로그의 성질과 방정식Log Properties & Equations

$(1)$ 곱 법칙: $\log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6 = 1$.

$(2)$ 몫 법칙: $\log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$.

따로는 못 구하는 값들($\log_6 2$는 무리수)이 합치는 순간 정수가 된다 — 법칙의 첫 효용이다.

$(1)$ Product law: $\log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6 = 1$.

$(2)$ Quotient law: $\log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$.

Values unreachable alone ($\log_6 2$ is irrational) turn integer the moment they merge — the laws' first payoff.

거듭제곱 법칙으로 읽어도 같다: $\log_3 \sqrt{27} = \frac12 \log_3 27 = \frac12 \cdot 3 = \frac32$ ✓.

The power law reads it the same way: $\log_3 \sqrt{27} = \frac12 \log_3 27 = \frac12 \cdot 3 = \frac32$ ✓.

$12 = 2^2 \cdot 3$의 소인수분해가 로그값의 조립도면이다.

The factorization $12 = 2^2 \cdot 3$ is the assembly diagram for the log value.

$M = a^m$, $N = a^n$은 정의로 $m = \log_a M$, $n = \log_a N$이라는 뜻이다.

곱 법칙: 지수법칙으로

— 다시 정의로 읽으면 $\log_a MN = m + n = \log_a M + \log_a N$. $\blacksquare$

거듭제곱 법칙: 지수법칙으로

— 정의로 읽으면 $\log_a M^k = km = k\log_a M$. $\blacksquare$

두 증명이 같은 세 걸음이다: 번역(로그→지수) → 지수법칙 → 재번역. 로그의 성질은 전부 지수법칙의 그림자다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 정의로 번역 (1점)
• 지수법칙 적용 (1점)
• 재번역으로 결론 (1점)

$M = a^m$, $N = a^n$ mean, by definition, $m = \log_a M$ and $n = \log_a N$.

Product law: by the exponent law,

— read back through the definition: $\log_a MN = m + n = \log_a M + \log_a N$. $\blacksquare$

Power law: by the exponent law,

— read back: $\log_a M^k = km = k\log_a M$. $\blacksquare$

Both proofs are the same three steps: translate (log→exponent) → exponent law → translate back. Every log property is an exponent law's shadow.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Translation by the definition (1 pt)
• Exponent law applied (1 pt)
• Back-translation to conclude (1 pt)

$5$는 $2$와 $3$으로 조립되지 않는다 — $10$을 쓰라.

$5$ won't assemble from $2$ and $3$ — use $10$.

$5$는 $2$, $3$의 곱으로 만들 수 없지만 $10$이 도와준다:

이어서

상용로그의 밑 $10$은 언제나 공짜 부품($\log 10 = 1$)이다 — $5$, $25$, $50$처럼 $2$·$3$만으로 막히는 수는 $10$을 공범으로 세워라.

$5$ is no product of $2$s and $3$s, but $10$ helps:

Then

The common log's base $10$ is a free part ($\log 10 = 1$) — for numbers like $5$, $25$, $50$ that stall on $2$s and $3$s, recruit it as an accomplice.

$x = \log_a b$라 하면 정의로 $a^x = b$. 양변에 $\log_c$를 씌우면 거듭제곱 법칙으로

($\log_c a \ne 0$은 $a \ne 1$이 보장). $\blacksquare$

역수 공식: 새 밑을 $c = b$로 고르면

증명의 재료가 거듭제곱 법칙 하나뿐임에 주목 — 밑 변환은 독립 공리가 아니라 세 법칙의 따름정리다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $a^x = b$ 설정과 $\log_c$ 적용 (1점)
• 거듭제곱 법칙으로 공식 완성 (1점)
• $c = b$ 특수화로 역수 공식 (1점)

Let $x = \log_a b$, so $a^x = b$ by definition. Apply $\log_c$ to both sides; the power law gives

(with $\log_c a \ne 0$ guaranteed by $a \ne 1$). $\blacksquare$

Reciprocal formula: choose the new base $c = b$:

Note the only ingredient is the power law — change of base is no independent axiom but a corollary of the three laws.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Setting $a^x = b$ and applying $\log_c$ (1 pt)
• Power law completing the formula (1 pt)
• Specializing $c = b$ for the reciprocal (1 pt)

밑을 $2$로 변환:

곱은 $\dfrac32 \cdot \dfrac23 = 1$ — 역수 공식 $\log_a b \cdot \log_b a = 1$의 실물이다.

검산: $4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ ✓.

Convert to base $2$:

The product $\dfrac32 \cdot \dfrac23 = 1$ — the reciprocal formula $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ in the flesh.

Check: $4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ ✓.

관문: $x > 0$이고 $x - 2 > 0$ — 곧 $x > 2$.

곱 법칙으로 합치면

관문 통과는 $x = 4$뿐 — $-2$는 합치면서 넓어진 정의역이 낳은 무연근이다.

검산: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ ✓.

Gate: $x > 0$ and $x - 2 > 0$ — i.e. $x > 2$.

