무리방정식Radical Equations

제곱: $x - 1 = 9 \Rightarrow x = 10$. 검사: $\sqrt9 = 3$ ✓.

우변이 양수라 무연근 위험이 없었지만, 검사는 습관이다.

Square: $x - 1 = 9 \Rightarrow x = 10$. Check: $\sqrt9 = 3$ ✓.

A positive right side carried no extraneous risk — but the check is a habit.

제곱: $2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 4x = x(x - 4) = 0$ — 후보 $0, 4$.

검사: $x = 0$은 $\sqrt1 = 1$ vs $-1$ ✗ — 무연근. $x = 4$는 $\sqrt9 = 3 = 3$ ✓.

Square: $2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x(x - 4) = 0$ — candidates $0, 4$.

Check: $x = 0$ gives $\sqrt1 = 1$ against $-1$ ✗ — extraneous. $x = 4$ gives $\sqrt9 = 3 = 3$ ✓.

세제곱: $x + 5 = 8 \Rightarrow x = 3$. 검사: $\sqrt[3]8 = 2$ ✓.

제곱은 부호를 지우지만($a^2 = b^2 \not\Rightarrow a = b$) 세제곱은 부호를 보존한다($a^3 = b^3 \iff a = b$) — 홀수 거듭제곱은 가역이라 동치가 깨지지 않고, 무연근이 태어날 자리가 없다.

Cube: $x + 5 = 8 \Rightarrow x = 3$. Check: $\sqrt[3]8 = 2$ ✓.

Squaring erases signs ($a^2 = b^2 \not\Rightarrow a = b$), but cubing preserves them ($a^3 = b^3 \iff a = b$) — odd powers are reversible, equivalence survives, and extraneous roots have no birthplace.

고립: $\sqrt{3x + 4} = x + 2$. 제곱:

검사: $x = 0$은 $\sqrt4 - 2 = 0$ ✓. $x = -1$은 $\sqrt1 - 2 = -1$ ✓ — 둘 다 유효하다.

후보가 둘이라고 늘 하나가 가짜인 것은 아니다 — 검사는 버리기 위해서가 아니라 판정하기 위해 한다.

Isolate: $\sqrt{3x + 4} = x + 2$. Square:

Check: $x = 0$: $\sqrt4 - 2 = 0$ ✓. $x = -1$: $\sqrt1 - 2 = -1$ ✓ — both survive.

Two candidates does not mean one is fake — the check exists to judge, not to discard.

제곱: $5 - x = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) = 0$ — 후보 $1, 4$.

검사: $x = 1$은 $\sqrt4 = 2$ vs $-2$ ✗. $x = 4$는 $\sqrt1 = 1 = 1$ ✓.

무연근 $1$은 아래 반쪽 $y = -\sqrt{5-x}$와 직선의 교점이다 — 제곱이 데려온 반사 짝.

Square: $5 - x = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow (x - 1)(x - 4) = 0$ — candidates $1, 4$.

Check: $x = 1$: $\sqrt4 = 2$ against $-2$ ✗. $x = 4$: $\sqrt1 = 1 = 1$ ✓.

The extraneous $1$ is the line's intersection with the lower branch $y = -\sqrt{5-x}$ — the reflected partner squaring invited.

$\sqrt{A} = B$를 제곱한 $A = B^2$은 $\sqrt A = B$와 $-\sqrt A = B$ 두 방정식의 해를 합쳐 담는다 — $a = b$든 $a = -b$든 제곱하면 같아지기 때문이다.

그래프의 언어로: $y = \sqrt A$(위 반쪽)와 $y = -\sqrt A$(아래 반쪽)는 합쳐서 하나의 옆으로 누운 포물선($y^2 = A$)을 이루고, 제곱한 방정식은 직선과 포물선 전체의 교점을 찾는다. 원래 방정식의 해는 그중 위 반쪽과의 교점뿐 — 아래 반쪽과의 교점이 무연근으로 섞여 들어온다.

