역함수Inverse Functions

$x$에 가까운 함수부터 — $f \circ g$는 $g$가 먼저다. 순서가 결과를 바꾼다.

The function nearer $x$ acts first — in $f \circ g$, that is $g$. Order changes the outcome.

$y = 3x - 6$에서 $x \leftrightarrow y$ 교환: $x = 3y - 6$, 풀면 $y = \dfrac{x + 6}{3}$.

검증:

"$3$배 하고 $6$ 빼기"의 역순 — "$6$ 더하고 $3$으로 나누기" — 와 일치한다.

From $y = 3x - 6$, swap: $x = 3y - 6$, solve: $y = \dfrac{x + 6}{3}$.

Verify:

— matching the reverse unwrapping of "triple, subtract $6$": "add $6$, divide by $3$."

역함수는 화살표를 거꾸로 읽는 것이다: $7 \to 2$, $4 \to 1$.

(3)은 계산할 것도 없다 — $f^{-1}(f(3))$은 "갔다가 되돌아오기"이므로 $3$이다. 상쇄 성질이 표에서도 그대로 작동한다.

An inverse reads the arrows backwards: $7 \to 2$, $4 \to 1$.

(3) needs no computing — $f^{-1}(f(3))$ is "there and back," so $3$. The cancellation property works straight off the table.

$g$(빼기 $3$)가 안에서 작용하면 가로 이동, 밖에서 작용하면 세로 이동 — 지난 차시들의 "안/밖" 구분이 합성의 순서 그 자체였음이 드러난다. 변환의 기하와 합성의 대수는 같은 이야기의 두 판본이다.

When $g$ (subtract $3$) acts inside, a horizontal shift; outside, a vertical one — the past lessons' inside/outside distinction was the order of composition all along. The geometry of transformations and the algebra of composition are two editions of one story.

$y = 5 - 2x$에서 교환: $x = 5 - 2y$, 풀면 $y = \dfrac{5 - x}{2}$.

검증: $f\left(\frac{5-x}{2}\right) = 5 - 2 \cdot \frac{5-x}{2} = 5 - (5 - x) = x$ ✓.

그래프는 $f$의 그래프를 직선 $y = x$에 반사한 것 — 두 직선의 기울기($-2$와 $-\frac12$)가 역수 관계인 것도 반사의 흔적이다.

From $y = 5 - 2x$, swap: $x = 5 - 2y$, solve: $y = \dfrac{5 - x}{2}$.

Verify: $f\left(\frac{5-x}{2}\right) = 5 - 2 \cdot \frac{5-x}{2} = 5 - (5 - x) = x$ ✓.

The graph is $f$'s reflected across $y = x$ — and the two slopes ($-2$ and $-\frac12$) being reciprocals is a footprint of that reflection.

(1) $x^3$은 계속 증가 — 어떤 가로선도 한 번만 만난다: 일대일.

(2) $y = 0$이 $(\pm 2, 0)$ 두 점에서 만난다: 아님.

(3) $y = 3$이 $(\pm 3, 3)$에서 만난다: 아님.

(4) 직선(기울기 $\ne 0$): 일대일.

계속 증가(또는 계속 감소)하는 함수는 자동으로 일대일이다 — 올라가기만 하면 같은 높이를 두 번 지날 수 없다. 짝함수는 자동으로 일대일이 아니다($\pm a$가 같은 출력).

(1) $x^3$ always increases — every horizontal line meets it once: one-to-one.

(2) $y = 0$ meets it at both $(\pm 2, 0)$: no.

(3) $y = 3$ meets it at $(\pm 3, 3)$: no.

(4) A nonhorizontal line: one-to-one.

Always-increasing (or always-decreasing) functions are automatically one-to-one — never descending means never revisiting a height. Even functions are automatically not ($\pm a$ share an output).

제한된 $x^2$은 일대일이다(증가만 한다). $y = x^2$ ($x \ge 0$)에서 교환·풀기: $x = y^2$, $y \ge 0$이므로 $y = \sqrt{x}$.

정의역과 치역이 서로 자리를 바꾸는데, 이 경우 둘 다 $[0, \infty)$라 겉보기에 같다 — 제한을 $x \le 0$으로 잡았다면 역함수는 $-\sqrt{x}$, 치역은 $(-\infty, 0]$이 됐을 것이다. 어느 반쪽을 남기느냐가 어느 역함수를 얻느냐를 정한다.

