Rightarrow a = 4$.

검산: $f(4) = 11$, $f(11) = 25$ ✓ — 함수를 두 번 통과하는 계산을 안에서 밖으로 추적해도 같다.

함수의 출력을 다시 입력으로 — 이 이어 붙이기(합성)는 셋째 차시에서 정식 연산으로 승격되고, 기호 $(f \circ f)(x)$를 얻는다.

(1) Feed $f$'s output back into $f$'s slot:

(2) $4a + 9 = 25 \Rightarrow a = 4$.

Check: $f(4) = 11$, $f(11) = 25$ ✓ — tracing the double pass inside-out agrees.

Output back into input — this chaining (composition) is promoted to an official operation two lessons from now, earning the symbol $(f \circ f)(x)$.

규칙에 넣을 $x$, $y$를 직접 골라라 — $f(2) = f(1 + 1)$부터.

Choose the $x$, $y$ you feed the rule — starting with $f(2) = f(1 + 1)$.

$f(2)$: $x = y = 1$을 넣으면 $f(2) = f(1) + f(1) = 6$.

$f(5)$: 같은 식으로 쌓는다 — $f(3) = f(2) + f(1) = 9$, $f(4) = 12$, $f(5) = 15$. (매번 $3$씩 — $f(n) = 3n$.)

$f\!\left(\frac12\right)$: 거꾸로 간다. $x = y = \frac12$을 넣으면

식 하나가 함수의 값 전체를 옭아맨다 — 이런 조건식을 함수방정식이라 하고, 위 성질을 가진 함수는 (유리수 입력에서) $f(x) = 3x$일 수밖에 없음이 같은 논법의 연장으로 증명된다. 경시 대수의 단골 주제가 여기서 문을 연다.

$f(2)$: take $x = y = 1$: $f(2) = f(1) + f(1) = 6$.

$f(5)$: stack the same way — $f(3) = f(2) + f(1) = 9$, $f(4) = 12$, $f(5) = 15$. (Up $3$ each time — $f(n) = 3n$.)

$f\!\left(\frac12\right)$: run it backwards. With $x = y = \frac12$,

One equation shackles the function's every value — such a condition is a functional equation, and extending this argument proves any such function must be $f(x) = 3x$ on the rationals. A staple theme of competition algebra opens its door here.