그래서 무연근의 판별도 간단하다: 후보를 원래 방정식에 넣어 우변의 부호를 보면 된다 — $\sqrt A \ge 0$이므로 우변이 음수가 되는 후보는 아래 반쪽 출신이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 제곱식이 $\pm$ 두 방정식을 포함 (1점)
• 두 반쪽 그래프 해석 (1점)
• 위 반쪽 교점만 진짜라는 결론 (1점)

Squaring $\sqrt{A} = B$ into $A = B^2$ pools the solutions of both $\sqrt A = B$ and $-\sqrt A = B$ — because $a = b$ and $a = -b$ square to the same thing.

In graph language: $y = \sqrt A$ (upper branch) and $y = -\sqrt A$ (lower branch) together form one sideways parabola ($y^2 = A$), and the squared equation finds the line's intersections with the whole parabola. The original equation's solutions are only those on the upper branch — lower-branch intersections leak in as extraneous roots.

The detection is correspondingly simple: substitute each candidate and watch the right side's sign — since $\sqrt A \ge 0$, any candidate making the right side negative hails from the lower branch.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The squared equation containing both $\pm$ equations (1 pt)
• The two-branch reading (1 pt)
• Only upper-branch intersections are genuine (1 pt)

$t = \sqrt x$ ($t \ge 0$)로 치환:

되돌리면 $x = 1, 9$. 검사: $1 - 4 + 3 = 0$ ✓, $9 - 12 + 3 = 0$ ✓.

$x$항이 $(\sqrt x)^2$이라는 것을 읽는 눈 — 겉보기 무리방정식이 이차방정식의 옷을 입고 있었다.

With $t = \sqrt x$ ($t \ge 0$):

Undo: $x = 1, 9$. Check: $1 - 4 + 3 = 0$ ✓, $9 - 12 + 3 = 0$ ✓.

The eye that reads $x$ as $(\sqrt x)^2$ — a radical equation wearing a quadratic's clothes.

고립 후 제곱:

한 번 더 제곱: $(x + 1)^2 = 4(x + 1) \Rightarrow (x + 1)(x - 3) = 0$ — 후보 $-1, 3$.

검사: $x = -1$은 $\sqrt1 - \sqrt0 = 1$ ✓; $x = 3$은 $\sqrt9 - \sqrt4 = 1$ ✓ — 둘 다 해다.

제곱 두 번의 표준 리듬: 고립 → 제곱(교차항 등장) → 재고립 → 제곱. 교차항이 남는 것은 실수가 아니라 절차의 일부다.

Isolate and square:

Square again: $(x + 1)^2 = 4(x + 1) \Rightarrow (x + 1)(x - 3) = 0$ — candidates $-1, 3$.

Check: $x = -1$: $\sqrt1 - \sqrt0 = 1$ ✓; $x = 3$: $\sqrt9 - \sqrt4 = 1$ ✓ — both solve.

The two-squaring rhythm: isolate → square (cross term appears) → re-isolate → square. The surviving cross term is procedure, not error.

(1) 근호를 고립하고 제곱한다:

(2)

주기 $2$초의 진자가 거의 정확히 $1\,\text{m}$ — "초진자"라 불리며 괘종시계의 길이를 정한 그 값이다($g \approx \pi^2$이라는 근사 우연이 만든 깔끔함). 공식 변형도 무리방정식 풀이와 같은 문법 — 고립하고 제곱한다.

(1) Isolate the radical and square:

(2)

A two-second pendulum is almost exactly one meter — the "seconds pendulum" that sized grandfather clocks (its tidiness a gift of the near-coincidence $g \approx \pi^2$). Rearranging formulas follows the same grammar as solving radical equations — isolate, then square.

(1) 짝수근의 값은 언제나 $\ge 0$ — 좌변이 $-3$이 될 길이 없다. (기계적으로 제곱하면 $x = 11$이 나오지만 검사에서 탈락 — 애초에 부호만 봐도 끝났다.)

(2) 두 근호가 동시에 정의되려면 $x \ge 2$ 그리고 $x \le 1$ — 그런 $x$는 없다. 방정식을 풀 이전에 설 땅(정의역)이 없다.

풀이 절차보다 먼저 오는 두 관문 — 부호와 정의역. 관문에서 끝나는 문제를 절차로 끌고 가는 것이 시간 낭비의 주범이다.