The restricted $x^2$ is one-to-one (it only increases). Swap and solve $y = x^2$ ($x \ge 0$): $x = y^2$ with $y \ge 0$, so $y = \sqrt{x}$.

Domain and range trade places — here both happen to be $[0, \infty)$, so the trade is invisible. Had we kept $x \le 0$ instead, the inverse would be $-\sqrt{x}$ with range $(-\infty, 0]$. Which half you keep decides which inverse you get.

$f(2) = 7$이므로 $f^{-1}(7) = 2$ — 점 $(7, 2)$.

그래프의 모든 점이 이렇게 좌표를 교환하고, 좌표 교환 $(a, b) \mapsto (b, a)$는 기하 변환 단원의 $y = x$ 반사 규칙 그 자체다 — 점 전부가 반사되므로 그래프 전체가 반사된다.

$f(2) = 7$ gives $f^{-1}(7) = 2$ — the point $(7, 2)$.

Every point of the graph swaps coordinates this way, and the swap $(a, b) \mapsto (b, a)$ is precisely the geometry unit's reflection rule across $y = x$ — all points reflect, so the whole graph does.

교환 후 $y$가 든 항을 한쪽에 모아 $y$로 묶어라.

After swapping, gather the $y$-terms on one side and factor out $y$.

$y = \dfrac{x-1}{x+2}$에서 교환: $x = \dfrac{y-1}{y+2}$. 분모를 올리고 $y$를 모은다:

검증 — 점으로: $f(1) = 0$이므로 $f^{-1}(0) = 1$이어야 하는데, $\dfrac{0 + 1}{1 - 0} = 1$ ✓.

$y$가 여러 항에 흩어질 때는 모아서 묶기가 핵심 동작이다. 정의역도 교환된다 — $f$가 값 $1$을 절대 안 내놓으므로($\frac{x-1}{x+2} = 1$은 해가 없다) $f^{-1}$의 정의역에서 $x = 1$이 빠지는 것이 식의 분모와 일치한다.

Swap in $y = \dfrac{x-1}{x+2}$: $x = \dfrac{y-1}{y+2}$. Clear the denominator and gather $y$:

Verify by a point: $f(1) = 0$ demands $f^{-1}(0) = 1$, and $\dfrac{0 + 1}{1 - 0} = 1$ ✓.

When $y$ scatters across terms, gather-and-factor is the key move. Domains swap too — $f$ never outputs $1$ ($\frac{x-1}{x+2} = 1$ has no solution), matching the $x = 1$ excluded by the inverse's denominator.

"$g^{-1} \circ f^{-1}$을 $f \circ g$와 합성하면 항등이 된다"를 보이면 된다.

It suffices to show $g^{-1} \circ f^{-1}$ composed with $f \circ g$ is the identity.

증명. $g^{-1} \circ f^{-1}$이 $f \circ g$를 상쇄함을 보이면 그것이 역함수다:

— 안쪽에서 $f^{-1}$이 $f$를, 이어 $g^{-1}$이 $g$를 지운다. 반대 방향 합성도 같은 방식으로 $x$가 된다. $\blacksquare$

수치 확인. $(f \circ g)(x) = 2x + 3$이고 그 역은 $\dfrac{x - 3}{2}$. 한편

순서가 뒤집히는 것이 요점이다 — 양말($g$) 신고 신발($f$) 신었으면, 벗을 때는 신발($f^{-1}$)부터다. 합성의 역은 역들의 역순 합성 — 변환을 되돌릴 때도, 계산 절차를 되돌릴 때도 같은 법칙이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 합성 상쇄 계산 (1점)
• (반대 방향 또는 유일성 언급으로) 역함수임을 결론 (1점)
• 수치 확인 (1점)

Proof. Showing $g^{-1} \circ f^{-1}$ cancels $f \circ g$ makes it the inverse:

— from the inside out, $f^{-1}$ erases $f$, then $g^{-1}$ erases $g$. The reverse-order composition returns $x$ the same way. $\blacksquare$

Numerical check. $(f \circ g)(x) = 2x + 3$, whose inverse is $\dfrac{x - 3}{2}$. Meanwhile

The reversal of order is the point — socks ($g$) then shoes ($f$) comes off shoes-first ($f^{-1}$). The inverse of a composition is the composition of inverses in reverse — the same law whether undoing transformations or undoing computational procedures.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The cancellation computation (1 pt)
• Concluding it is the inverse (other direction, or uniqueness noted) (1 pt)
• The numerical check (1 pt)

$f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{2}$. 교점:

$y = x$ 위에 있다 ✓ — 실제로 $f(6) = 6$(고정점)이다.

