확률Probability

전체 $6$가지 중 $(1)$ 짝수는 $\{2, 4, 6\}$의 $3$가지 — $\dfrac36 = \dfrac12$. $(2)$ $3$의 배수는 $\{3, 6\}$의 $2$가지 — $\dfrac26 = \dfrac13$.

Of $6$ outcomes: $(1)$ evens are $\{2, 4, 6\}$ — $\dfrac36 = \dfrac12$. $(2)$ multiples of $3$ are $\{3, 6\}$ — $\dfrac26 = \dfrac13$.

전체 $8$개 중 빨강 $3$개 — $P = \dfrac38$.

구슬 하나하나가 대등한 근원사건이라는 전제가 정의를 받쳐 준다("색이 두 가지니 $\frac12$"가 아니다).

Of $8$ marbles, $3$ are red — $P = \dfrac38$.

The premise that each marble is an equally likely outcome carries the definition (not "two colors, so $\frac12$").

전체 $36$칸의 격자에서 합 $7$은 대각선 여섯 칸:

합 $7$이 모든 합 중 가장 확률이 크다 — 격자에서 가장 긴 대각선이기 때문이다.

In the $36$-cell grid, sum $7$ is the six-cell diagonal:

Seven is the likeliest sum of all — it owns the grid's longest diagonal.

"적어도 하나"는 여사건으로.

"At least one" — go through the complement.

여사건 — 둘 다 $6$이 아닐 확률은 격자에서 $5 \times 5 = 25$칸:

검산(직접): 첫째가 $6$인 행 $6$칸 + 둘째가 $6$인 열 $6$칸 − 겹침 $(6,6)$ $1$칸 = $11$칸 ✓ — 여사건과 덧셈 정리가 같은 답을 가리킨다.

Complement — neither die shows $6$ on $5 \times 5 = 25$ cells:

Check (directly): the first-die-$6$ row ($6$ cells) plus the second-die-$6$ column ($6$) minus the overlap $(6,6)$ ($1$) = $11$ cells ✓ — complement and addition rule point at one answer.

경우의 수를 $n(\cdot)$으로 쓰자. $n(A) + n(B)$는 $A$에만 있는 것, $B$에만 있는 것을 한 번씩 세지만 둘 다에 있는 것($A \cap B$)은 두 번 센다. 한 번 빼면 정확히 $A \cup B$의 원소가 한 번씩:

전체 경우의 수 $N$으로 나누면

확인: $A = \{2,4,6\}$(짝수), $B = \{3,6\}$($3$의 배수), $A \cap B = \{6\}$:

실제로 $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$의 $4$가지 ✓ — $6$을 두 번 세지 않도록 빼는 것이 공식의 전부다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 겹침 두 번 셈의 지적 (1점)
• $n$ 등식에서 $P$ 등식으로 (1점)
• 수치 확인 (1점)

Write counts as $n(\cdot)$. The sum $n(A) + n(B)$ counts elements only in $A$ once and only in $B$ once — but elements of both ($A \cap B$) twice. Subtract once, and each element of $A \cup B$ is counted exactly once:

Divide by the total count $N$:

Verification: $A = \{2,4,6\}$ (even), $B = \{3,6\}$ (multiples of $3$), $A \cap B = \{6\}$:

and indeed $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$ — four faces ✓. The whole formula is: don't count $6$ twice.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Identifying the double count (1 pt)
• From the $n$ equation to the $P$ equation (1 pt)
• Numerical verification (1 pt)

각 시행은 서로 영향을 주지 않는다 — 독립이므로 곱셈 정리:

검산(세기): $(1)$ 전체 $2^3 = 8$ 중 HHH 하나 ✓, $(2)$ 격자 $36$칸 중 $(6,6)$ 하나 ✓.

The trials leave each other untouched — independent, so multiply:

Check by counting: $(1)$ HHH is one of $2^3 = 8$ ✓; $(2)$ $(6,6)$ is one of $36$ cells ✓.

차례로(조건부): 첫째 빨강 $\dfrac38$; 남은 $7$개 중 빨강 $2$개에서 둘째 빨강 $\dfrac27$:

한꺼번에(조합): $8$개 중 $2$개 뽑기 전체 $_8\mathrm C_2 = 28$, 빨강 $2$개 뽑기 $_3\mathrm C_2 = 3$:

비복원은 독립이 아니다 — 둘째 확률이 $\frac38$이 아니라 $\frac27$로 바뀐 것이 그 증거이고, 그런데도 조합 셈과 일치하는 것은 두 방법이 같은 사건을 다르게 셀 뿐이기 때문이다.

In sequence (conditional): first red $\dfrac38$; then, from $7$ remaining with $2$ red, second red $\dfrac27$:

All at once (combinations): $_8\mathrm C_2 = 28$ ways to draw $2$ of $8$; $_3\mathrm C_2 = 3$ ways both red:

No replacement means no independence — the second factor shifting from $\frac38$ to $\frac27$ is the proof — yet the combination count agrees, because the two methods count one event differently.

조건 "남학생"이 표본공간을 $12$명으로 좁힌다:

공식으로도 같다: $P(\text{남} \cap \text{안경}) = \frac4{20}$, $P(\text{남}) = \frac{12}{20}$ — 비율 $\frac{4/20}{12/20} = \frac13$ ✓.

전체 안경 비율 $\frac7{20}$과 다르다는 것 — 조건이 확률을 바꾼다는 것 — 이 조건부의 요점이다.

The condition "boy" shrinks the sample space to $12$:

The formula agrees: $P(\text{boy} \cap \text{glasses}) = \frac4{20}$, $P(\text{boy}) = \frac{12}{20}$ — ratio $\frac{4/20}{12/20} = \frac13$ ✓.