(1) Even roots are always $\ge 0$ — the left side has no road to $-3$. (Mechanical squaring yields $x = 11$, killed at the check — but the sign alone had already finished it.)

(2) Both radicals defined demands $x \ge 2$ and $x \le 1$ — no such $x$. Before any solving, there is no ground to stand on.

Two gates preceding all procedure — sign and domain. Dragging gate-decided problems through the full procedure is the chief time thief.

$\sqrt x = x - 2$에서 $t = \sqrt x \ge 0$: $t = t^2 - 2$, 곧 $t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0$ — $t = 2$($t = -1$은 $\ge 0$ 위반).

검사: $\sqrt4 = 2 = 4 - 2$ ✓.

버려진 $t = -1$의 정체: $y^2 = x$ 전체(누운 포물선)와 직선의 아래 반쪽 교점 $(1, -1)$이다 — $\sqrt1 = 1 \ne -1$이므로 원래 곡선과는 무관하다. 그래프 하나가 무연근의 출생지를 정확히 보여 준다.

From $\sqrt x = x - 2$ with $t = \sqrt x \ge 0$: $t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0$ — $t = 2$ (and $t = -1$ violates $\ge 0$).

Check: $\sqrt4 = 2 = 4 - 2$ ✓.

The discarded $t = -1$ unmasked: it is the line's intersection $(1, -1)$ with the lower branch of the full sideways parabola $y^2 = x$ — irrelevant to the original curve, since $\sqrt1 = 1 \ne -1$. One graph shows the extraneous root's exact birthplace.

$x - y$를 합차로 인수분해하라 — $\sqrt x$, $\sqrt y$의 언어로.

Factor $x - y$ as a difference of squares — in the language of $\sqrt x$, $\sqrt y$.

합차 공식으로

첫 식 $\sqrt x + \sqrt y = 5$를 나누면 $\sqrt x - \sqrt y = 3$. 두 식을 더하고 빼면

검사: $4 + 1 = 5$ ✓, $16 - 1 = 15$ ✓.

$x - y$를 "$(\sqrt x)^2 - (\sqrt y)^2$"으로 읽는 눈이 전부다 — 합차 공식이 연립을 합·차 두 일차식으로 강등시켰다.

By the difference of squares,

Dividing by the first equation $\sqrt x + \sqrt y = 5$: $\sqrt x - \sqrt y = 3$. Add and subtract:

Check: $4 + 1 = 5$ ✓, $16 - 1 = 15$ ✓.

The whole solution is the eye reading $x - y$ as $(\sqrt x)^2 - (\sqrt y)^2$ — one factoring demoted the system to two linear equations in sum and difference.

근호 안의 꼬리가 전체와 같다 — $x$로 다시 나타나는 구조를 써라.

The tail inside the radical equals the whole — use the self-similar structure.

근호 안의 무한 꼬리는 전체 $x$와 똑같은 식이다:

$x$는 근호의 값이라 $\ge 0$ — $x = 2$.

검산의 감각: $\sqrt2 \approx 1.41$, $\sqrt{2 + 1.41} \approx 1.85$, $\sqrt{3.85} \approx 1.96$, … — $2$로 다가간다 ✓.

"자기 자신을 품은 식"에 이름을 붙여 방정식으로 바꾸는 수법 — 연분수에서 봤던 구조의 근호판이다. "수렴한다"는 가정을 정직하게 명시했는데, 그 가정을 증명하는 도구(단조 유계 수열)는 수열 단원 너머에서 온다 — 어디까지가 계산이고 어디부터가 가정인지 구분하는 것까지가 풀이다.

The infinite tail inside is the same expression as $x$ itself:

As a radical's value, $x \ge 0$ — so $x = 2$.

A feel for the check: $\sqrt2 \approx 1.41$, $\sqrt{3.41} \approx 1.85$, $\sqrt{3.85} \approx 1.96$, … — marching toward $2$ ✓.

Naming a self-containing expression to turn it into an equation — the radical edition of the continued-fraction structure. The convergence was honestly assumed; the tool that proves it (monotone bounded sequences) lies beyond the sequences unit — and knowing where computation ends and assumption begins is part of the solution.