이유: 두 그래프는 $y = x$에 서로 반사되는 쌍이므로, 교점 $(a, b)$가 있으면 그 반사상 $(b, a)$도 교점이다. $f$처럼 증가하는 함수에서는 $a \ne b$인 교점 쌍이 있을 수 없어($f(a) = b$, $f(b) = a$이면 증가성에 모순) 모든 교점이 $a = b$, 곧 $y = x$ 위에 놓인다. (감소함수라면 축 밖 교점도 가능하다 — $y = -x$ 같은 예가 있다.)

$f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{2}$. Intersect:

On $y = x$ ✓ — indeed $f(6) = 6$, a fixed point.

Why: the graphs are reflections of each other across $y = x$, so any intersection $(a, b)$ brings its mirror $(b, a)$ along as another intersection. For an increasing $f$, an off-axis pair is impossible ($f(a) = b$ and $f(b) = a$ with $a \ne b$ contradicts increase), so every intersection has $a = b$ — it sits on $y = x$. (Decreasing functions can meet off the axis — $y = -x$ furnishes examples.)

$f$를 두 번 하면 제자리 — $f$가 $f$ 자신을 상쇄하므로 $f^{-1} = f$다.

그래프로는: $f^{-1}$의 그래프($y = x$ 반사상)가 자기 자신과 같다 — 이 곡선은 $y = x$에 대해 스스로 대칭이다. 검산: 점 $(2, 2)$와 $(3, \frac32)$이 그래프 위인데, 후자의 반사상 $(\frac32, 3)$도 $f(\frac32) = \frac{3/2}{1/2} = 3$으로 그래프 위 ✓.

두 번 적용하면 항등이 되는 함수(대합)는 반사·점대칭과 같은 혈통이다 — $\frac1x$, $-x$, $a - x$도 같은 가족이다.

Twice returns home — $f$ cancels itself, so $f^{-1} = f$.

Graphically: the graph of $f^{-1}$ (the $y = x$ mirror image) coincides with the original — the curve is symmetric across $y = x$ on its own. Check: $(2, 2)$ and $(3, \frac32)$ lie on it, and the latter's mirror $(\frac32, 3)$ does too, since $f(\frac32) = \frac{3/2}{1/2} = 3$ ✓.

Functions squaring to the identity (involutions) share blood with reflections and point symmetries — $\frac1x$, $-x$, and $a - x$ belong to the same family.

(1) 입력 자리를 새 문자로 명명한다: $t = 2x + 1$로 놓으면 $x = \dfrac{t - 1}{2}$이고

검산: $f(2x + 1) = 3(2x+1) + 4 = 6x + 7$ ✓.

(2) $f(a) = 10$인 $a$: $3a + 4 = 10 \Rightarrow a = 2$, 곧 $f^{-1}(10) = 2$.

(1)의 치환이 핵심 기술이다 — "함수의 자리에 든 식"을 통째로 새 이름으로 바꾸면 함수 자체가 드러난다. 사실 이것은 $f = (\text{주어진 식}) \circ (\text{안쪽 식})^{-1}$이라는 역함수 합성이고, 역함수가 "식을 벗기는 도구"로 일하는 첫 장면이다.

(1) Name the occupied slot: let $t = 2x + 1$, so $x = \dfrac{t - 1}{2}$ and

Check: $f(2x + 1) = 3(2x+1) + 4 = 6x + 7$ ✓.

(2) Solve $f(a) = 10$: $3a + 4 = 10 \Rightarrow a = 2$, so $f^{-1}(10) = 2$.

The substitution in (1) is the key craft — renaming the expression occupying the slot exposes the function itself. In truth it is the composition $f = (\text{given expression}) \circ (\text{inner expression})^{-1}$ — the inverse function's first shift as a tool for unwrapping formulas.