It differs from the overall glasses rate $\frac7{20}$ — conditions change probabilities — which is the whole point of the conditional.

가능한 합 $2$~$12$ 중 소수는 $2, 3, 5, 7, 11$. 격자에서 각 대각선의 칸수를 센다:

— 합계 $15$칸:

배반인 대각선들의 덧셈(겹침 없음) — 격자가 "합 $s$의 칸수는 $7$까지 늘고 그 뒤로 준다"는 삼각형 분포까지 한눈에 보여 준다.

Among possible sums $2$–$12$, the primes are $2, 3, 5, 7, 11$. Count each diagonal in the grid:

— $15$ cells in all:

An addition of mutually exclusive diagonals (no overlap) — and the grid displays the whole triangular distribution at a glance: counts rise to sum $7$, then fall.

지난 차시의 세기를 그대로 쓴다 — 전체 $5! = 120$, 이웃 배열은 묶음 기법으로 $4! \times 2! = 48$:

빠른 다른 길: B의 자리에서 보면, A가 설 수 있는 나머지 $4$자리 중 B의 이웃은 평균적으로… 대신 정확히 — 다섯 자리 중 B가 끝($2$곳)이면 이웃 $1$, 가운데($3$곳)면 이웃 $2$: $P = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} = \frac25$ ✓.

확률 = 세기 나누기 세기 — 세기 기법(묶음)이 그대로 확률 기법이 된다.

Reuse last lesson's counts — total $5! = 120$; adjacent arrangements by gluing, $4! \times 2! = 48$:

A quick second road: condition on B's spot — of the five positions, B at an end ($2$ spots) leaves $1$ neighbor, in the middle ($3$ spots) leaves $2$: $P = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} = \frac25$ ✓.

Probability is a count over a count — counting techniques (gluing) become probability techniques unchanged.

여사건 — 세 요일이 모두 다를 확률부터.

Complement — start from all three days distinct.

여사건(모두 다른 요일):

(첫 사람은 아무 요일, 둘째는 남은 $6$, 셋째는 남은 $5$).

겨우 세 명인데 $39\%$ — 유명한 "생일 역설"($365$일, $23$명이면 절반 초과)의 축소판이다. 겹침은 직관보다 빨리 온다.

Complement (all distinct):

(first person any day, second one of the remaining $6$, third one of $5$).

Only three people, yet $39\%$ — a miniature of the famous birthday paradox ($365$ days: $23$ people pass one-half). Collisions arrive faster than intuition expects.

근원사건은 순서 있는 세 눈 $(a, b, c)$ — 전체 $6^3 = 216$가지가 대등하다. 분할이 아니라 순서 배열을 세어야 한다:

합 $9$: $(1,2,6)$형 $3! = 6$, $(1,3,5)$형 $6$, $(1,4,4)$형 $3$, $(2,2,5)$형 $3$, $(2,3,4)$형 $6$, $(3,3,3)$형 $1$ — 합 $\mathbf{25}$.

합 $10$: $(1,3,6)$형 $6$, $(1,4,5)$형 $6$, $(2,2,6)$형 $3$, $(2,3,5)$형 $6$, $(2,4,4)$형 $3$, $(3,3,4)$형 $3$ — 합 $\mathbf{27}$.

도박사들의 착각은 "가르는 방법 여섯 가지씩이니 같다"였다 — 그러나 $(3,3,3)$은 한 가지 순서뿐이고 $(1,2,6)$은 여섯 가지다. 분할은 대등한 근원사건이 아니다 — 같은 정도 전제를 지키려면 순서 있는 눈까지 내려가야 한다. 갈릴레오가 이 셈으로 도박사들의 경험($10$이 더 자주)을 정당화했다.

The elementary outcomes are ordered triples $(a, b, c)$ — all $6^3 = 216$ equally likely. Count arrangements, not partitions:

Sum $9$: type $(1,2,6)$: $3! = 6$; $(1,3,5)$: $6$; $(1,4,4)$: $3$; $(2,2,5)$: $3$; $(2,3,4)$: $6$; $(3,3,3)$: $1$ — total $\mathbf{25}$.

Sum $10$: $(1,3,6)$: $6$; $(1,4,5)$: $6$; $(2,2,6)$: $3$; $(2,3,5)$: $6$; $(2,4,4)$: $3$; $(3,3,4)$: $3$ — total $\mathbf{27}$.

The gamblers' fallacy was "six partitions each, so equal" — but $(3,3,3)$ arranges one way while $(1,2,6)$ arranges six. Partitions are not equally likely outcomes — honoring the equal-likelihood premise means descending to ordered rolls. Galileo's count vindicated the gamblers' experience (ten comes up more).

조건 "합 $8$"이 표본공간을 격자의 한 대각선으로 좁힌다:

그중 $6$이 포함된 칸은 $(2,6)$과 $(6,2)$의 둘:

공식 검산: $P(\text{합}8 \cap 6\text{포함}) = \frac2{36}$, $P(\text{합}8) = \frac5{36}$ — 비 $\frac25$ ✓.

주의 — $(4,4)$는 한 칸이다: 순서 있는 격자에서 $(4,4)$의 "두 배열"은 같은 칸이므로, 좁혀진 다섯 칸이 여전히 대등하다는 것이 격자 셈의 힘이다.

The condition "sum $8$" shrinks the sample space to one grid diagonal:

Cells containing a $6$: $(2,6)$ and $(6,2)$ — two of them:

Formula check: $P(\text{sum }8 \cap 6) = \frac2{36}$, $P(\text{sum }8) = \frac5{36}$ — ratio $\frac25$ ✓.

Careful — $(4,4)$ is one cell: in the ordered grid its "two arrangements" coincide, which is exactly why the five shrunken cells stay equally likely. That is the grid count's power.