Merging by the product law:

Only $x = 4$ passes — $-2$ is the extraneous root born when merging widened the domain.

Check: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ ✓.

밑을 $2$로 변환하고 $50 = 2 \cdot 5^2$을 조립하면

검산: $a = \log_2 5 \approx 2.322$이면 $\frac{1 + 4.644}{2} \approx 2.822$이고, $4^{2.822} = 2^{5.644} \approx 50$ ✓($2^{5.644} = 2^5 \cdot 2^{0.644} \approx 32 \times 1.56 \approx 50$).

"주어진 로그로 나타내기"의 두 부품: 소인수분해와 밑 변환.

Change to base $2$ and assemble $50 = 2 \cdot 5^2$:

Check: with $a = \log_2 5 \approx 2.322$, the formula gives $\approx 2.822$, and $4^{2.822} = 2^{5.644} \approx 50$ ✓ ($2^{5.644} = 2^5 \cdot 2^{0.644} \approx 32 \times 1.56 \approx 50$).

The two parts of every "express in terms of" problem: factorization and change of base.

$N$이 $d$자리라는 것은 $10^{d-1} \le N < 10^d$라는 뜻 — 상용로그(증가)를 씌우면

곧 $d - 1 = \lfloor \log N \rfloor$, 자릿수 $d = \lfloor \log N \rfloor + 1$이다.

이제 거듭제곱 법칙으로

지난 차시에 $2^{10} \approx 10^3$으로 "약 $31$자리"라 어림했던 것이 정확한 계산으로 확정됐다 — 로그는 어림을 공식으로 바꾼다.

Having $d$ digits means $10^{d-1} \le N < 10^d$ — apply the (increasing) common log:

so $d - 1 = \lfloor \log N \rfloor$ and the digit count is $d = \lfloor \log N \rfloor + 1$.

Now the power law:

Last lesson's estimate via $2^{10} \approx 10^3$ ("about $31$") is now exact — logarithms turn estimates into formulas.

역수 공식으로 두 항의 밑을 $100$으로 모아라.

Use the reciprocal formula to gather both terms onto base $100$.

역수 공식 $\dfrac{1}{\log_a b} = \log_b a$로 뒤집으면

($100^{1/2} = 10$이므로).

뒤집어서 밑을 통일하는 것이 요령 — 분모의 로그들이 곱 법칙 아래 하나로 모인다.

Flip with the reciprocal formula $\dfrac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

(since $100^{1/2} = 10$).

Flipping to unify the base is the move — the denominators' logs gather under the product law.

모든 항을 밑 $2$로 — $\log_4 x$와 $\log_8 x$가 $\log_2 x$의 분수배가 된다.

Everything to base $2$ — $\log_4 x$ and $\log_8 x$ become fractions of $\log_2 x$.

$t = \log_2 x$라 하고 밑 변환으로 통일하면

이므로

검산: $\log_2 64 = 6$, $\log_4 64 = 3$, $\log_8 64 = 2$ — 합 $11$ ✓.

밑이 $2$의 거듭제곱들일 때 로그들은 조화수열처럼 $\frac t1, \frac t2, \frac t3$으로 정렬된다 — 밑 변환이 드러내는 숨은 구조다.

Let $t = \log_2 x$ and unify by change of base:

so

Check: $\log_2 64 = 6$, $\log_4 64 = 3$, $\log_8 64 = 2$ — sum $11$ ✓.

With bases running through powers of $2$, the logs line up harmonically as $\frac t1, \frac t2, \frac t3$ — hidden structure that change of base exposes.

자릿수는 정수 부분이, 첫째 자리는 소수 부분이 결정한다.

The integer part decides the digit count; the fractional part decides the leading digit.

자릿수: $\lfloor 47.71 \rfloor + 1 = 48$자리.

첫째 자리: $3^{100} = 10^{47.71} = 10^{47} \times 10^{0.71}$ — 첫째 자리는 소수 부분 $0.71$이 결정한다. 그런데

이고 $0.6990 \le 0.71 < 0.7781$이므로 $5 \le 10^{0.71} < 6$ — 첫째 자리는 $\mathbf 5$다.

검산: 실제로 $3^{100} = 5.15\ldots \times 10^{47}$ ✓. 로그의 정수 부분은 크기(자릿수)를, 소수 부분은 모양(맨 앞 숫자들)을 담는다 — 한 수를 두 부분이 나눠 맡는 분업이다.

Digit count: $\lfloor 47.71 \rfloor + 1 = 48$.

Leading digit: $3^{100} = 10^{47.71} = 10^{47} \times 10^{0.71}$ — the fractional part $0.71$ decides. Since

and $0.6990 \le 0.71 < 0.7781$, we get $5 \le 10^{0.71} < 6$ — the leading digit is $\mathbf 5$.

Check: indeed $3^{100} = 5.15\ldots \times 10^{47}$ ✓. The log's integer part carries the size (digit count), the fractional part the shape (leading digits) — one number, two divisions of labor.